物体が$F$という力を受けるとき、運動方程式$m\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2 {x}= F$が成り立つことが力学で知られている。この$F$が$-K{\mathrm d\over \mathrm dt}{x}$のように${x}$の時間微分に比例する場合（実際、速度が遅い場合の空気抵抗はだいたいこの式であっている）、すなわち、
\begin{equation} m\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over \mathrm dt}{x}\label{FKv} \end{equation}という微分方程式この式は実は<の式とほぼ同じである。結果を比べてみよ。ここではこのまま解いたが、${\mathrm d\over \mathrm dt} {x}={v}$と置いて${v}$の式にしてから解くという方法でもすぐ解ける。が成り立つ場合を考えよう。
初速度=
この方程式に${x}={\mathrm e}^{\lambda{t}}$を代入すると、 \begin{equation} m\lambda^2 {\mathrm e}^{\lambda{t}} = -K\lambda {\mathrm e}^{\lambda{t}} \end{equation}
となり、特性方程式は$m\lambda^2=-K\lambda$となる。
特性方程式の解は$\lambda=0,-{K\over m}$なので、 \begin{equation} {x}({t})= C_1 + C_2 {\mathrm e}^{-{K\over m}{t}} \end{equation}
が解である。グラフは右に描いたようになり、積分定数の意味は、$C_1$が${t}\to\infty$での${x}$の値、$C_1+C_2$が${t}=0$での${x}$の値である。
この微分方程式の解は、ボールなどを床に転がした時この状況であればボールは水平に動くので、重力は運動とは関係ない。にどのようにボールが運動するかを表している。最初に${x}=0$にあるとして、いろいろな初速度を与えた場合の運動の様子が次のグラフである。
初速度=
グラフでは、$C_1=v_0{m\over K},C_2=-v_0{m\over K}$と選んである。 \begin{equation} {\mathrm d\over \mathrm dt}{x}({t})= -{K\over m}C_2{\mathrm e}^{-{K\over m}{t}} \end{equation} であるから、これで${x}(0)=0,{{\mathrm d\over \mathrm dt}}{x}(0)=v_0$になる。初速度に比例した距離だけ移動できることがわかる（ただし、「止まるまでの時間」は$\infty$である！）。
運動方程式に重力$F=-mg$を加えてみよう$-mg$とマイナス符号をつけるのは、図に書いたように上向きに$x$軸を取ったから。。
\begin{equation} m\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over \mathrm dt}{x}-mg\label{Fkvmg} \end{equation}となるが、これは線型で非斉次な方程式の例になっている。方程式を非斉次にしている$-mg$を消せばさっきの斉次方程式になる。そして、その解はすでにわかっている。つまり斉次方程式の一般解は既に知っている。
よって、非斉次方程式の特解を一つ見つけて、先の一般解に足せばよい。
特解を見つける方法はいろいろあるが、ここでは簡単な関数を代入して合うかどうかをやってみるという方法をとってみよう。まず${x}=定数$はダメである（定数だと${\mathrm d\over \mathrm dt}{x}$も$\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2{x}$も0になってしまうから、$0=0-mg$となって成立しない）。そこで次に簡単な、${x}=v{t}$としてみる。これを代入すると、
\begin{equation} 0= -Kv -mg \end{equation}となるから$v=-{mg\over K}$とすれば${x}=-{mg\over K}{t}$という特解が得られる${x}=-{mg\over K}{t}+C$でも特解になる。しかし斉次方程式の一般解にも未定の積分定数は含まれているので特解の方の$+C$は省略して構わない。。一般解は
\begin{equation} {x}= \underbrace{C_1 + C_2 {\mathrm e}^{-{K\over m}{t}}}_{斉次方程式の一般解} \underbrace{- {mg\over K}{t}}_{非斉次方程式の特解} \end{equation}という式になる。
下のグラフは$C_1+C_2$（すなわち、${t}=0$での値）を固定して$C_2$を変化させた時のグラフである。
$C_1+C_2$を一定にするということは${t}=0$での位置を同じにするということになる（グラフからもそれが読み取れる）。
初速度=
下のグラフは、$C_1$を固定して$C_2$を変化させた時のグラフである。
$C_2$は${t}=\infty$において消える項の係数なので、他を変えずに$C_2$だけを変えると、最終的状態は同じになる（グラフからもそれが読み取れる）。
$C_2$=
今解いているのは二階微分方程式だから、未定のパラメータは二つあってちょうどよい。そのため、${x}$-${t}$のグラフで一点を指定してもその後の曲線は全て決まらない。一点と、「その点での傾き（微係数）」を指定すると、曲線が一つ決まる。
解答は簡単で、すでに斉次方程式の一般解は書かれているから、非斉次方程式の特解を探せばよい。
左辺が0になるのはどんな時かと考えるのがわかりやすい。
$0=-kx-mg$なので、$x=-{mg\over k}$とすれば右辺が0となり、これは定数だから二階微分しても0となり、特解になっている。
斉次の一般解＋非斉次の特解として、
$x=A\sin(\sqrt{k\over m}t+\alpha)-{mg\over k}$
が解である。答としては、単振動の中心がずれただけ。
次に、運動方程式に復元力$F=-k{x}$（${x}=0$に向けて戻そうとする力${x}>0$なら負の向きの力、${x}<0$なら正の向きの力が加わる。つまりどっちにしても、${x}=0$に向かうような力である。よってこれを「復元力」と呼ぶ。）を加えた、
\begin{equation} m\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over \mathrm dt}{x}-k{x}\label{Fkvkx} \end{equation}を解いてみよう（重力は考えないことにする）。例によって特性方程式を作ると、
\begin{equation} m\lambda^2 +K\lambda +k=0 \end{equation}となる。これの解は（二次方程式の解の公式を用いて）
\begin{equation} \lambda_\pm={-K\pm\sqrt{K^2-4mk}\over 2m}=-{K\over 2m}\mp{{\sqrt{K^2-4mk}}\over 2m} \end{equation}となる。ここから、$K^2-4mk$が負の場合、0の場合、正の場合の三つに分けて考える。
この場合は$\lambda$は複素数になる。、$\omega={\sqrt{4mk-K^2}\over 2m}$という定数（$\omega$は実数である）を定義して、$\lambda=-{K\over 2m}\mp{\mathrm i}\omega$と書くことにすると解は
\begin{equation} {x}= C_+ {\mathrm e}^{-{K\over 2m}{t}+{\mathrm i}\omega{t}} +C_- {\mathrm e}^{-{K\over 2m}{t}-{\mathrm i}\omega{t}}\label{gensuisindou} \end{equation}ということになる。
この解は一見複素数である。一方求めたい${x}$は実数である。ここでは係数を操作して、$C_+=C,C_-=C^*$とすることで全体を実数にしよう。すると、
\begin{equation} {x}= {\mathrm e}^{-{K\over 2m}{t}}\left( C{\mathrm e}^{{\mathrm i}\omega{t}} +C^* {\mathrm e}^{-{\mathrm i}\omega{t}}\right) \end{equation}が実数解だということになる。三角関数を使って表現するなら、
\begin{equation} {x}= {\mathrm e}^{-{K\over 2m}{t}}\left( A\cos \omega{t} +B\sin\omega{t}\right) = A{\mathrm e}^{-{K\over 2m}{t}} \cos \left( \omega{t}+\alpha\right) \end{equation}である（$A,B,\alpha$は実数の定数）。
この場合、$\lambda_+=\lambda_-$となる。よって添字は取って、$\lambda=-{K\over 2m}$と書こう。重解が出る場合であるから、解は
\begin{equation} {x}=\left(C_1{t}+C_0\right){\mathrm e}^{\lambda{t}} \end{equation}となる。この解は「臨界振動」と呼ばれ、$K^2-4mk<0$と$K^2-4mk>0$のちょうど境目にあたる。
この場合は単純に、
\begin{equation} {x}= C_+ {\mathrm e}^{\lambda_+{t}} +C_- {\mathrm e}^{\lambda_-{t}} \end{equation}が解である。$\lambda_\pm$はどちらも負の数になるから、この二つの解のどちらも「指数関数的に減衰する解」である。
A=1
B=1
K=1
k=1
初期位置:y0=0
初速度:vy0=4
バネ定数:k=4
空気抵抗:K=1青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。