自然科学のための数学2015年度第24講

パラボラアンテナ

　このおもちゃと同じ原理が衛星放送などの受信アンテナに使われている。アンテナは遠方からやってきたほぼ平行な電波を反射させ、一点（焦点）に集める。${x}$軸正方向からきた平行光線を原点に集めるようにするためには、鏡をどのような形に並べればよいか？---これを求めようとすると、微分方程式の手助けが必要になってくる。

　電波もしくは光が入射してきて、曲面の鏡に反射した後O点に集まる、という状況を考えよう。点Bで反射した光がOに向かうためには、鏡の反射の性質（入射光と反射光の鏡面に対する角度が等しい）から、図の$\angle$BAOと$\angle$ABOが等しくならなくてはいけない。よって図の三角形ABOは二等辺三角形であり、AO=BO=$\sqrt{{x}^2+{y}^2}$と書くことができる。以上から図に描き込んだように各部の長さを求めていく。点Bにおける鏡の傾き$\left({\mathrm dy\over \mathrm dx}\right)$は$\angle$BACの傾きであり、直角三角形BACの底辺ACは${x}+\sqrt{{x}^2+{y}^2}$であり、高さBCは${y}$なので、 \begin{equation} {\mathrm dy\over \mathrm dx}={{y}\over {x}+\sqrt{{x}^2+{y}^2}} \end{equation} が成り立つ。この式は分母の方が煩雑なので、 \begin{equation} {\mathrm dx\over \mathrm dy}={{x}+\sqrt{{x}^2+{y}^2}\over {y}} \end{equation} と逆数を取って${x}$を従属変数とした方が楽そうだ。さらに、この式は同次方程式だから \begin{equation} {\mathrm dx\over \mathrm dy}={{x}\over {y}}+\sqrt{\left({{x}\over {y}}\right)^2+1} \end{equation} と直し、${u}={{x}\over {y}}を変数とした方がよい。

　${x}={u}{y}$としてから微分することで$\mathrm dx = \mathrm du{y}+{u}\mathrm dy$という関係式が出るので、 \begin{equation} \begin{array}{rl} {y} {\mathrm du\over \mathrm dy}+{{u}}=&{{u}}+\sqrt{{u}^2+1}\\ \end{array} \end{equation} となって後はこれを変数分離した${\mathrm du\over \sqrt{{u}^2+1}}={\mathrm dy \over {y}}$を積分すればよい。

　$\sqrt{{u}^2+1}$が出てきた時の定番の一つとして、${u}=\sinh {t}$と置く。

　こうして$\sqrt{{u}^2+1}=\sqrt{1+\sinh^2 {t}}=\cosh {t}$、$\mathrm d u=\cosh {t} \mathrm dt$と置き換えられて、 \begin{equation} \begin{array}{rl} \int \mathrm dt =& \int {\mathrm dy\over {y}}\\[3mm] {t}=& \log {y}+C\\ \end{array} \end{equation} と積分ができる。${u}=\sinh {t}$だったから、これに上の${t}$を代入する。$\sinh {t}={\mathrm e^{{t}}-\mathrm e^{-{t}}\over 2}$で、$\mathrm e^{{t}}=\mathrm e^C {y}$であるから、 \begin{equation} \begin{array}{rll} {u}=& {\mathrm e^C {y}-{1\over \mathrm e^C{y}}\over 2}&{両辺に{y}を掛けて}\\ \underbrace{{u}{y}}_{{x}}=& {\mathrm e^C{y}^2-{1\over \mathrm e^C}\over 2}\\ \end{array} \end{equation} と答えを出す。未定のパラメータである$\mathrm e^C$を$\mathrm e^C=2k$と書きなおして \begin{equation} {x}=k{{y}}^2 - {1\over 4k} \end{equation} というのが答である。途中の積分が面倒な割には、答は単純な横倒しの放物線である。ちなみに「パラボラアンテナ」の「パラボラ」とは放物線のことである実際に衛星放送のアンテナなどに使われている曲面は放物線を回転させた面の一部であり、図に描き込んであるようにアンテナの中心と放物線の軸はずらしてある。。

懸垂線

懸垂線

　紐を２点を固定してつりさげた時の形を考えてみる。

　一番下の部分を原点として、右の図のように座標系を張る。紐にかかる張力は上の方ほど大きくなるはずだから、図のように微小部分を考えた時、下端には${T}$、上端には${t}+\mathrm dT$の力が働く。紐は直線状ではないからこの張力の向きも（微小に）違う。働く力はこの他に重力がある。微小部分の紐の長さは$\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}$だから、これに単位長さあたりの質量$\rho$と重力加速度$g$を掛けた分の重力が下向きに働く。

　下の図を参考に、${T}$を鉛直成分と水平成分に分ける（その比は$\mathrm dy:\mathrm dx$）。

　この微小部分に働く張力の水平成分は等しいはずである。よって、 \begin{equation} \overbrace{{T}{\mathrm dx\over \sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}}}^{Tの水平成分}=T_0~~~(T_0は定数) \end{equation} が成り立つ。ここで$T_0$は、$\mathrm dy=0$の時の張力だと思えばよい（図を見ると、それは最下点すなわち原点である）。

　次に鉛直成分を考えると、${T}$の鉛直成分の増加がちょうど重力によって打ち消されればつりあいが保たれるから、「${T}$の鉛直成分の微小変化」が、その微小部分にかかる重力に等しくなる。式で表現すれば、 \begin{equation} \mathrm d \left( {T}{\mathrm dy\over \sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}} \right)=\rho g \sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2} \end{equation} が成り立つということである。

　${T}=T_0{\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}\over \mathrm dx}$となるからこれを代入すれば \begin{equation} \mathrm d \left( T_0{\mathrm dy\over \mathrm dx} \right)=\rho g \sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2} \end{equation} となる。$T_0$は定数だから微分の外に出して、右辺は$\mathrm dx$をルートの外に出し、 \begin{equation} T_0\mathrm d \left({\mathrm dy\over \mathrm dx}\right)=\rho g\sqrt{1+\left({\mathrm dy\over \mathrm dx}\right)^2}\mathrm dx \end{equation} とした上で、${\mathrm dy\over \mathrm dx}={V}$と考えれば \begin{equation} \mathrm dV= {\rho g\over T_0}\sqrt{1+{V}^2}\mathrm dx \end{equation} という変数分離可能な微分方程式になる。（ついさっきも登場した）$\sqrt{1+{V}^2}$という形が出てきたので、同じ手を使う。

　考え方はパラボラのときの積分と同様で、「$\sqrt{1+V^2}$という鬱陶しい式をいかに簡単にするか」を考えて後は試行錯誤を行なう。

　${V}=\sinh {t}$という置換積分（これで$\sqrt{1+\sinh^2 t}=\cosh t$になるし、$\mathrm dV=\cosh {t} \mathrm dt$となる）を使って計算して、 \begin{equation} \begin{array}{rll} {\mathrm dV\over \sqrt{1+{V}^2}}=&{\rho g\over T_0}\mathrm dx &({{V}=\sinh {t}}として) \\ {\cosh {t} \mathrm dt\over \cosh {t}}=&{\rho g\over T_0}\mathrm dx &(積分して) \\ {t}=&{\rho g\over T_0}{x}+C~~~&(Cは積分定数) \end{array} \end{equation} であるから、 \begin{equation} {V}={\mathrm dy\over \mathrm dx}= \sinh \left({\rho g\over T_0}{x}+C\right) \end{equation} となる。これをさらに積分して、 \begin{equation} {y}= {T_0\over \rho g}\cosh \left({\rho g\over T_0}{x}+C\right)+D~~~(Dは積分定数) \end{equation} が解となる。最初に図で設定したように${x}=0$で${y}=0,{\mathrm dy\over \mathrm dx}=0$とすれば、$C=0,D={-{T_0\over \rho g}}$となり、最終的な答えは \begin{equation} {y}= {T_0\over \rho g}\left( \cosh \left({\rho g\over T_0}{x}\right)-1\right) \end{equation} となる。

　このような曲線（$\cosh$で表される）を「懸垂線」と呼ぶ。「放物線？」と思った人がいるかもしれないが、計算結果は$\cosh$である。しかし \begin{equation} \cosh x =1+{1\over 2}x^2 + {1\over 24}x^4+\cdots \end{equation} という展開式があることを考えると、${x}$が小さい範囲では$y=a{x}^2$とほぼ同じである。次のグラフに示したように、${1\over 2}{x}^2$と$\cosh {x}-1$は${x}$が小さい範囲ではほぼ等しい。

　実際に鎖を垂らした状態と、プロジェクタで写した$y=\cosh x$のグラフを重ねてみたのが、

で、実に見事に一致している（実は自分でやってみてびっくりした）。
　授業では$y=x^2$の場合はうまく重ならない（上の方を重ねると下がずれ、下の方を重ねると上がずれる）ことを見せたのだが、そっちは写真を撮っておかなかったのが残念である。

　なお、ついでに逆向き懸垂線ができる例である「ニュートンビーズ」も見せた（写真は今回の授業のものではない）。

パラボラアンテナ 肉食動物と草食動物の連立微分方程式

肉食動物と草食動物の連立微分方程式

　ある森の中で草食動物（兎）の数${X}$と肉食動物（狐）の数${Y}$がどう増減するかを考える。狐は兎を食べるので、兎は狐と出会うと死ぬと考えよう。森の中に${X}$匹の兎と${Y}$匹の狐がそれぞれ動きまわっている状況を考えると、両者が出会う確率は${X}$と${Y}$の積に比例するだろう。そして出会った後でやはりある確率で「狐が兎を食べる」というイベントが発生し、兎が減る。このように考えると、兎の減少量は${X}{Y}$という積に比例するだろう。兎は草食で、草はなくならないとすれば、狐に出会わなければ今いる量${X}$に比例して増える。よって、 \begin{equation} {\mathrm d{X}\over \mathrm dt}= A{X} -B{X}{Y} \end{equation} という式で増減するとする（$A,B$は比例定数）。

　一方狐は、兎を食べないと生きていけないのだから、その増加はどれだけ兎を食べられるかによって決まり、それは${X}{Y}$に比例するのだったから、狐は${X}{Y}$に比例して増える。兎がいなかったら寿命が来て死ぬだけなので、それを$-C{Y}$という形で式に入れて \begin{equation} {\mathrm d{Y}\over \mathrm dt}= -C {Y} + D {X}{Y}\label{lwtwo} \end{equation} という微分方程式に従う（$C,D$は$A,B$とは別の比例定数である）。この方程式はこの式を出した二人の数学者の名前を取って「ロトカ・ヴォルテラの方程式」と呼ばれる。

　時間変化を考えるには、${\mathrm d {X}\over \mathrm dt},{\mathrm d{Y}\over \mathrm dt}$に関する二つの微分方程式を連立させて解けばよい。いきなり解けと言われるとどうしていいのか悩んでしまうところだが、ここでまず、「${\mathrm d {X}\over \mathrm dt}={\mathrm d{Y}\over \mathrm dt}=0$となるのはどんなときか？」から考えるのがよい。${\mathrm d {X}\over \mathrm dt}={\mathrm d{Y}\over \mathrm dt}=0$となる点を「固定点」と呼ぶ。

　固定点を求める方程式は上の微分方程式の右辺が$0$になる、という式で、因数分解すれば \begin{eqnarray} {X}(A-B{Y})&=&0\\ {Y}(-C+D{X})&=&0 \end{eqnarray} である。${X}={Y}=0$もこの方程式の解だが、「兎も狐もいない」という「つまらない解」最初から兎も狐もいないのだから、未来永劫いないままである。なので無視する。

　${X}={C\over D},{Y}={A\over B}$が意味のある固定点である。

　固定点からずれた時の${\mathrm d{X}\over\mathrm dt},{\mathrm d {Y}\over\mathrm dt}$の様子をグラフに表示すると

のようになる。これから${X}$-${Y}$平面内で反時計周りにぐるぐる回るような時間発展を行うということが予想される。

　固定点からのずれを${x},{y}$とする。つまり、 \begin{equation} {X}= {C\over D}+{x},~~{Y}={A\over B}+{y} \end{equation} とする。こうして${x},{y}$の微分方程式を作ると、 \begin{equation} {\mathrm dx\over \mathrm dt}= -B \left({C\over D}+{x}\right) {y},~~~ {\mathrm dy \over \mathrm dt}= D\left({A\over B}+{y}\right){x} \end{equation} となる。ここで${x},{y}$は${C\over D},{A\over B}$に比べて小さいと考えて、括弧内の${x},{y}$は無視して、 \begin{equation} {\mathrm dx\over \mathrm dt}= -{BC\over D} {y},~~~ {\mathrm dy \over \mathrm dt}= {AD\over B} {x} \end{equation} と近似する。第一式を微分して \begin{equation} {\mathrm d^2 x\over \mathrm dt^2}= -{BC\over D} {\mathrm dy\over \mathrm dt} \end{equation} にしてから第二式を代入すると \begin{equation} {\mathrm d^2 x\over \mathrm dt^2}= -{BC\over D}\times{AD\over B}{x}=-{AC}{x} \end{equation} という、係数は違うが単振動と同じ式が}出てくる。

　ここで求めたのは近似解なので、${X}$-${Y}$平面に描かれる図形は単純な楕円であるが、実際に微分方程式を解いてみると少々複雑な図形を描く。

X=

Y=

初期値変更 グラフ消去

懸垂線 受講者の感想・コメント

受講者の感想・コメント

　青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

肉食動物と草食動物の連立微分方程式