電磁気学 電磁気学の最初の方で、こんなことを習ったはずである。

大きさQの電荷と大きさqの電荷が距離r離れているとき、${{k\over r}}$の位置エネルギーがある。

 この位置エネルギー${kQq\over r}$を、QvとかqVとか表現することがある。vというのはQのいる場所にqが作る電位でv=kq/rと計算される。一方Vというのはqのいる場所にQの作る電位で、V=kQ/r。

 qVと書く時はQが作った電位Vの中に電荷qがいる、と考えている。これを見ると、なんとなくこのエネルギーをもっているのはqであるかのように思える。ところがQvと書くと全く逆に見える。式としてはどっちも正しいのだが、だからこそ、エネルギーを持っているのはどっちか、と悩んでしまうわけだ。電荷Qなのか、電荷qなのか。双方が半分ずつ持っているのか。

なお、あくまで計算の便法としてなら「双方が半分ずつ持っている」という考え方も悪くはない。たとえば電位差Vのコンデンサーに電荷Qがたまった時、蓄えるエネルギーは${1\over2}QV$だが、この{1\over2}の出所は「双方が半分ずつ」というところだと理解することもできる。「電位差Vのコンデンサー」というのは、+側極板の電位がV+v、−側極板の電位がvだということなので、{1\over2}Q(V+v)-{1\over2}Qv{1\over2}QVになるというわけ。

dochi.png

 正解はQでもなければqでもない。

 電場Arrayは、単位体積あたり{1\over2}\epsilon(\vec E)^2の密度でエネルギーを持つ。今もし、Qだけが存在していたとしたらArrayという電場(ベクトル)を作るとしよう。同様にqだけが存在していたとしたら\vec eという電場を作るとする。

EEnergy.png

 両方が存在している場合、電場は二つの重ね合わせ、すなわち\vec E+\vec eになる。

EEnergy2.png

 この様子を図で書いたものが上の二つの図である。図は正の電荷が二つある場合で書いてあるが、この場合は二つの電場がほとんどの場所で重なりあうことで強めあっている。両方が存在している場合のエネルギーは単位体積あたり{1\over2}\epsilon(\vec E+\vec e)^2の密度となる。

 二つの電荷が存在している場合の電磁場のエネルギーから、単独で存在していた場合の電磁場のエネルギーの和を引くと、

${1\over2}\epsilon(\vec E+\vec e)^2-{1\over2}\epsilon(\vec E)^2 -{1\over2}\epsilon(\vec e)^2=\epsilon\vec E\cdot\vec e)$

となる(最後の\vec E\cdot\vec eはベクトルの内積)。つまり、二つの電荷があることによって、まわりの空間にある電場のエネルギーは\vec E\cdot\vec eだけ大きくなる。これを全空間で積分すると、実はちゃんとkQq/rになる。つまり、kQq/rという位置エネルギーは、電荷のまわりに分布している電磁場(今の場合電場だけ)の持っているエネルギーのうち、二つの電荷があることによって増減する部分なのである。 たしかにこのエネルギーがが静電気の位置エネルギーのような性格を持っていることを定性的に説明しておこう。 もしQとqがどっちも正電荷だとすると、Array\vec eはほとんどの場所で同じ方向を向くから、\vec E\cdot\vec eはたいていの場所で正となる。つまり「正電荷二つが存在しているとエネルギーが増える」。この二つが離れると、$\vec E$と$\vec e$が同じ方向を向いている割合が減る(Qとqの間にあたる部分では逆向いたりする)。つまり、Qとqが離れるほど$(\vec E\cdot\vec e)$の積分量は小さくなる、つまり「正電荷が離れるとエネルギーが減る」。

EE.png

 Qとqが逆符号の場合、ほとんどの点でArray\vec eが逆を向き、Arrayはマイナスになり、エネルギーを下げます。Qとqが近づくほどArray\vec eが同じ方向で逆向きになる度合いが上がるので「正電荷と負電荷が近づくとエネルギーが減る」。

EEnergy3.png

(計算が得意でない人は以下の罫線に囲まれた部分を飛ばすべし)


もっと一般的な数式を使って説明するとどうなるかを書いておく。問題となるエネルギーは$\epsilon\vec E\cdot\vec e$だが、このうち$\vec e$の方は、電荷qによってできる電場である。ここで電荷qが作る電位をVとすると、$\vec e$と$V$には、$\vec e= -{\rm grad} V$ という関係がある。これを代入すると、 $-\epsilon\vec E{\rm grad}V$となる。ここでgradの微分を部分積分して$\epsilon\vec E$の方にかけると、 ${\rm div}\epsilon\vec E V$となる。ところで${\rm div (\epsilon\vec E)=\rho$なので、結局答えはρVとなる。ρは電荷密度だが、今考えている場合にはQが存在している場所に電荷が集中していることになるので、この式を積分した結果はQVという、電荷×もう一方の電荷の作る電位、ということになる。つまり一般的な計算から、電磁場のエネルギーと(電荷)×(電位)はつながっていることが示せた。


 結論。電荷の場合の位置エネルギーは、回りの空間にできている電磁場が持っている(正確には、電荷単独の場合の電磁場のエネルギーとの差をとったものが位置エネルギーになる)。

 したがって、電磁場のエネルギーとして${1\over2}\epsilon\left|\vec E\right|^2$を計算しておきながらさらに電荷の持つ位置エネルギーqVを考えたりすると、同じエネルギーを2回勘定していることになる。ありがちな間違いなので気をつけよう。

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Last-modified: 2020-05-27 (水) 17:03:52 (181d)