今日の授業の説明は、だいたい、
のページに書いてあること。
最後にネオジム磁石をハサミにくっつけておいてライターで温めるとポトンと落ちる、というところを示した。
なお、今日強調したことは $$ \begin{array}{rl} \diff U=&T\diff S-p\diff V+\mu \diff N\\ \diff F=&-S\diff T-p\diff V+\mu \diff N\\ \diff H=&T\diff S+V\diff p+\mu \diff N\\ \diff G=&-S\diff T+V\diff p+\mu \diff N \end{array} $$ という4つの式の中にかなりの情報が入っている、ということ。
たとえばこの中から${\partial U\over\partial S}=T$のような微分の関係が読み取れるし、「二階微分が交換する」ということからはMaxwellの関係式が出て来る。
また、この関係式からは、$F=U-TS$が$F=U-{\partial U\over\partial S}S$のように(あるいは、$H=U+PV$が$H=U-{\partial U\over \partial V}V$のように)、ルジャンドル変換でつながることもわかる。
ここまで来ると、$G$をさらに$\mu$でルジャンドル変換すればいいんでは?と思う人もいるかもしれない。
ところがそれはできない。前に出したEulerの関係式 $$ F+pV=\mu N $$ から、実は$G=\mu N$である。つまり$G$は$\mu,N$に関してリニアな関数になってしまっている。ルジャンドル変換は凸な関数にしかできない。無理やりやったとすると、 $$ G-{\partial G\over \partial N}N=0 $$ となる。
完全な熱力学関数は「凸であること」が重要(そうでない場合は相転移が起こったり、ルジャンドル変換ができなくなったりする)。
青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。
主なもの、代表的なもののみについて記し、回答しています。