「微分方程式と友達になる」(その1)
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2011/07/19の授業内容です。
#mathJax()
*「根底からの物理」微分方程式と友達になる(その1) [#ld5...
**はじめに [#n7c7d0f8]
物理の問題を解くうち、おそらくは半分以上は「微分方程式を...
***なぜ微分方程式はそんなに大事なのか [#taa10fd3]
それは、物理法則のほとんどが「微分形」で書かれているから...
-[力学] 運動方程式、${\mathrm d \vec p\over \mathrm d t...
-[電磁気学] マックスウェル方程式((まだ知らない人が多いか...
-[熱力学] 熱力学第一法則、$\mathrm d U=T\mathrm d S-P\m...
-[量子力学]シュレーディンガー方程式、$\mathrm i \hbar {\p...
のように、微分方程式だらけなのである。
なぜ物理法則(の多く)は微分方程式で書かれるのだろうか??
それは、多くの物理が「''局所性''」を持っているからである...
たとえば、「この授業中に私が寝てしまうかどうか」はこの教...
多くの物理の問題は「ある時刻での状態がわかっているとして...
\begin{equation}
\begin{array}{c}
{\partial \over \partial t}(\vec x,tにある、ある物理量)=(...
\end{array}
\end{equation}
という形の微分方程式にまとめられる。これは、その「ある物...
**一階常微分方程式からはじめよう [#yf48eeac]
まず、微分方程式の中でも一番単純な「一階常微分方程式」か...
「一階常微分方程式を解く」とはどういうことか、何かを一言...
----
$\mathrm d x$と$\mathrm d y$の関係が与えられた時、$x$と...
----
ということになる。
$\mathrm d x$と$\mathrm d y$の意味は、「$x$の微小な変化...
$y$は$x$の関数であるから、「$x$を一つ決めれば$y$が一つ決...
#ref(dxdy.png)
もちろん、この$\mathrm d x$と$\mathrm d y$は「0にする極...
微分という操作の逆を行い、「各点各点における$\mathrm d y...
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=f(x,y)
\end{equation}
のように右辺は$x$と$y$の関数で書かれる。これは、
\begin{equation}
\mathrm d y = f(x,y)\mathrm d x
\end{equation}
のように$\mathrm d y$と$\mathrm d x$の比が決まる、と書...
なお、数学的に厳密な話をする時には「${\mathrm d y\over \...
**まずは簡単な微分方程式から [#o5930512]
では、
----
もっとも簡単な微分方程式
$${\mathrm d y\over \mathrm d x}=0$$
----
を解いてみよう。
#ref(dydx0.png)
微分して0なのだから
\begin{equation}
y=(定数)
\end{equation}
が答なのはすぐにわかる。これを図形的に表現しておくと、右...
そうやって伸ばしていった線とはつまりグラフで言えば「水平...
「$\mathrm d x$と$\mathrm d y$の比」は今考えている曲線(...
#ref(dydxa.png)
同様に
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=a
\end{equation}
という微分方程式($a$は定数とする)を考えると、その解は
\begin{equation}
y=ax+C
\end{equation}
となる。
$C$は「積分定数」と呼ばれる定数で、後で(問題の条件に合う...
***少しだけ微分方程式らしく [#g42047b7]
#ref(dydxx.png)
では、もう少し解きがいのある微分方程式に進もう。
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=x
\end{equation}
の場合、グラフの点に${\mathrm d y\over \mathrm d x}$に...
傾き${\mathrm d y\over \mathrm d x}$は$x=0$の点($y$軸...
この図は${\mathrm d y\over \mathrm d x}=x$の別の表現で...
#ref(dydxxsolution.png)
図を見て考えても「放物線になりそうだな」ということは目で...
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=x ~~~\to~~~ y={x^2\over ...
\end{equation}
が解であることは(あまり難しいことを考えなくても)わかる。
解となる${-1}{2}y={x^2\over 2}+C$で表される曲線を(いろん...
後で任意に選べる積分定数$C$があって始めて解曲線が全ての点...
&color(Red){電磁気を勉強した人は、この${\mathrm d y\over...
&color(Red){電気力線と微分方程式の解曲線の違いの一つは、...
&color(Red){もう一つの違いは、電気力線の「合流しない」「...
#ref(dydxy.png)
次に、
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=y\label{dydxy}
\end{equation}
を考えてみよう。この場合、$y=0$の時${\mathrm d y\over \m...
図に、「どんな解曲線になるか」を書き込んでみよう(計算し...
数式で考えると、${\mathrm d y\over \mathrm d x}=y$の意...
後で、具体的計算からもこの答がちゃんと出ることを確認する...
もう一つ、
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}={y\over x}\label{chokusen}
\end{equation}
という、図で考えるとわかりやすい微分方程式を考えてみよう...
#ref(chokusen.png)
次のグラフに${\mathrm d y\over \mathrm d x}$の方向を示...
#ref(dydxyx.png)
つまり、この場合の解は
\begin{equation}
y=(定数)x
\end{equation}
である。後で、計算によっても同じ答が出ることを確認しよう。
なお、これが正しいことの確認は$y=ax$であれば、${\mathrm d...
次に、${\mathrm d y\over \mathrm d x}$がいくつかの関数...
&color(Red){このあたりの計算は、以下のプログラム(FLASH)...
&size(32){&color(Red){↓は画像ではなく、実際に動かせるプロ...
&flash("http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/FLASH/DE.sw...
&size(32){&color(Red){↑は画像ではなく、実際に動かせるプロ...
&color(Red){下の左のセレクタで関数が、真ん中のスライダで...
&color(Red){プリントやこのページに載せた図も、このプログ...
${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-{x\over y}$
#ref(dydxymxy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x\over y}$
#ref(dydxxoy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={xy}$
#ref(dydxxxy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={-xy}$
#ref(dydxmxy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}=\sin 2x$
#ref(sin2x.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x+y}$
#ref(dydxxpy.png)
ここまでで、「微分方程式を解く」ということがどういうこと...
**変数分離 [#y9429ade]
微分方程式を解こうにも、図で考えて関数の形がわかることは...
変数分離とは、たとえば${\mathrm d y\over \mathrm d x}=x...
\begin{equation}
\underbrace{\mathrm d y}_{左辺はyのみ}=\underbrace{x\mat...
\end{equation}
のように、左辺と右辺に変数を分離してしまうことである。
---
よくある質問:${\mathrm d y\over \mathrm d x}$の分母を払...
よい。物理で使う範囲についてはあまり細かいことを気にせず...
----
こうしておいて、左辺と右辺をそれぞれ積分する。すなわち、
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
\int \mathrm d y =& \int x \mathrm d x\\
y =& {x^2\over 2}+C
\end{array}
\end{equation}
----
''積分定数は両辺にいらないの?''
両辺につけてもいいが、右辺だけ(あるいは左辺だけ)でも同...
$$
y+C' = {x^2\over 2}+C
$$
とする必要があるが、これは
$$
y= {x^2\over 2}+C-C'
$$
と変形して、$C-C'$を別の定数(たとえば$D$)と置けば
$$
y= {x^2\over 2}+D
$$
となる。$C,C'$の値はまだ決めてないのだから、まとめて未定...
----
一般的に、一階常微分方程式が
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=f(x)g(y)
\end{equation}
の形をしていれば、
\begin{equation}
{\mathrm d y\over g(y)}=f(x)\mathrm d x
\end{equation}
の形に変数分離できる。
${\mathrm d y\over \mathrm d x}=y$もこの方法で解ける。
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}&=y&~~~y\mathrm d xで割...
{\mathrm d y\over y}&=\mathrm d x &~~~両辺を積分する\\
\int {\mathrm d y\over y}&=\int \mathrm d x &~~~積分の...
\log y&= x+C &~~~両辺を\exp の肩に乗せて\\
y&={\mathrm e}^{x+C}
\end{array}
\end{equation}
という計算である。${\mathrm e}^C$をまた別の定数$a$とすれ...
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={y\over x}$を変数分離で解...
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=&{y\over x}&両辺をyで割...
{\mathrm d y\over y}=&{\mathrm d x\over x}&{積分して}\\
\log y =& \log x +C&{両辺を\exp の肩に乗せて}\\
y=& x {\mathrm e}^C
\end{array}
\end{equation}
となる。${\mathrm e}^C$はまた一つの定数だから、$y=ax$($a...
問い3-1 以下の微分方程式を変数分離を使って解け。
(1) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-{x\over y}$
(2) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x\over y}$
(3) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=xy$
(4) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-xy$
(5) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=\sin 2x$
これらは図の微分方程式の中にもある。図で行なった予想と結...
問い3-2 以下の微分方程式を変数分離を使って解け。
(1) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-{y\over x}$
(2) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x^2\over y}$
(3) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}+y^2 \sin x=0$
なお、解は全て$y=F(x)$という形に整理できるとは限らないの...
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終了行:
2011/07/19の授業内容です。
#mathJax()
*「根底からの物理」微分方程式と友達になる(その1) [#ld5...
**はじめに [#n7c7d0f8]
物理の問題を解くうち、おそらくは半分以上は「微分方程式を...
***なぜ微分方程式はそんなに大事なのか [#taa10fd3]
それは、物理法則のほとんどが「微分形」で書かれているから...
-[力学] 運動方程式、${\mathrm d \vec p\over \mathrm d t...
-[電磁気学] マックスウェル方程式((まだ知らない人が多いか...
-[熱力学] 熱力学第一法則、$\mathrm d U=T\mathrm d S-P\m...
-[量子力学]シュレーディンガー方程式、$\mathrm i \hbar {\p...
のように、微分方程式だらけなのである。
なぜ物理法則(の多く)は微分方程式で書かれるのだろうか??
それは、多くの物理が「''局所性''」を持っているからである...
たとえば、「この授業中に私が寝てしまうかどうか」はこの教...
多くの物理の問題は「ある時刻での状態がわかっているとして...
\begin{equation}
\begin{array}{c}
{\partial \over \partial t}(\vec x,tにある、ある物理量)=(...
\end{array}
\end{equation}
という形の微分方程式にまとめられる。これは、その「ある物...
**一階常微分方程式からはじめよう [#yf48eeac]
まず、微分方程式の中でも一番単純な「一階常微分方程式」か...
「一階常微分方程式を解く」とはどういうことか、何かを一言...
----
$\mathrm d x$と$\mathrm d y$の関係が与えられた時、$x$と...
----
ということになる。
$\mathrm d x$と$\mathrm d y$の意味は、「$x$の微小な変化...
$y$は$x$の関数であるから、「$x$を一つ決めれば$y$が一つ決...
#ref(dxdy.png)
もちろん、この$\mathrm d x$と$\mathrm d y$は「0にする極...
微分という操作の逆を行い、「各点各点における$\mathrm d y...
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=f(x,y)
\end{equation}
のように右辺は$x$と$y$の関数で書かれる。これは、
\begin{equation}
\mathrm d y = f(x,y)\mathrm d x
\end{equation}
のように$\mathrm d y$と$\mathrm d x$の比が決まる、と書...
なお、数学的に厳密な話をする時には「${\mathrm d y\over \...
**まずは簡単な微分方程式から [#o5930512]
では、
----
もっとも簡単な微分方程式
$${\mathrm d y\over \mathrm d x}=0$$
----
を解いてみよう。
#ref(dydx0.png)
微分して0なのだから
\begin{equation}
y=(定数)
\end{equation}
が答なのはすぐにわかる。これを図形的に表現しておくと、右...
そうやって伸ばしていった線とはつまりグラフで言えば「水平...
「$\mathrm d x$と$\mathrm d y$の比」は今考えている曲線(...
#ref(dydxa.png)
同様に
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=a
\end{equation}
という微分方程式($a$は定数とする)を考えると、その解は
\begin{equation}
y=ax+C
\end{equation}
となる。
$C$は「積分定数」と呼ばれる定数で、後で(問題の条件に合う...
***少しだけ微分方程式らしく [#g42047b7]
#ref(dydxx.png)
では、もう少し解きがいのある微分方程式に進もう。
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=x
\end{equation}
の場合、グラフの点に${\mathrm d y\over \mathrm d x}$に...
傾き${\mathrm d y\over \mathrm d x}$は$x=0$の点($y$軸...
この図は${\mathrm d y\over \mathrm d x}=x$の別の表現で...
#ref(dydxxsolution.png)
図を見て考えても「放物線になりそうだな」ということは目で...
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=x ~~~\to~~~ y={x^2\over ...
\end{equation}
が解であることは(あまり難しいことを考えなくても)わかる。
解となる${-1}{2}y={x^2\over 2}+C$で表される曲線を(いろん...
後で任意に選べる積分定数$C$があって始めて解曲線が全ての点...
&color(Red){電磁気を勉強した人は、この${\mathrm d y\over...
&color(Red){電気力線と微分方程式の解曲線の違いの一つは、...
&color(Red){もう一つの違いは、電気力線の「合流しない」「...
#ref(dydxy.png)
次に、
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=y\label{dydxy}
\end{equation}
を考えてみよう。この場合、$y=0$の時${\mathrm d y\over \m...
図に、「どんな解曲線になるか」を書き込んでみよう(計算し...
数式で考えると、${\mathrm d y\over \mathrm d x}=y$の意...
後で、具体的計算からもこの答がちゃんと出ることを確認する...
もう一つ、
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}={y\over x}\label{chokusen}
\end{equation}
という、図で考えるとわかりやすい微分方程式を考えてみよう...
#ref(chokusen.png)
次のグラフに${\mathrm d y\over \mathrm d x}$の方向を示...
#ref(dydxyx.png)
つまり、この場合の解は
\begin{equation}
y=(定数)x
\end{equation}
である。後で、計算によっても同じ答が出ることを確認しよう。
なお、これが正しいことの確認は$y=ax$であれば、${\mathrm d...
次に、${\mathrm d y\over \mathrm d x}$がいくつかの関数...
&color(Red){このあたりの計算は、以下のプログラム(FLASH)...
&size(32){&color(Red){↓は画像ではなく、実際に動かせるプロ...
&flash("http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/FLASH/DE.sw...
&size(32){&color(Red){↑は画像ではなく、実際に動かせるプロ...
&color(Red){下の左のセレクタで関数が、真ん中のスライダで...
&color(Red){プリントやこのページに載せた図も、このプログ...
${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-{x\over y}$
#ref(dydxymxy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x\over y}$
#ref(dydxxoy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={xy}$
#ref(dydxxxy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={-xy}$
#ref(dydxmxy.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}=\sin 2x$
#ref(sin2x.png)
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x+y}$
#ref(dydxxpy.png)
ここまでで、「微分方程式を解く」ということがどういうこと...
**変数分離 [#y9429ade]
微分方程式を解こうにも、図で考えて関数の形がわかることは...
変数分離とは、たとえば${\mathrm d y\over \mathrm d x}=x...
\begin{equation}
\underbrace{\mathrm d y}_{左辺はyのみ}=\underbrace{x\mat...
\end{equation}
のように、左辺と右辺に変数を分離してしまうことである。
---
よくある質問:${\mathrm d y\over \mathrm d x}$の分母を払...
よい。物理で使う範囲についてはあまり細かいことを気にせず...
----
こうしておいて、左辺と右辺をそれぞれ積分する。すなわち、
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
\int \mathrm d y =& \int x \mathrm d x\\
y =& {x^2\over 2}+C
\end{array}
\end{equation}
----
''積分定数は両辺にいらないの?''
両辺につけてもいいが、右辺だけ(あるいは左辺だけ)でも同...
$$
y+C' = {x^2\over 2}+C
$$
とする必要があるが、これは
$$
y= {x^2\over 2}+C-C'
$$
と変形して、$C-C'$を別の定数(たとえば$D$)と置けば
$$
y= {x^2\over 2}+D
$$
となる。$C,C'$の値はまだ決めてないのだから、まとめて未定...
----
一般的に、一階常微分方程式が
\begin{equation}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=f(x)g(y)
\end{equation}
の形をしていれば、
\begin{equation}
{\mathrm d y\over g(y)}=f(x)\mathrm d x
\end{equation}
の形に変数分離できる。
${\mathrm d y\over \mathrm d x}=y$もこの方法で解ける。
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}&=y&~~~y\mathrm d xで割...
{\mathrm d y\over y}&=\mathrm d x &~~~両辺を積分する\\
\int {\mathrm d y\over y}&=\int \mathrm d x &~~~積分の...
\log y&= x+C &~~~両辺を\exp の肩に乗せて\\
y&={\mathrm e}^{x+C}
\end{array}
\end{equation}
という計算である。${\mathrm e}^C$をまた別の定数$a$とすれ...
${\mathrm d y\over \mathrm d x}={y\over x}$を変数分離で解...
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
{\mathrm d y\over \mathrm d x}=&{y\over x}&両辺をyで割...
{\mathrm d y\over y}=&{\mathrm d x\over x}&{積分して}\\
\log y =& \log x +C&{両辺を\exp の肩に乗せて}\\
y=& x {\mathrm e}^C
\end{array}
\end{equation}
となる。${\mathrm e}^C$はまた一つの定数だから、$y=ax$($a...
問い3-1 以下の微分方程式を変数分離を使って解け。
(1) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-{x\over y}$
(2) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x\over y}$
(3) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=xy$
(4) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-xy$
(5) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=\sin 2x$
これらは図の微分方程式の中にもある。図で行なった予想と結...
問い3-2 以下の微分方程式を変数分離を使って解け。
(1) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}=-{y\over x}$
(2) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}={x^2\over y}$
(3) ${\mathrm d y\over \mathrm d x}+y^2 \sin x=0$
なお、解は全て$y=F(x)$という形に整理できるとは限らないの...
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