二階線形微分方程式の定数変化法

二階線型微分方程式の場合、定数変化法は使えるだろうか？---一般的な形として、

\begin{equation} f''({x}) +p({x})f'({x}) +q({x})f({x})=r({x}) \end{equation}

のような形の微分方程式を考えよう。

これを斉次方程式にした（つまり、$r({x})=0$と置いた）式$ f''({x}) +p({x})f'({x}) +q({x})f({x})=0$の解が、$F({x}),G({x})$と二つ求ったとしよう（線型二階微分方程式だから独立な解が二つある）。非斉次方程式の一般解を$C({x})F({x})+D({x})G({x})$と置くのだが、ここで$C({x}),D({x})$は任意ではなく

\begin{equation} C'({x})F({x})+D'({x})G({x})=0\label{CdFDdG} \end{equation}

を満たしているとしよう。

元の微分方程式に$f({x})=C({x})F({x})+D({x})G({x})$を代入すると、

\begin{equation} \begin{array}{rl} \left({\mathrm d\over\mathrm dx}\right)^2\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right) +p({x}){\mathrm d\over\mathrm dx}\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right)&\\ +q({x})\left( C({x})F({x})+D({x})G({x})\right)=&r({x}) \\ \end{array} \end{equation}

となるが、ここで大事なのは、上の条件のおかげで、

\begin{equation} \begin{array}{rl} {\mathrm d\over\mathrm dx}\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right) =& \overbrace{C'({x})F({x})}^{足して0→} + C({x})F'({x})+\overbrace{D'({x})G({x})}^{←足して0}+D({x})G'({x})\\ =& C({x})F'({x})+D({x})G'({x})\\ \end{array} \end{equation}

となることである。二階微分は

\begin{equation} \left({\mathrm d\over\mathrm dx}\right)^2\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right) = C({x})F''({x})+D({x})G''({x}) +C'({x})F'({x})+D'({x})G'({x}) \end{equation}

となる。以上を微分方程式に代入すると、

\begin{equation} \begin{array}{rl} &C'({x})F'({x})+D'({x})G'({x}) + C({x})F''({x})+D({x})G''({x}) \\ +&p({x})\left(C({x})F'({x})+D({x})G'({x})\right) +q({x})\left( C({x})F({x})+D({x})G({x})\right)=r({x}) \\ \end{array} \end{equation}

となり、さらに$F({x}),G({x})$が斉次方程式の解である（$F''({x})+p({x})F'({x})+q({x})F({x})=0,G''({x})+p({x})G'({x})+q({x})G({x})=0$）ことから、

\begin{equation} C'({x})F'({x})+D'({x})G'({x})=r({x}) \end{equation}

だけしか残らない。これと条件$C'({x})F({x})+D'({x})G({x})=0$を連立方程式として解く。

たとえば$C'({x})=-{D'({x})G({x})\over F({x})}$として代入してもよいし、 \begin{equation} \left( \begin{array}{cc} F({x}) & G({x}) \\ F'({x}) & G'({x}) \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} C'({x})\\D'({x}) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\r({x}) \end{array}\right)\label{matrixCD} \end{equation}

のように行列で書いて逆行列を掛けたってよい行列はこういう時にこそ使うものである。。計算の結果は

\begin{equation} C'({x})=-{r({x})G({x})\over F({x})G'({x})-F'({x})G({x})},~~~ D'({x})={r({x})F({x})\over F({x})G'({x})-F'({x})G({x})} \end{equation}

という微分方程式が出る。右辺は既知関数であるから積分すればよい（積分定数として未定パラメータが一個ずつ出る）。

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FAQ:分母の$F({x})G'({x})-F'({x})G({x})$は0になることはないですか？

この式は「ロンスキアン」という名前がついた式で、要はここで出てきた行列の行列式なのだが、$F({x})$と$G({x})$が線型独立な関数なら、0にはならない。逆に、これが0なら$G({x})$は$F({x})$の定数倍になることが証明できる。

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具体例として、バネ振り子に外力$F_0\cos \omega t$を加えた運動方程式

\begin{equation} m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -k{x}+F_0\cos\omega t \end{equation}

を解こう。ただし、$\omega=\sqrt{k\over m}$で、斉次方程式$m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -k{x}$の解は

\begin{equation} {x} = A\cos\omega t +B\sin\omega t\label{ABconst} \end{equation}

である。つまり、普通に振動させると$\omega=\sqrt{k\over m}$の角振動数で振動する振り子に、外から同じ振動数の外力を加えているという状況である。

ここで係数$A,B$をそれぞれ$A(t),B(t)$と時間の関数にすればよい。前と同様に、

\begin{equation} {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)\cos \omega t+{\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)\sin \omega t=0\label{mkcon} \end{equation}

という条件をつける。すると、

\begin{equation} \begin{array}{rl} {\mathrm d\over\mathrm dt} {x} =&-\omega A(t)\sin \omega t+\omega B(t)\cos \omega t \end{array} \end{equation}

となる（微分${\mathrm d\over\mathrm dt}$が$A(t),B(t)$に掛かった項は条件により消える）。もう一度微分して、

\begin{equation} \begin{array}{rl} \left( {\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x} =& -\omega {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)\sin \omega t+\omega {\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)\cos \omega t -\omega^2 A(t)\cos \omega t-\omega^2 B(t)\sin \omega t \end{array} \end{equation}

がわかり、元の方程式に代入すると$A,B$が微分されない項は全て消えるので、

\begin{equation} -m\omega {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)\sin \omega t+m\omega {\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)\cos \omega t =F_0\cos \omega t \end{equation}

を条件と連立させて解く。

\begin{equation} {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)=-{F_0\over m\omega}\sin \omega t\cos \omega t={F_0\over 2m\omega}\sin 2\omega t,~~ {\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)={F_0\over m\omega}\cos^2\omega t ={F_0\over 2m\omega}\left(1+\cos 2\omega t\right) \end{equation}

という解が出るから、後はこれを積分して

\begin{equation} A(t)=-{F_0\over 4m\omega}\cos 2\omega t +A_0,~~~ B(t)={F_0\over 2m\omega}\left( t+{1\over 2}\sin 2\omega t \right)+B_0 \end{equation}

が解である（$A_0,B_0$は積分定数）。$B(t)$は時間が経過するに従ってどんどん増加する関数になっている。つまり単振動の周期と同じ周期で外力を加えると、単振動の振幅がどんどん増加する（共振または共鳴と呼ばれる現象である）。

線型でない微分方程式を線型にする方法

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線型でない微分方程式を線型にする方法

以上のように線型微分方程式は解きやすい。そこで「線型でないように見える方程式」を線型に書き直す方法について述べておく。

ベルヌーイ型微分方程式

\begin{equation} {{\mathrm d}y\over {\mathrm d}x}+p({x}){y}=q({x}){y}^n\label{BDE} \end{equation}

という一階微分方程式は、${y}^n$を含むから非線型であるが、変数を変えることで線型な方程式に直すことができる。まず両辺を${y}^n$で割ると、

\begin{equation} {y}^{-n} {{{\mathrm d}y\over {\mathrm d}x}}+p({x}){y}^{1-n}=q({x}) \end{equation}

となる。これを見て、${z}={y}^{1-n}$を新しい変数にすればいい のでは、と気づく。というのは、${z}$を${x}$で微分してみると、

\begin{equation} {{\mathrm d}z\over {\mathrm d}x}= {\mathrm d\over\mathrm dx} {y}^{1-n}=(1-n){y}^{-n}{{\mathrm d}y\over {\mathrm d}x} \end{equation}

となることから第1項は${{\mathrm d}z\over {\mathrm d}x}$に比例しているのである。こうして

\begin{equation} {1\over 1-n} {{\mathrm d}z\over {\mathrm d}x} +p({x}){z}=q({x})\label{BDER} \end{equation}

と書き換えることができてこの計算は$n=1$ではできないが、その場合は線形微分方程式なのだからこんなことをしなくてもよい。、${z}$を従属変数として解けばよい。

前に考えた

\begin{equation} {{\mathrm d}y\over {\mathrm d}t}=k{y}(1-{y}) \end{equation} という式は$p({x})=-k,q({x})=-k$で$n=2$の場合のベルヌーイ型微分方程式なので、${z}={1\over {y}}$とすることで、 \begin{equation} -{{\mathrm d}z\over {\mathrm d}t}-k{z}=-k \end{equation}

という式に直すことができる（逆にこの式に${z}={1\over {y}}$を代入すれば元に戻る）。この式はさらに、 \begin{equation} {{\mathrm d}z\over {\mathrm d}t}=-k({x}-1) \end{equation}

とすれば、${z}-1=C\mathrm e^{-k{t}}$とすぐにわかる。

もちろんこの方法は特定の形の微分方程式（あるいは整理してこの形に直せる式）の時にだけしか使えない。

線型近似による方法

どうしても線型に直すことができないような微分方程式は、近似を使って解く場合もある。

一般的に、

\begin{equation} \left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 x(t)=F(x) \end{equation}

のような式で、$F(x)$がある点$x_0$で0を取っているとすると、

\begin{equation} F(x)=\underbrace{F(x_0)}_{0}+F'(x_0)(x-x_0)+\underbrace{{1\over 2}F''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots}_{無視する部分} \end{equation}

のようにテイラー展開を使って線型な式に直してしまうことができる（もちろん、$F''(x_0)$以降の項が無視できるほど小さいかどうかはちゃんと吟味する必要がある）。

$F'(x_0)$が正か負か、ということも重要である。

もし負であれば${x}=x_0$付近で${x}=x_0$に戻そうとする力（復元力）が働いていることになる。正であれば${x}=x_0$から離れようとする力になる。今近似の条件として${x}$は$x_0$に近い、と考えているのだがから、$F'(x_0)$が正の場合はこういう近似に向かない状況だということになる。

例として、振り子の運動方程式は

\begin{equation} mL\left({\mathrm d \over \mathrm dt}\right)^2 {\theta}= mg \sin{\theta} \end{equation}

である。右辺の$\sin\theta$はもちろん非線型であり、このまま解くのはたいへん難しい。そこで、$\theta-{\sin^3\theta\over3!}+\cdots$のようにテイラー展開して考えて１次の項のみを取る。

\begin{equation} mL\left({\mathrm d \over \mathrm dt}\right)^2 {\theta}= mg {\theta} \end{equation}

として解けば、後は$\theta$に関する線形微分方程式である。もちろん、振幅が大きい場合にはこの近似は使えない。

二階微分方程式の定数変化法 パラボラアンテナ

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常微分方程式で求められる現象の例

パラボラアンテナ

図のように$ x $軸の正の方向から電波もしくは光が入射してきて、曲面の鏡に反射した後O点に集まる、という状況を考えよう。点Bで反射した光がOに向かうためには、鏡の反射の性質（入射光と反射光の鏡面に対する角度が等しい）から、図の$\angle$BAOと$\angle$ABOが等しくならなくてはいけない。よって図の三角形ABCは二等辺三角形である。このことからAO=BO=$\sqrt{ x ^2+ y ^2}$と書くことができる。以上から図に描き込んだように各部の長さを求めていくと、点Bにおける鏡の傾き$\left({\mathrm dy\over \mathrm dx}\right)$は、$\angle$BACの傾きであり、直角三角形BACの底辺AC$ x +\sqrt{ x ^2+ y ^2}$であり、高さBCは$ y $なので、

\begin{equation} {\mathrm dy\over \mathrm dx}={ y \over x +\sqrt{ x ^2+ y ^2}} \end{equation}

が成り立つ。後はこれを微分方程式として解くのだが、この式は分母の方がややこしいので、

\begin{equation} {\mathrm dx\over \mathrm dy}={ x +\sqrt{ x ^2+ y ^2}\over y } \end{equation}

と逆数を取って$ x $を従属変数とした方が楽そうだ。ここでよく見ると、この式は

\begin{equation} {\mathrm dx\over \mathrm dy}={ x \over y }+\sqrt{\left({ x \over y }\right)^2+1} \end{equation}

と直せるから、${u}={ x \over y }$を変数とした方がよい。$ x ={u} y $としてから微分することで

\begin{equation} \mathrm dx = \mathrm du y +{u}\mathrm dy \end{equation}

という関係式が出るので、

\begin{equation} \begin{array}{rl} y {\mathrm du\over \mathrm dy}+{u}=&{u}+\sqrt{{u}^2+1}\\ y {\mathrm du\over \mathrm dy}=&\sqrt{{u}^2+1}\\ \int {\mathrm du\over \sqrt{{u}^2+1}}=&\int {\mathrm dy \over y } \end{array} \end{equation}

となって後は左辺の積分ができればよい。

$\sqrt{{u}^2+1}$が出てきた時の定番として、${u}=\sinh {t}$と置く忘れた人のために。$\sinh t={\mathrm e^t-\mathrm e^{-t}\over 2},\cosh t={\mathrm e^t+\mathrm e^{-t}\over 2}$で、$\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$という関係がある。。こうして$\sqrt{{u}^2+1}=\sqrt{1+\sinh^2 t}=\cosh t,\mathrm d u=\cosh t \mathrm dt$と置き換えられて、

\begin{equation} \begin{array}{rl} \int \mathrm dt =& \int {\mathrm dy\over y }\\[3mm] t=& \log y +C\\ \end{array} \end{equation}

と積分ができる。$u=\sinh t$だったから、これに上の$t$を代入する。$\sinh t={\mathrm e^t-\mathrm e^{-t}\over 2}$で、$\mathrm e^t=\mathrm e^C y $であるから、

\begin{equation} \begin{array}{rll} {u}=& {\mathrm e^C y -{1\over \mathrm e^C y }\over 2}&(両辺に x を掛けて)\\ x =& {\mathrm e^C y ^2-{1\over \mathrm e^C}\over 2}\\ \end{array} \end{equation}

と答えを出す。未定のパラメータである$\mathrm e^C$を$\mathrm e^C=2k$と書きなおして

\begin{equation} x =k{ y }^2 - {1\over 4k} \end{equation}

というのが答である。途中の積分が面倒な割には、答は単純な横倒しの放物線である。

ちなみに「パラボラアンテナ」の「パラボラ」とは放物線のことであり、実際に衛星放送のアンテナなどに使われている曲面は放物線を回転させた面の一部である衛星放送などのアンテナは図に描き込んであるようにアンテナの中心と放物線の軸はずらしてある。。

二階微分方程式の定数変化法 受講者の感想・コメント

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受講者の感想・コメント

　青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

線型でない微分方程式を線型にする方法

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