3.4 電位(静電ポテンシャル)

3.4.1 位置エネルギーの微分としてのクーロン力

点電荷によるクーロン力が $$\vec F =-{\rm grad}\left({Qq\over 4\pi \varepsilon_0r}\right)=-\vec\nabla \left({Qq\over 4\pi \varepsilon_0r}\right)=-\vec e_r {\partial\over \partial r}\left({Qq\over 4\pi \varepsilon_0r}\right)$$ とも書けることは重要である。$U={Qq\over 4\pi\varepsilon_0 r}$はポテンシャルエネルギーであるから、これを単位電荷あたりに直した$V={Q\over 4\pi\varepsilon_0 r}$こそが点電荷による電位である。

なお、電位の定義は$\vec E=-{\rm grad} V$であるが、Vに定数Cを加えても(${\rm grad} C =0$なので)、これから導かれる電場は全く同じである($\vec E={\rm grad}(V+c)$)。よって、電位の定義には常に定数を加えるという任意性がある(もともと、位置エネルギーにもあった任意性だから当然である)。

3.4.2 電位の満たすべき方程式

真空中の静電気学の法則は${\rm div} E={\rho\over \varepsilon_0}$と${\rm rot} \vec E=0$という二つの式にまとめることができるが、$\vec E=-{\rm grad} V$を使うと、


電位を使って表現する真空中の静電気学の法則

${\rm rot} \vec E=0$ → 自明(gradのrotは常に0だから)

${\rm div}\vec E={\rho\over \varepsilon_0}$ → ${\rm div}({\rm grad} V) = {\rho\over \varepsilon_0}$


となり、基本法則は${\rm div}({\rm grad} V) = {\rho\over \varepsilon_0}$のみになる。

この、gradのdivという量をまじめに計算すると、${\rm grad} V$ は$({\partial V\over \partial x},{\partial V\over \partial y},{\partial V\over \partial z} )$という成分を持つベクトルであり、divとはベクトル$(A_x,A_y,A_z)$に対して${\partial A_x\over \partial x}+{\partial A_y\over \partial y}+{\partial A_z\over \partial z} $を計算することであったから、 $$ {\rm div}\left(-{\rm grad} V\right)=-\left({\partial^2 \over \partial x^2}+{\partial^2 \over \partial y^2}+{\partial^2 \over \partial z^2}\right) V={\rho\over \varepsilon_0}$$ と書ける。この2階微分演算子をまとめて$\triangle\equiv{\partial^2 \over \partial x^2}+{\partial^2 \over \partial y^2}+{\partial^2 \over \partial z^2}$という記号で書いて、


静電気学におけるポアッソン方程式 $$ \triangle V=-{\rho\over \varepsilon_0}$$

という方程式が作られる。この式のように、$\triangle f=j$という形の方程式を「ポアッソン方程式」と呼ぶ。右辺に入るj(静電気学の場合、$-{\rho\over \varepsilon_0}$)は「(source)」と呼ばれる。特に右辺が0の時(静電気学の場合、電荷がない時)の方程式である$\triangle f=0$はラプラス方程式と呼ばれ、この演算子$\triangle$はラプラシアンと呼ばれる。


この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。

ここで、点電荷による電場の電位$ V={Q\over 4\pi\varepsilon_0 r}$が(原点以外で)ラプラス方程式を満たしていることを二つの方法で確認しよう。

【直交座標を使って】 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$であることを使う。 $$\begin{array}{rl}{\partial^2\over \partial x^2}{1\over\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=&{\partial \over \partial x}\left(-{1\over2}{{\partial \over \partial x}(x^2+y^2+z^2)\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\=&{\partial \over \partial x}\left(-{x\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\=&-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+{3\over2}{x{\partial\over \partial x}(x^2+y^2+z^2)\over(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\=&-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{x^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\\\end{array}$$ これで${\partial^2\over \partial x^2}\left({1\over r}\right)$が計算できたわけだが、${\partial^2\over \partial y^2}\left({1\over r}\right)$を計算したとしたら、上の式で$x\leftrightarrow y$と取り替えたものになるであろうことは容易にわかる。同様に${\partial^2\over \partial z^2}\left({1\over r}\right)$を計算すれば、上の式で$x\leftrightarrow z$と取り替えたものになる。というわけでこの3つを足し算すると、

$\left({\partial^2 \over \partial x^2}+{\partial^2 \over \partial y^2}+{\partial^2 \over \partial z^2}\right)\left({1\over r}\right)=-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{x^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}$   (←${\partial^2\over \partial x^2}\left({1\over r}\right)$から)

$-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{y^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}$  (←${\partial^2\over \partial y^2}\left({1\over r}\right)$から)

$-{1\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{z^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}$  (←${\partial^2\over \partial z^2}\left({1\over r}\right)$から)

$$=-{3\over(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+3{x^2+y^2+z^2\over(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}=0$$

となり、確かに$\triangle\left({1\over r}\right)=0$が確認できる。

【極座標を使って】極座標での${\rm grad} V$は $({\partial V\over \partial r},{1\over r}{\partial V\over\partial \theta}{1\over r\sin\theta}{\partial V\over \partial\phi})$と書ける(前から順に、r成分、θ成分、φ成分)。これを極座標でのdivの表記 $$ {\rm div}\vec A={1\over r^2}{\partial \over\partial r}\left(r^2 A_r\right)+{1\over r\sin\theta}{\partial \over\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right)+{1\over r\sin\theta}{\partial A_\phi\over \partial \phi}$$ に代入すると、 $$ {\rm div}({\rm grad} V)={1\over r^2}{\partial\over \partial r}\left(r^2{\partial V\over \partial r}\right)+{1\over r^2\sin\theta}{\partial\over \partial \theta}\left(\sin\theta{\partial V\over \partial \theta}\right)+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 V\over \partial\phi^2}$$ となる。これが極座標での$\triangle V$の表示である。

この表記に$V={1\over r}$を代入すると、$\theta,\phi$による微分は0なので、残るのは第一項のみである。そしてその第一項は、まず${\partial V\over \partial r}=-{1\over r^2}$で、これに$r^2$をかけた$r^2{\partial V\over \partial r}=-1$となるので、次の微分で0となる。極座標では非常に簡単に$\triangle \left({1\over r}\right)=0$が確認できる。

なお、後で説明するが、上の式が成立するのは$r\neq0$の場所だけである。r=0では分母が0になってポテンシャルが発散するため、そこをうまく評価してやらねばならない。

3.4.3 ラプラシアンの物理的意味

gradに「勾配」という意味が、divに「湧き出し」という意味があることは、電場や電位の物理的イメージを得るのにたいへん役だった。そこでこの節では、ラプラシアン($\triangle$)にはどんな意味があるのかを考えておくことにする。

2次元、3次元から考えるのはたいへんなので、まずは1次元(1直線上)で感覚をつかんでおこう。1次元ならば、ラプラス方程式$\triangle f=0$は単なる${d^2\over dx^2} f=0$という「二階微分すると0」という方程式になる(1次元上なので、偏微分ですらない)。

nikaibibun.png

微分はそもそもグラフの傾き(勾配)という意味があり、その定義は、 $$ {dy\over dx}=\lim_{\Delta x\to0}{y(x+\Delta x)-y(x)\over \Delta x}$$ であった。では2階微分はというと、これを繰り返すのであるから、 $$\begin{array}{rl} {d^2 y\over dx^2}=&\lim_{\Delta x\to0}{ \left(y(x+\Delta x)-y(x)\right)-\left(y(x)-y(x-\Delta x)\right) \over (\Delta x)^2}\\ =&\lim_{\Delta x\to0}{ y(x+\Delta x)+y(x-\Delta x)-2y(x)\ \over (\Delta x)^2} \end{array}$$ という式になる。この式の分子を見ると「両サイドの和($y(x+\Delta x)+y(x-\Delta x)$)から中央での値×2(2y(x))を引く」という計算になっている。あるいはこれを2で割ると「両サイドの平均(${y(x+\Delta x)+y(x-\Delta x)\over2}$)から中央での値(y(x))を引く」という量である。つまり、2階微分は「中央の値と両サイドの平均値とのずれ」を表す。これは「グラフがその場所でどの程度たわんでいるか」を示す量になっている(グラフが直線ならば2階微分が0であることは、そもそもの定義から理解できるだろう)。

もしこのグラフの線がゴム紐のような弾力のあるものであったとすると、2階微分が+である場所では、ゴム紐のその部分は上に引っ張られる。2階微分が−なら話は逆となる。つまり、この2階微分はゴム紐の復元力のようなものを表現しているのである。

2Dlap.png

2次元ではラプラシアンは$\triangle={\partial^2\over \partial x^2}+{\partial^2\over \partial y^2}$を意味する。この場合、${\partial^2\over\partial x^2}$の部分はx方向でのたわみ具合を、${\partial^2\over \partial y^2}$はy方向でのたわみ具合を勘定することになる。よって、$\triangle f(x,y)=0$というのは、x方向で下に凸ならば、y方向に同じだけ上に凸になっていることを意味する。右の図は2次元の場合のラプラス方程式の解である$f(x,y)=-\log(x^2+y^2)$の立体的グラフである。 このグラフをゴム膜のように考えると、x方向のたわみはこの膜を上に引っ張るだろう。そして、y方向のたわみはこの膜を下に引っ張る。この二つの力がつりあって、この膜が静止している。このつりあい関係を表すのが、$\triangle f=0$なのである。

3次元でも同様で、$\triangle f(x,y,z)=0$は、x,y,zの3つの方向のたわみによる力のつりあいを意味する(図で表現するのは難しい!*1)。

授業の後「先生は何次元までイメージできるんですか?」と言われたが、私にだって3次元までしかムリだ(^_^;)。ポントリャーギンは7次元までイメージできたとかいう話があるが。

なお、このことからラプラス方程式を満たす関数(たとえば真空中の電位V)はけっして極大や極小を持てない*2ことがわかる。数式での証明は略するが、ゴム膜のイメージで考えると、極大値や極小値があるとその場所では決して引っ張り力がつりあうことがないことが理解できるだろう。x方向のたわみはゴム(電位)を上に引っ張り、y,z方向のたわみがゴム(電位)を下に引っ張るという形でしか平衡状態は出現しない。

3.5 電位の計算例

3.5.1 電位の重ね合わせ

kasane4.png

電場に関しては重ね合わせの原理が使えたが、$\vec E=-\vec\nabla V$で定義されるVについても、重ね合わせの原理が使える。電位に関する重ね合わせの原理は、電場に関する重ね合わせの原理より、さらに便利である。なぜなら電場はベクトルであるから重ね合わせるにもベクトル和をとる必要があるが、電位はスカラーであるから単なる足し算で重ね合わせることができるのである。実は前の章でやった問題の多くも、この考え方で電位を使った方が簡単に解くことができる。

電気量が$Q_1,Q_2,\cdots,Q_N$であるN個の電荷が$\vec x_1,\vec x_2,\cdots,\vec x_N$に存在している場合、点$\vec x$における電位は $$\begin{array}{rl} V(\vec x)={Q_1\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x-\vec x_{Q_1}|} +{Q_2\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x-\vec x_{Q_2}|}+\cdots +{Q_N\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x-\vec x_{Q_N}|} =\sum_{i=1}^N {Q_i\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x-\vec x_{Q_i}|}\\\end{array}$$ と表せる。これのgradを取ると電場が出る。grad($\vec\nabla$)は微分演算子であり、級数の和をとってから微分しても微分してから級数和をとっても結果は同じになることから、 $$-\vec\nabla V(\vec x)=-\sum_{i=1}^N \vec\nabla {Q_i\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x-\vec x_{Q_i}|}=\sum_{i=1}^N {Q_i\over 4\pi\varepsilon_0 |\vec x-\vec x_{Q_i}|^2}\vec e_{\vec x_{Q_i}\to \vec x}$$ という計算になる。つまり、各電荷の電場を考えてから和をとっても、各電荷の作る電位の和をとってから微分して電場を考えても、結果は同じである。この後やる具体例では、連続的に分布した電荷を考えるが、その場合は微小部分による電位の和(つまりは積分)を計算すればよい。

すなわち、電荷密度$\rho(\vec x)$が存在する時の電位は $$ V(\vec x)= {1\over 4\pi\varepsilon_0}\int {\rho(\vec x')\over |\vec x-\vec x'|} d^3 \vec x'$$ のように積分で計算できる。この式は、場所$\vec x'$にいる微小電荷$\rho(\vec x')d^3 \vec x'$による影響を足し算することで、場所$\vec x$における電位$V(\vec x)$が計算できる、という式である。$\vec x'$の積分は、電荷のあるところ全部について行う。

3.5.2 一様な帯電球

一様な電荷密度ρで帯電した半径Rの球のつくる電位について考える。電位を計算する方法を列挙しよう。

電場から計算する

すでにこの場合の電場は求めてある。

である。$\vec E$はrのみの関数であるから、Vもrのみの関数になると考えて良いであろう。$\vec E=E_r \vec e_r$として、$E_r=-{dV\over dr}$になるようにVを決めると、

となる。これに$-\vec\nabla$をかければ上の$\vec E$になることはすぐにわかる。

ここで現れた定数$V_0$はr=0での電位である。電位は「微分して($\vec\nabla$をかけて)−をつけると電場になる」という定義なので、定数をつける自由度は常にある*3。$V_0$の値は、この式に$r>R$での式にr=Rを代入した時と、$r\le R$の式にr=Rを代入した時に両者が等しいという条件(接続条件)から決める。すなわち、 $$ \begin{array}{rl}V_0-{\rho R^2\over 6\varepsilon_0}=&{\rho R^2\over 3\varepsilon_0}\\V_0=&{\rho R^2\over 2\varepsilon_0} \end{array}$$ ということ。

EV.png

電場と電位の概略のグラフを並べてみたのが上の図である。電位のグラフがスムーズにつながる曲線となっていること、電位の傾き×(-1)が電場となっていることを確認して欲しい。特にr=Rで電位の傾きがスムーズであること(これはつまり、r=Rでの電場が接続されることを意味する)は注意しよう。後の計算ではこれを積極的に利用する。

電場から求める方法は電場が求まっていれば簡単だが、そうでない場合はむしろ回り道であることは言うまでもない。

で、つづけて積分で求める方法とポアッソン方程式を解く方法をやりたかったのだがここで時間切れ。

重要なお知らせ

授業が遅れているのと、台風で休みになった分を取り返すために、8月2日(木)の2限と8月3日(金)の3限に補講を行います。

試験は8/10の金曜日に行います。もし成績不良者が多数いた場合は、10月1日から4日まで補習を行い、10月5日に追試験を行います。

学生の感想・コメントから

ラプラシアンの意味がわかった。

ラプラシアンは電磁気以外でもお世話になる演算子ですので、意味をしっかり把握しておきましょう。

電位の方が計算が楽だということは、第1章や第2章でやった計算も、実は楽にやれたんでしょうか?

計算の内容にもよりますが、実は電位を使った方が計算が簡単な例もけっこうありました。何事も練習なのでいろいろやってもらったわけですが。

$\triangle V=0$の時、電荷から離れた場所には電荷がないというのはどういう意味ですか?

文字通り、そこのは電気量が存在していないということです。$V={Q\over4\pi\varepsilon_0 r^2}$の時$\triangle V=0$となりますが、この電位は「原点以外には電荷がいない」という場合の電位です。

ラプラシアンの図で、z成分はどうなっているのですか?(複数)

あの図ではz成分はないものとして考えています。z成分がある場合は、x,y,z成分全部足すと0になります。

真空中以外では基本法則は変わるんですか?

はい。ガウスの法則が変わるし、${\rm rot}\vec E=0$も、0になるとは限らなくなります。そのあたりはまた後で。

ラプラス方程式のイメージで、ゴム膜のようなものに対応するのは、電位の場合何なのでしょう?

電位そのものですね。電場は電位というゴム膜の引っ張り力のようなものになります。

ラプラシアンをかけて0じゃなかったら、どこかにたわみがあるということですか?

ラプラシアンかけて0でも、たわみがある時はあります。x方向は+にたわみ、y方向は−にたわむ場合です。その場合、仮想的なゴム膜の仮想的な弾性力がつりあっているわけです。ラプラシアンかけて0でない場合は力がつりあっていない、つまり他所から何かの作用が働いているということです。電位の場合、電荷の作用があるとラプラシアンをかけても0になりません。

2階微分は変化の割合の変化する割合と考えてもいいのですか。

もちろん、それでいいですよ。それを図で解釈すると「平均からのずれ」という形になるわけです。

同じ場所で2階微分はできないですか?

微分というのは基本的に「この場所と、その隣のこの場所での値の差をとる」という計算なので、一カ所しか考えないと1階微分すらできません。

球の表面でなぜ電位がつながるのか不思議でしたが、$\vec E=-{\rm grad}V$だからなんですね?

そうです。だから、電位がつながってないと微分ができなくなって、「電場が存在不可能」というおかしなことになってしまいます。

ラプラス方程式とポアッソン方程式の違いって何?(多数)

電荷がある場合がポアッソン。電荷が0の場合はラプラス。ポアッソンの特別な場合がラプラスです。

試験勉強って何をしたらいいんでしょう?

何していいのかわからないのなら、「電磁気学演習」とかそういう本を買って、どんどん問題解いてください。

(一般の聴講者の方から)80万相当の磁気ネックレスが売られていますが、ほんとにそれだけの効果があるんでしょうか?

ありません。科学的根拠はない「おまじない」に近いものだと思ってください。「おまじない」に80万出せるかどうかは人によるでしょうが、私なら出しません。

テストおてやわらかにお願いします。

私はそのつもりなんですが採点してみると悲惨な結果になっていることが多いです(過去の例では)。

補習やるとしたらどんな内容を何回ぐらいですか?

授業で話したことのうち基本的なところのくりかえしで、6コマぐらいでしょうか。


*1 x,y,zにさらにfを合わせて、4次元がイメージできればできるが、普通の人間にはムリである。
*2 このことをアーンショーの定理と呼ぶ。これからわかることは、静電場のよる力だけではつりあいは達成できないということである。
*3 そういう意味では、$r>R$での電位も$V_\infty+{\rho R^3\over 3\varepsilon_0 r}$のように無限遠での電位を足しておいてもかまわない。ここでは無限遠で電位は0であると決めた。

添付ファイル: file2Dlap.png 262件 [詳細] filenikaibibun.png 301件 [詳細] filekasane4.png 255件 [詳細] fileEV.png 265件 [詳細]

トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2020-05-03 (日) 09:50:36 (141d)