「微分方程式と友達になる」(その2)
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*「根底からの物理」微分方程式と友達になる(その2) [#jda...
&color(Red){[[前回>「微分方程式と友達になる」(その1)]]...
**一見変数分離できないが工夫するとなんとかなる場合 [#jade...
微分方程式
\begin{equation}
{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}={x-y\over x}
\end{equation}
はこのままでは変数分離できない。そこでまず
\begin{equation}
x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+y=x
\end{equation}
とする。こうしておいて、「左辺が${{\mathrm d} (なんとか)\...
\begin{equation}
{{\mathrm d} \over {\mathrm d} x}\left(xy\right)= x{{\mat...
\end{equation}
となることがわかる。つまり解くべき方程式は、
\begin{equation}
{{\mathrm d} \over {\mathrm d} x}\left(xy\right)= x
\end{equation}
なのである。これは$xy=z$とおいて、$z$の微分方程式
\begin{equation}
{{\mathrm d} z\over {\mathrm d} x}=x
\end{equation}
だと思えばすぐに解けて、
\begin{equation}
z= {x^2\over 2}+C~~~すなわち~~~
y={x\over 2}+{C\over x}
\end{equation}
とわかる。
この方程式は、
\begin{equation}
{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=1-{y\over x}
\end{equation}
としてから、${y\over x}=w$として$w$の方程式として解くとい...
&color(Red){同次形についての説明はちょっと手薄だったかも...
'問1':${y\over x}=w$と置き直すことで、$ {{\mathrm d} y\o...
'問2': 以下の微分方程式を解け。
(1) ${{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}={x^3-2y\over x}$
(2) $(x+y){\mathrm d} x+(x-y){\mathrm d} y=0$
(3) $x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+3y={\sin x\over ...
**全微分 [#z27fc8a7]
&color(Red){順番としては、全微分を先にやった方がよかった...
方程式が「全微分」の形をしている時は、比較的簡単に解を求...
\begin{equation}
x {\mathrm d} x + y {\mathrm d} y=0
\end{equation}
と変形できる。この式は
\begin{equation}
{\mathrm d} \left({1\over2}x^2+{1\over2}y^2\right)=0
\end{equation}
と同じ式である。逆にたどって確かめるのはたやすい。よって...
\begin{equation}
{1\over2}x^2+{1\over2}y^2=C(定数)
\end{equation}
であることがすぐわかる。
つまり、ある式が、
\begin{equation}
{\mathrm d}(なにか)
\end{equation}
の形になっている時、これを「全微分になっている」と呼ぶわ...
'問1':以下の微分方程式を、全微分の形に変形することで解け。
(1)$2xy{\mathrm d} x+x^2{\mathrm d} y=0$
(2)$y\cos x {\mathrm d} x+ \sin x {\mathrm d} y=0$
(3)$-{y\over x^2}{\mathrm d} x+{1\over x}{\mathrm d} y=0$
(4)$(9x^2+y-1)-(4y-x){{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=0$
&color(Red){以下、積分可能条件などの話はできなかった。};
$x{\mathrm d} x+y{\mathrm d} y$という式を見て全微分である...
そのために「積分可能条件」と呼ばれる条件を使う。たとえば...
\begin{equation}
P(x,y){\mathrm d} x + Q(x,y){\mathrm d} y=0
\end{equation}
の形になったとする。これが
\begin{equation}
{\mathrm d} f(x,y)=0~~ すなわち ~~ {\partial f\over \par...
\end{equation}
と書き直せるためには、
\begin{equation}
{\partial P\over\partial y}={\partial Q\over \partial x}
\end{equation}
ことが必要十分条件である。
&color(Red){ちょっと長い説明省略};
全微分でなかった時も、「何かの関数をかけることで全微分の...
\begin{equation}
P(x,y){\mathrm d} x +Q(x,y){\mathrm d} y =0 ~~\to~~
M(x,y)P(x,y){\mathrm d} x +M(x,y)Q(x,y){\mathrm d} y =0
\end{equation}
として、たとえ、$P(x,y),Q(x,y)$が積分可能条件${\partial P...
\begin{equation}
(x^2+xy){\mathrm d} x -x^2 {\mathrm d} y=0
\end{equation}
はこのままでは積分できないが、両辺を$x^3$で割って、
\begin{equation}
\left({1\over x}+{y\over x^2}\right){\mathrm d} x -{1\ove...
\end{equation}
とすると、$\log x -{y\over x}$の微分になっている。つまり、
\begin{equation}
\log x -{y\over x}= C
\end{equation}
が解である。
${\mathrm d} (x^my^n)=m x^{m-1}y^n {\mathrm d} x+ nx^m y^...
&color(Red){プリントでは、上の式が間違っていました。${\ma...
&color(Red){ほんとうは物理への応用まで行きたかったのだが...
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&color(Red){[[前回>「微分方程式と友達になる」(その1)]]...
**一見変数分離できないが工夫するとなんとかなる場合 [#jade...
微分方程式
\begin{equation}
{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}={x-y\over x}
\end{equation}
はこのままでは変数分離できない。そこでまず
\begin{equation}
x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+y=x
\end{equation}
とする。こうしておいて、「左辺が${{\mathrm d} (なんとか)\...
\begin{equation}
{{\mathrm d} \over {\mathrm d} x}\left(xy\right)= x{{\mat...
\end{equation}
となることがわかる。つまり解くべき方程式は、
\begin{equation}
{{\mathrm d} \over {\mathrm d} x}\left(xy\right)= x
\end{equation}
なのである。これは$xy=z$とおいて、$z$の微分方程式
\begin{equation}
{{\mathrm d} z\over {\mathrm d} x}=x
\end{equation}
だと思えばすぐに解けて、
\begin{equation}
z= {x^2\over 2}+C~~~すなわち~~~
y={x\over 2}+{C\over x}
\end{equation}
とわかる。
この方程式は、
\begin{equation}
{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=1-{y\over x}
\end{equation}
としてから、${y\over x}=w$として$w$の方程式として解くとい...
&color(Red){同次形についての説明はちょっと手薄だったかも...
'問1':${y\over x}=w$と置き直すことで、$ {{\mathrm d} y\o...
'問2': 以下の微分方程式を解け。
(1) ${{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}={x^3-2y\over x}$
(2) $(x+y){\mathrm d} x+(x-y){\mathrm d} y=0$
(3) $x{{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}+3y={\sin x\over ...
**全微分 [#z27fc8a7]
&color(Red){順番としては、全微分を先にやった方がよかった...
方程式が「全微分」の形をしている時は、比較的簡単に解を求...
\begin{equation}
x {\mathrm d} x + y {\mathrm d} y=0
\end{equation}
と変形できる。この式は
\begin{equation}
{\mathrm d} \left({1\over2}x^2+{1\over2}y^2\right)=0
\end{equation}
と同じ式である。逆にたどって確かめるのはたやすい。よって...
\begin{equation}
{1\over2}x^2+{1\over2}y^2=C(定数)
\end{equation}
であることがすぐわかる。
つまり、ある式が、
\begin{equation}
{\mathrm d}(なにか)
\end{equation}
の形になっている時、これを「全微分になっている」と呼ぶわ...
'問1':以下の微分方程式を、全微分の形に変形することで解け。
(1)$2xy{\mathrm d} x+x^2{\mathrm d} y=0$
(2)$y\cos x {\mathrm d} x+ \sin x {\mathrm d} y=0$
(3)$-{y\over x^2}{\mathrm d} x+{1\over x}{\mathrm d} y=0$
(4)$(9x^2+y-1)-(4y-x){{\mathrm d} y\over {\mathrm d} x}=0$
&color(Red){以下、積分可能条件などの話はできなかった。};
$x{\mathrm d} x+y{\mathrm d} y$という式を見て全微分である...
そのために「積分可能条件」と呼ばれる条件を使う。たとえば...
\begin{equation}
P(x,y){\mathrm d} x + Q(x,y){\mathrm d} y=0
\end{equation}
の形になったとする。これが
\begin{equation}
{\mathrm d} f(x,y)=0~~ すなわち ~~ {\partial f\over \par...
\end{equation}
と書き直せるためには、
\begin{equation}
{\partial P\over\partial y}={\partial Q\over \partial x}
\end{equation}
ことが必要十分条件である。
&color(Red){ちょっと長い説明省略};
全微分でなかった時も、「何かの関数をかけることで全微分の...
\begin{equation}
P(x,y){\mathrm d} x +Q(x,y){\mathrm d} y =0 ~~\to~~
M(x,y)P(x,y){\mathrm d} x +M(x,y)Q(x,y){\mathrm d} y =0
\end{equation}
として、たとえ、$P(x,y),Q(x,y)$が積分可能条件${\partial P...
\begin{equation}
(x^2+xy){\mathrm d} x -x^2 {\mathrm d} y=0
\end{equation}
はこのままでは積分できないが、両辺を$x^3$で割って、
\begin{equation}
\left({1\over x}+{y\over x^2}\right){\mathrm d} x -{1\ove...
\end{equation}
とすると、$\log x -{y\over x}$の微分になっている。つまり、
\begin{equation}
\log x -{y\over x}= C
\end{equation}
が解である。
${\mathrm d} (x^my^n)=m x^{m-1}y^n {\mathrm d} x+ nx^m y^...
&color(Red){プリントでは、上の式が間違っていました。${\ma...
&color(Red){ほんとうは物理への応用まで行きたかったのだが...
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