第2章 ガウスの法則と電場の発散

2.1 ガウスの法則

前の章では、電場の図的表現として電気力線を導入し、その性質を求めた。これらの性質は非常に有用である。なぜなら、これを使って電荷分布から電場を求めることができるのである。たとえばこの性質だけから逆にクーロンの法則を導き出すことができることは既に示した。もともとクーロンの法則に合うように電気力線の性質を定義したのだから当然といえば当然であるが、ここで大事なことは、この新しい考え方は応用範囲が広いということである。これを使って電場を求めることが比較的簡単にできる。そのためのたいへん便利な法則が「ガウスの法則」である。ガウスの法則の基本的な内容は、実はすでに紹介している。ガウスの法則は数学的に表現されるものであるが、これを図形的に表現すれば、「電気力線は途切れない、枝分かれしない」ということに他ならないのである。

2.1.1 電気力線の流れ(flux)の保存

原点にある点電荷Qの作る電場を$\vec E(\vec x)={1\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r$と書こう。原点を中心とした半径Rの球(表面積は$4\pi R^2$)を貫く電気力線の本数は、球の半径によらず${Q\over\varepsilon_0}$となる。以下ではまず、球面ではない任意の閉曲面*1に対してこれが成立することを確かめよう。

まず任意の曲面に対して「貫く電気力線の本数」を定義する必要があるが、それは $$ \int \vec E\cdot d\vec S = \int \vec E \cdot \vec n dS$$ と考える。積分は、今考えている面全体に対してなされる。$\vec n$はその面における「外」を向いた法線ベクトルである。内積になっているので、$\vec E$と$\vec n$のなす角をθとすれば、$|\vec E|\cos\theta$を積分することになる($\vec n$の長さは1であることに注意)。$\cos\theta$がかかる理由は、1.3.3節ですでに述べた通りである。

flux.png

上の式にあるような$\vec E\cdot d\vec S$で計算される量のことを、面を通る「流量(flux)」と表現する。この計算自体は流体が流れていく時に微小面積を単位時間に通り抜けていく流体の量を計算する式

$$ \rho \vec v \cdot d\vec S$$

に非常によく似ている。この場合、$\cos\theta$がかかる理由は、図の流れベクトルのうち、面に垂直な成分だけが「流れ出す量」に関係するからである(もし流れが面に平行なら、何も流れ出さない)。図に書かれた平行六面体は、単位時間内にこの面積Sを通り抜けた流体を表す。この平行六面体の体積$Sv\cos\theta$に流体の密度をかけたものが単位時間の流れ出しである。

電場の場合のflux($\vec E\cdot d\vec S$)はその面を通り抜ける電気力線の本数を意味する。電場自体は何かが流れているわけではないが、同様の式が使えるというわけである。

spV.png

任意の曲面で考えるための準備として、まず左図のような微小部分について考えよう。この微小部分に外から貫く電気力線と、中から貫く電気力線の数はちょうど同じになる。この微小部分には6つの面があるが、床と天井にあたるところ以外は、電気力線は入ってこないし出ていかない(電場は常にr方向を向いている)。

床から入ってくる電気力線の本数は${Q\over 4\pi \varepsilon_0 r^2}\times r^2 \sin\theta d\theta d\phi$であり、天井から抜けていく電気力線の本数は${Q\over 4\pi \varepsilon_0 (r+dr)^2}\times (r+dr)^2 \sin\theta d\theta d\phi$となる。この二つはちょうど同じなので、結局この微小体積の表面で$ \int \vec E\cdot d\vec S$を計算すれば0になるということになる。

これから、任意の曲面に関しても$ \int \vec E\cdot d\vec S={Q\over\varepsilon_0}$が成立していることが言える。なぜなら、この微小体積を「ブロック」としてくみ上げていけば、任意の形の曲面に囲まれた図形を作ることができるからである。

block.png

上の図は、その状況を次元を一つ落として平面図で表したものである。ブロックAから出る電気力線(図では3本の矢印で書いてある)は同時に、ブロックBに入る電気力線でもある。よって、今ここで定義したように、「考えている範囲から出る電気力線の正味の本数=考えている範囲から出る電気力線の本数−考えている範囲に入る電気力線の本数」*2を計算して足し算していくと、結局今考えている部分の外側での電気力線だけが計算結果として残ることになる。今本当に計算したいのは

nyoro.png

の電気力線であるが、それは小さいブロックから出る正味の電気力線を次々計算して足していったものと同じになる(もちろん、ブロックをどんどん小さくしていった極限でのことである)。ところが小さいブロックを通る電気力線の本数は0なのだから、全体を通る正味の電気力線の本数も結局0となる。

つまり、ブロックのくみ上げを行う時に、内部に電荷を含まないように組み立てることにすれば、ブロックから出る電気力線の総量は0になる(入ったものは必ずどこから出る)ので、$\int\vec E\cdot\vec S=0$となる。

内部に電荷を含むブロックについてだけは出る電気力線の正味の本数0ではなく${Q\over\varepsilon_0}$であるから、$ \int \vec E\cdot d\vec S={Q\over\varepsilon_0}$となる。これは任意の形の面について正しい。

2.1.2 立体角から考えるガウスの法則

先に説明した立体角の考え方からガウスの法則が成立することを説明することができる。今度は電荷を原点に置いて、原点を囲むように任意の閉曲面を設定する。この閉曲面の上で$\int \vec E\cdot d\vec S$を計算してみるわけだが、点電荷が原点にのみあるとすると、原点から見て同じ立体角を占める部分を通る電気力線の本数は、形によらず一定である。これは電気力線のfluxが保存するという性質からももちろんわかるし、

電場は距離の自乗に反比例して減少し、同じ立体角に含まれる面積は距離の自乗に比例して増大する。

電場と考えている面積要素の法線ベクトルが傾いていると、同じ立体角に含まれる面積は増える。しかし電気力線の本数を計算する時には、その傾き角度をθとした時の$\cos\theta$がかけられる。

sisen.png

という二つの事情を考えると、原点に電荷がある時に原点から見て同じ立体角の方向にある場所からに抜け出していく電気力線の本数は等しくなる。

2kaitouru.png

考えている閉曲面が複雑で、同じ電気力線が何度も出たり入ったりするような場合もありえる(右の図を参照)。

右の図の場合だと、上の計算で「同じ立体角に含まれる面積」とした場所が3カ所現れることになりそうである。しかし、fluxの定義に現れた$d\vec S$は閉曲面図形で必ず「外」(もしくは、「裏から表」)を向いている。そのため、3カ所のうち一カ所に関しては$\vec E\cdot d\vec S$が負になって、3つあるが正味の量は1個分、ということになる。よって複雑な面であっても、ガウスの法則が成立すると結論できる。

2.2 具体的計算でガウスの法則を確認する

念のために、実際に積分計算をしてもガウスの法則が成立していることを確認しておこう(あくまでも「念のために」である)。

2.2.1 無限に広い平面を通る電気力線の本数

mugenheimen.png

無限に広い仮想的平面を考え、そこから距離z離れたところにある電荷Qを出た電気力線(全部で${Q\over \varepsilon_0}$)のうちどれだけがこの平面を通るかを考えよう。もちろん答は${Q\over 2\varepsilon_0}$となる(半分が通る)。

真横に進む電気力線の分はどうなるんですか?

電気力線を1本2本と数えると、確かにそういうのはあります。しかし、fluxを数えると、fluxは電場に面積をかけることになりますが、そういう真横に進む電気力線が通る面積は0なんですよ。だからその電気力線はflux(通り抜ける本数)には関係ないのです。

これを積分で考えるために、図の微小面積$rdr d\phi$を貫く電気力線を考える。電場は${Q\over 4\pi\varepsilon_0(r^2+z^2)}$の強さであるが、向きは面に垂直ではなく、図で示した角度θだけ傾いている。ゆえにこの微小面をつらぬく電気力線の本数は $$ {Q\over 4\pi\varepsilon_0(r^2+z^2)} \times r dr d\phi \times \cos\theta$$ となる。これを積分していくわけであるが、この場合θがrの関数なので、rをθで表してr=0から$r=\infty$まで積分するか、rをθで表して$\theta=0$から$\theta={\pi\over 2}$まで積分するか、どっちかにしなくてはいけない。$r=z\tan\theta$であることがわかるので、$dr=z {1\over \cos^2\theta}d\theta$として $$ {Q\over 4\pi\varepsilon_0}\cos^2\theta \times \tan\theta {d\theta\over \cos^2\theta} d\phi \times \cos\theta= {Q\over 4\pi\varepsilon_0}d\phi d\theta\sin\theta $$

すいません、上の式は数カ所間違って、$\tan\theta$を付け忘れてました。上のように訂正してください。

となって、$\int_0^{\pi\over 2} d\theta\cos\theta=1$と$\int_0^{2\pi}d\phi=2\pi$より、$E={Q\over 2\varepsilon_0}$という、予想どおりの結果を得る。

enbanQ.png

ところで、ここの計算をよく見ると、1.4.2節で円盤の上に一様に分布した電荷が作る電場を考えた時と全く同じ計算をしていることに気づく。

一方は面上の電荷が点電荷に及ぼす力(実際に計算したのは電場であるが、つまりは単位電荷に働く力である)を計算し、もう一方は点電荷が面上の電荷に及ぼす力を計算している(こちらは実際に計算したのは電気力線の総本数であるが、それは電場の垂直成分を足しているのと同じ)。クーロン力に関しても作用・反作用の法則が成立するので、実はこの二つは互いに作用・反作用を計算しているのだと考えてよい。似たような計算になるのはある意味当然なのである。


この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。

なお、静電場においては作用・反作用の法則が成立するが、静電場でない場合は必ずしもそうではない。作用・反作用の法則は運動量保存則と結びついている。実は電場や磁場にも運動量がある。静電場の場合、電場の持つ運動量が変化しないので、安心して電荷など電場以外の物体について運動量保存則が使える(ということは、作用・反作用の法則が使えるということ)。しかし、電場や磁場が時間変動する場合、電場の持つ運動量が時間変動するので、電荷だけを見ていても運動量が保存しないのである*3。ゆえにこの時は作用・反作用の法則が成立してないように見える。

2.2.2 中心からずれた位置に電荷が位置する場合

授業ではこの節は飛ばしました。

仮想的球の中心に電荷Qがいる場合については計算したが、中心からずれた場所にある場合はどうだろうか?

zuredenka.png

図のように定ベクトル$\vec a$だけ電荷の位置が中心よりずれているとする。この時、電荷から図の微小面積へと向かうベクトルは$r\vec e_r - \vec a$である($\vec e_r$は、今考えている場所においてrが増加する方向を向いている単位ベクトル)。また、この場所の$d\vec S$は$r^2 \sin\theta d\theta d\phi \vec e_r $と書ける(法線の向きはrの増加する方向である)。

よってこの微小面積$r^2 \sin\theta d\theta d\phi$をつらぬく電気力線は $$ {Q\over 4\pi\varepsilon_0 \left|r\vec e_r - \vec a\right|^{3}}\times \left(r\vec e_r - \vec a\right)\cdot \vec e_r r^2 \sin\theta d\theta d\phi$$ となる。$\vec e_r \cdot\vec a=a\cos\theta$(aは$\vec a$の長さ)であることに注意して、 $$ {Q\over 4\pi\varepsilon_0 \left(r^2 + a^2 -2ar \cos\theta \right)^{3/2}}\times \left(r - a\cos\theta\right) r^2 \sin\theta d\theta d\phi$$ と書き換えてから積分をしよう。こういう時の定番として、$\cos\theta=t$とおくと、$-\sin\theta d\theta =dt$となる。θの積分範囲が$(0,\pi)$だったので、tの積分範囲は(-1,1)である。積分範囲をひっくりかえすことで$-\sin\theta d\theta$のマイナス符号をとることにすれば*4、 $${Qr^2 \over 4\pi\varepsilon_0 }\int_{-1}^1 dt \int_0^{2\pi}d\phi {r-at\over\left(r^2 + a^2 -2ar t \right)^{3/2}}$$ という積分をすればよい。φ積分は定数2πを出すだけで終わる。t積分はもちろんまじめにこつこつやってもできるのだが、 $$ {r-at\over\left(r^2 + a^2 -2ar t \right)^{3/2}}={\partial \over \partial r}\left( {-1\over\left(r^2 + a^2 -2ar t \right)^{1/2}}\right)$$ と置き換えて計算すると早い*5。tで積分するのとrで微分するのは順番を変えてよいので、 $${Qr^2 \over 2\varepsilon_0 }{\partial\over \partial r}\left(\int_{-1}^1 dt {-1\over\left(r^2 + a^2 -2ar t\right)^{1/2}}\right)$$

(電気力線の積分)

とする。積分$\int_{-1}^1 dt {-1\over\left(r^2 + a^2 -2ar t \right)^{1/2}}$は $$ \int_{-1}^1 dt {-1\over\left(r^2 + a^2 -2ar t \right)^{1/2}}=\left[{1\over ar}\left(r^2 + a^2 -2ar t \right)^{1/2}\right]_{-1}^1={1\over ar}\left(\sqrt{(r-a)^2}-\sqrt{(r+a)^2}\right)$$ となる。

r,aはどちらも正であるから、$\sqrt{(r+a)^2}$は常にr+aとなるが、$\sqrt{(r-a)}^2$の方は$r>a$ならr-aとなり、r<aならa-rとなる。

結局この積分の結果は$r>a$なら${1\over ar}\left( r-a - (r+a) \right)={-2\over r}$となり、r<aなら${1\over ar}\left( a-r-(r+a)\right)={-2\over a}$となる。(電気力線の積分)を見ると、後はこれをrで微分してから、${Qr^2 \over 2\varepsilon_0 }$をかければよい。結果はr>aなら${Q\over \varepsilon_0}$、r<aなら0となる。つまり、電荷が外にあるなら電気力線の総本数は0、内にあるなら${Q\over \varepsilon_0}$ということが確認できたわけである。

以上、代表的な例についてガウスの法則の成立を確認したが、もちろんガウスの法則はちゃんと成立しているのだから、今後は念のための確認などは不要である。どんどん使っていこう。

2.3 複数および連続的な電荷が存在する時のガウスの法則

fukusuugauss.png

ここまでの説明は一個の点電荷の作る電場に対するものであった。しかし電場には重ね合わせの原理が成立するのだから、複数個の電荷の作る電場であっても、

が成立することが言えるだろう。考える領域は閉曲面に囲まれてさえいればどんな形でもかまわない。

renzokudenka.png

点電荷がぽつぽつとあるのではなく、連続的に電荷が存在している場合は、この式は


ガウスの法則の積分形 $$ \int_{\partial V} \vec E\cdot d\vec S = {1\over \varepsilon_0}\int_{V} \rho dV$$
(ガウスの法則の積分形)&aname: Invalid ID string: <sekibun;

と修正される。

VdelV.png

右辺の積分記号の下についているVは「一つの領域」を示し、$\partial V$は「一つの領域の境界となっている閉曲面」を示す。さらに、その閉曲面の積分においては、$d\vec S$は領域の外を向くベクトルとして定義する。微分記号である$\partial$を使うのは、「Vを増加させた時に増える部分」というイメージで理解しよう。領域Vを風船のように考えて、風船に息を吹き込んだ時に膨れていく場所と膨れていく方向を示しているのである。

右辺は、一個一個の微小領域に$\rho dx dy dz$の電荷が存在していると考えて、その微小領域内の電荷の影響を足し上げていると考えればよい。

以下で連続的な分布の場合について練習しよう。

2.3.1 面上に広がった電荷による電場

mugenheimengauss.png

無限に広い平面(z=0で表されるxy平面に一致させよう)の上に電荷が面積密度ρで分布している。つまり、平面上の微小面積Sの上に電荷$\rho S$が存在している。この平面からzだけ離れた場所(座標で表現すると、(0,0,z))での電場を計算してみよう。この場合、無限に広い平面に一様に電荷が分布しているので、電気力線(あるいは電束)はすべてz軸に平行な向き(xy平面に垂直な向き)を向くだろう。逆にx方向やy方向の電場があったら対称性を破ることになって変である。電気力線が常にz方向を向くということは、電場の向きのみならず、強さともに場所によらないということになる。そのことは、図を描いてみると(電気力線は途切れたり増えたり減ったりしないのだから)電気力線密度がどこでも一定であることから納得できるだろう。

今この無限に広い平面のうち、適当な面積S(図では円とした)を取り出して考えると、この面積を含む円筒を抜け出す電気力線の本数は全部で${\rho S\over \varepsilon_0}$である。これが上と下(天井と床)から均等に抜け出すので、天井を抜ける電気力線は${\rho S\over 2\varepsilon_0}$となり、これを天井の面積Sで割れば、電場の強さが${\rho\over 2\varepsilon_0}$であることがわかる。これは、1.4.2節で計算した半径$r_0$の円盤による電場${Q \over 2\pi \varepsilon_0 (r_0)^2} \times { \sqrt{z^2+(r_0)^2}-z \over \sqrt{z^2+(r_0)^2} } $において、$Q=\pi (r_0)^2 \rho$と置いた後に$r_0\to\infty$の極限をとったものと同じである。あるいは演習問題1-3で考えた電場の式で、立体角に2πを代入したのと同じである。当たり前のことではあるがガウスの法則による結果と具体的に積分を行った場合の結果は等しい。

なお、無限に広いわけではない面の場合、当然遠ざかるほど電場は弱くなることになる。しかしその場合でも、面に非常に近いところだけを考えるならば、$E={\rho\over 2\varepsilon_0}$という関係は保たれている。

2.3.2 一様に帯電した無限に長い棒

1.4.1節で考えた帯電した棒の長さを∞にしてみる。この場合、この棒の電荷から発する電気力線は、z軸に垂直な方向に伸びていく(無限に長い棒を考えているので、それが作る電場は対称性からz成分を持てない)。

ento.png

図のように長さ$\Delta z$の部分を考えると、この円筒部分に入っている電荷の量は線密度ρに長さをかけて$\rho \Delta z$であり、この部分から出る電気力線の総本数は${\rho\over\varepsilon_0} \Delta z$となる。出て行く電気力線は全て円柱の側面を通っていくのだから、円柱の側面積$2\pi r \Delta z$でこれを割れば電場の強さがわかる。結果は${{\rho\over\varepsilon_0} \Delta z\over 2\pi r \Delta z}={\rho\over 2\pi \varepsilon_0r}$となる。この式もまた、1.4.1節の結果で棒の長さを∞にしたものと一致する。

2.3.3 一様に帯電した球

次に、球体に体積密度ρで一様に電荷が分布している場合を考えよう。球の半径をRとすると、全部で${4\pi\over 3}R^3\rho$の電荷がいることになる。

kyunaibu.png

球体の外側に関しては、これまでと同じで、電気力線の総本数である${Q\over \varepsilon_0}$を外部に考えた仮想的な球の表面積$4\pi r^2$で割ればよいので、見慣れた公式どうり、${Q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r$の電場があることになる。

問題は球の内側である。球の内側には電荷は${4\pi\over 3}r^3\rho$だけしかいない。よって、電場は $$ \vec E= {4\pi\over 3}r^3\rho\times {1\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r= {1\over 3\varepsilon_0}\rho r \vec e_r$$ となる。原点からの距離がrより遠いところにある電荷の作る電場は、ちょうど消しあって0になるわけである。

2.3.4 平行平板コンデンサ

condenser.png

平行平板コンデンサとは、互いに平行な2枚の板(極板と呼ぶ)を向かい合わせたものである。このような板の一方に+Q、もう一方に-Qの電荷を帯電させた場合、電場は右の図のようになり、電気力線のほとんどは極板間に集中する。この電場の強さを一般に求めるのはたいへんである(場所によって異なる複雑な関数で表現されているので)が、近似として「電気力線(電場)は極板と極板の間にしか存在しない」と考えれば非常に簡単に計算できる。

コンデンサの極板の面積をSとすると、面積Sの中に電荷Qから出て電荷-Qに入る電気力線(全部で${Q\over \varepsilon_0}$本)が入っていることになる。

したがって、極板の間にできる電場の強さは${Q\over \varepsilon_0 S}$となる。

なお、実際には図のように極板から外にも電場は染み出るものなので、この計算はあくまで近似である。

最後にアニメーションプログラム見せて終わった。今日のは電荷を配置して電気力線・等電位面を描くアプレット(これはすぐ上の、コンデンサの電場を描くのにも使った)と、www.falstad.comにある、3次元電磁場のシミューレションアプレット(今回は自作じゃない。面白いので使わせてもらった)。

学生の感想・コメントから

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ガウスの法則がいかに使えるかがわかった。積分するのは嫌なので、とても助かります(似たようなの複数)

もっとも、万能とういわけではないので、積分するしかない状況もあるんですよ。

真横に進む電気力線を考えなくていい理由が納得できない。

電気力線でなく、fluxで考えましょう。真横というのは、立体角にすると0、面積にしても0なので、図で書くとその線が書けても、fluxとして計算した本数は0なのです。

イメージするのが難しい(複数)

図を描いてみましょう。自分で描いてみると、なんとなくわかってくるかと思います。

ガウスの法則は、閉曲面でないと成り立たないのですか?

閉曲面じゃないということは、どこかに「抜け道」があるわけです。その抜け道から電気力線が抜け出してしまうと、成立しません。抜け道があるけどそこでは電気力線は抜けない、という確信があるのなら、使ってよいことになります。

計算がわからない。焦ってきた(似たようなの複数)

まずは落ち着いて、一個一個の計算をちゃんと自力でやってみる。自力でやらないと、計算なんてのはけっしてわからない。わからないのならとにかく手を動かして練習すべし。

積分でこつこつ計算するのと、ガウスの法則の答えがぴったり合うのが不思議だった。こつこつ計算した結果に合うようにガウスさんが論理を組み立てたということでしょうか?

もちろんです。そういう論理がなかったら、誰も安心してガウスの法則使えないじゃないですか。

人間の身体が閉曲面だとしたら、ガウスの法則を使って体内の電荷を求めたりできますか?

人間の体表面での電場をちゃんと測定することができれば、もちろんできます。

積分の練習しなくては!(似たような多数)

もちろんです。物理の学生なら、この程度の積分をこわがっちゃだめ。

2.3.3節の最後の、「原点からの距離がrより遠いところにある電荷の作る電場は、ちょうど消しあって0になるわけである。」というのはどういうことですか。

距離r(<R)の場所にいる人が感じる電場の中に、rより外側にある電荷による電場は入ってません。これは先週やった、球殻の内側に入ると電場が0になるという話と同じです。

なぜ$4\pi r^2$で割って電場を出すのでしょう?

割る前の量は「電気力線の総本数」です。面積で割ることで、密度、つまり「その場所の電気力線がどれだけ混雑しているか」という量が出るのですが、これが電場の強さに等しいからです。同じ本数の電気力線でも、広い範囲にちらばっていると電場は弱い。

球の内部は0になるという話でしたが、立方体とかだとどうなりますか?

弱まりますが、少し0にならずに残ります。下の図のような感じ。

sikaku.png

*1 閉曲面とは、その曲面によって空間が二つに分断されているような曲面のこと。その曲面が壁だと考えた時に「中の物を閉じこめることに成功している曲面」と考えればよい。
*2 このようにして、出る量から入る量を引いたものを「正味の量」という言い方をする。「正味の」とつくと、「出たり入ったりするけど、入る量はマイナスにして足すという約束だからね」ということを意味する。
*3 電場や磁場の運動量まで含めて考えれば、どんな場合でもちゃんと保存する。
*4 以上をまとめて、$\int_0^\pi \sin\theta d\theta \to \int_{-1}^1 dt$と覚えておこう。頻繁に使う。
*5 この置き換えにはちゃんと物理的意味がある。

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Last-modified: 2020-05-03 (日) 10:12:03 (141d)