電磁気学

アンペールの貫流則の謎

この項は電磁気をよくわかっている人にとっては「何をいまさら」な内容であることをお断りしておく。

 電流の回りにできる磁場を計算するには、アンペールの貫流則というのを使う方法と、ビオ・サバールの法則を使う方法と、二つある。この項ではその二つの方法がちゃんと一致するのか、という点に関して、ある一つの「謎」を提出して、その謎を解く。まず最初に、この二つの法則を説明しよう。

 アンペールの貫流則というのは、たとえばこんなふうに表される。

大きさmの磁極を、ある閉曲線に沿って一周させるとする。この時、磁場が磁極に対してする仕事は、この閉曲線の中を通り抜ける電流に等しい。

 ビオ・サバールの法則の方はこんな感じだ。

微小長さdsの電流Iが、距離r離れた場所に作る磁場の大きさは、 {Ids \sin\theta\over 4\pi r^2}である。ただしθは、電流と今考えている点を結ぶベクトルrと電流の間の角度である。磁場の向きは電流ともrとも垂直で、電流に対して右ネジの回る向きを向いている。

 これではよくわからないだろうから、一番簡単な「無限に長い直線電流の回りにできる磁界」を双方の法則を使って計算してみる。

Ampere.png

 アンペールの貫流則を使うにはまず閉曲線を設定しなくてはいけない。それを電流の流れている場所を中心として、電流に垂直な平面上にある半径rの円と設定する。対称性と右ネジの法則から、磁場はこの円の接線方向を向き、円上では大きさは常に等しい。そこで大きさをHと置く。この円上に磁極mを置くと、受ける力はmHであるから、これに距離をかけて、mH×2πrが磁場のする仕事である。これがIに等しいのだから、Hの大きさは

H={I\over 2\pi r

となる。

 同じ状況の磁場をビオ・サバールの法則で計算する。今度は電流素片の作る磁場を足しあげていくという計算になる。図のように距離Rの場所を考えると、電流素片Idsは${Ids \sin\theta\over 4\pi R^2}$の磁界を作ることになるが、この場合図からわかるようにsinθ=r÷Rなので、{Ids r \over 4\pi R^3}の磁界を作ることになる。あとはこれで電流全体の積分をすればよい。つまりR=\sqrt{r^2+z^2}として、zに関して−∞から∞まで積分すればよいわけである。実際にこの計算をやると、結果はアンペールの貫流則による結果と一致する。

 さて、以下が、この文章のタイトルである「アンペールの貫流則の謎」である。もし、ここで計算している電流が無限の長さではなく、有限の長さで終わってしまうような電流だとしたら、どうなるだろう??

Ampere2.png

 アンペールの法則の方は輪っか(閉曲線)を考えてその中を通る電流で回りにある磁場が決まるという法則であるから、とにかく輪っかを電流が通ってさえいればいいので、答は変わらない。しかし、ビオ・サバールの方は遠くにある小さな電流が少しずつ磁場を作って、その和でこの場所の磁場が決まるという法則なので、電流が短くなれば、当然磁場は弱くなってしまうだろう。

 では、アンペールの法則とビオ・サバールの法則は互いに矛盾する法則なのか?

 実際にこういう電流を作ったら、どっちの法則にしたがって磁界が発生するのか?

 そして、もし一方の計算が間違うのだとすると、その間違いの理由は何だろう? あるいは、その間違いを修正して正しい答えを出すことは可能だろうか??

 ここまでが謎編。解答編は別ファイルにしておく。

解答編

時々↓のコメント欄に怪しいリンクが張られますが、見に行っちゃダメですよ。コメント欄は物理へのコメントにお使いください。



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Last-modified: 2021-06-19 (土) 11:18:49 (122d)