以上ざっと位置エネルギーとは何であったかを思い出した。1次元の場合で例を二つあげておく。

重力の位置エネルギー

mgx.png

地球上の重力は、どこでもmgである*1。上で位置エネルギーが定義できる条件は「場所のみの関数であること」と書いたが、「どこでもmg」も(定数を与える)立派な関数であるから、位置エネルギーが定義できる。座標xを上向き正に取れば、力は下向きになるので、F(x)=-mgと考えればよく、この場合の位置エネルギーはU=mgxである。

ばねによる位置エネルギー

harmonic.png

ばねがxだけのびている時の力の大きさはkxである。ばねが自然長(伸び縮み無し)の時の物体の位置をx=0としてばねが伸びる方向にx座標を取ると、力は逆を向くからF(x)=-kxとなる。これから、位置エネルギーは${1\over2}kx^2$となる。

結局エネルギーとは何かといえば、「力を位置座標で積分していったもの」または、「微分すると力になるもの」という認識でいいだろう。今考えたような1次元問題の場合、位置エネルギーが定義できるためには「力F(x)が場所のみの関数である」という条件が必要である。たとえば「動摩擦力が働くとエネルギーが保存しない」というのはよく言われることだが、それは動摩擦力に「物体の運動方向と逆向きに働く」という性質があり、場所だけではなく「物体がどっちに運動しているか」にも依存しているからである。他にも空気抵抗(物体の速度に依存)が働くような場合も同様である。このような場合は上のような計算を行っても、運動エネルギーと位置エネルギーの和の形にまとめることはできない。

上の二つの例のうち、重力の位置エネルギーはまさに「位置」に対応したエネルギーであり、ばねによる位置エネルギーは「位置」というよりは「ばね」という物体の「状態」に対応した位置エネルギーである。力を出して仕事をすることができるものは、なんらかの形でエネルギーを持っていて、トータルのエネルギーが保存するようになっている。力F(x)はエネルギーの微分の逆符号$-{d\over dx}U(x)$に等しいが、これはつまり位置エネルギーのグラフを書いた時「グラフの坂を下りる方向に、その坂の傾きに比例した力がかかる」ということになる。つまり、ばねの位置エネルギーのグラフの縦軸を「山の高さ」のように考えて、その山を降りる方向に力が働くのだ、というイメージを持つことができる。次の節で電位を定義するが、電位も同様に「電位の高い所から電位の低い所へと降りる方向に静電気力が働く(ただし+電荷の場合)」というイメージを持って考えるとわかりやすい。

1次元の静電気力の位置エネルギーと電位

まずは1次元の場合で、静電気力による位置エネルギーを考え、電位の定義を示しておこう*2

1overrsq.png

静電気力は(電荷)×(電場)で表される。電場は場所の関数であるから、静電気力も場所の関数となり、位置エネルギーを定義することができる(空間が2次元以上の時は、位置エネルギーが定義できるために更に条件が必要だが、それは後で述べる)。

なじみ深い、点電荷Qによる電場${Q\over 4\pi \varepsilon_0 r^2}$の場合で考えてみると、$F(r)={Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r^2}$であるから、対応する位置エネルギーは$U(r)={Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$である($F(r)=-{d\over dr}U(r)$を確認せよ)*3。右のグラフで、U(r)の傾きが大きいところはF(r)も大きくなっていることに注意しよう。

さて、このようにして静電気力による位置エネルギーが定義できたとして、その位置エネルギーを単位電荷あたりに直したものとして、電位を定義する。すなわち、 「電荷qに静電気力$\vec F$が働く時、そこには$\vec E={1\over q}\vec F$の電場がある」として「1Cあたりに働く力」で電場を定義した時と同じ考え方で、


電位の定義

試験電荷qをある場所に置いたと仮定した時、その試験電荷が静電気力に由来する位置エネルギーをUだけ持つならば、その場所の電位(または静電ポテンシャル)は$V={U\over q}$である。


という定義で電位(もしくは静電ポテンシャル*4)Vを導入する。

位置エネルギーUと力$\vec F$が$F=-{d\over dr}U$という関係にあったのだから、電場と電位は$E=-{d\over dr}V$という関係にある(正確な式は、3次元の話をしてから出そう)。

denchi.png

電位の単位は[V](ボルト)である*5。市販の乾電池には1.5Vと書いてあるが、あれは電池の+極と−極の間に1.5V分の電位差があるということを意味する。つまり、試験電荷qが−極付近にある時と+極付近にある時で、$1.5\times q$[J]の位置エネルギー差があるということである。つまり、電池の−極から+極まで、q[C]の試験電荷を運ぶと、1.5q[J]の仕事をすることになる。試験電荷は($q>0$なら)−極に引っ張られ、+極から反発される。よって試験電荷を(そこに張り付こうとする)−極からひっぱがして、(くっつきたがらない)+極に押しつけるには、それだけの「仕事」がいるのである*6

上で考えた点電荷Qがある場合に試験電荷の持つ位置エネルギーは${Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r}$だったので、この位置エネルギーを試験電荷を単位電荷に直したものが電位となる。すなわち、点電荷Qによって、そこから距離rの場所に生じる電位は$V={Q\over 4\pi \varepsilon_0 r}$である。つまり、+電荷付近は電位が高くなり、−電荷付近は電位が低くなる。定義により、エネルギーが低くなる方向に力を受けるので、+電荷は電位が低くなる方向へ、−電荷は電位が高くなる方向へと力を受けることになる。

V.png

上のグラフの縦軸は電位であって、z軸などの実際の位置座標ではない。イメージとしては、電位というのは「架空の山の高さ」であり、+電荷はその架空の山をすべり下りようとする。電位を作るのも電荷であり、+電荷のある場所が盛り上がり、−電荷のある場所が盛り下がる。その様子はあたかも電位というものが弾力のあるゴム膜のようなもの(トランポリンを思い浮かべるとよい)でできていて、+電荷があるところは(架空の)上に引っ張られ、−電荷のあるところは(架空の)下へと引っ張られているようである(このイメージについても、後で3次元的に考え直そう)。

電場に関して重ね合わせの原理が使えたのだから、電位に関しても重ね合わせの原理は使える。すなわち、複数の電荷のつくる電位は、各々の電荷の作る電位の足し算で計算される。今はまだ1次元の話しかしていないのでそのありがたみがわかりにくいと思うが、2次元以上では電場がベクトルであり、電位がスカラーであることは非常に大きな差になる。電位の和の計算にはベクトル和(平行四辺形の法則)が必要だが電位の和の計算は単なる足し算なのである。

この後、1次元の電位の絵を描き、そこに正の試験電荷があったらどんな運動をするかを見せるプログラムを見せた。さらに前にも見せた静電場を描くアプレットも見せた。これには等電位線を描く機能もついている。今日は授業ではまだ2次元以上の空間における電位についてはまだ話していないが、プログラムを動かしながら少しだけ説明した。

学生の感想・コメントから

$F=-{d\over dx}U$の式にマイナスがつく理由がわかった(数名)。

あのマイナスがあるおかげで、エネルギーの低い方へと力が働きます。

ポテンシャルエネルギー=電位だと思ってました。

電位のことを「ポテンシャル」と呼ぶこともあるので誤解しやすいですが「ポテンシャルエネルギー」と「ポテンシャル」は一応別物なのです。

最後のアニメで一直線上を電荷が動くのならぶつかるのでは?

まぁその辺は「うまくすり抜けたんだろう」と解釈してあげてください。衝突をプログラムにいれることはできないことはありませんが、電位というものを理解するという本来の目的からすると要らないものです。

等電位線に沿って動かすと仕事をしないというが、動くのに仕事をしないというのは妙な気がした。

日常用語の「仕事」のイメージが残っているとちょっと妙な感じがしますが、物理の仕事はあくまで(力)×(力の方向への移動距離)なのです。

最後のプログラムの中で転がっていたのは正電荷ですか?

そうです。負電荷なら動きがまるっきり逆になります。

電磁気って力学と関係あるんですね(複数)

あったりまえじゃないですか!! 学問ってのは独立して存在したりしません。まして電磁気は力学から切り離すことが不可能なほど密着してます。

電位のイメージがおもしろかった。電位の高さが架空だとは始めて知った。

架空というのはつまり、地上からの高さとか標高とかの「本当の高さ」とは何の関係もない、ということです。もちろん、電位によるエネルギーは架空じゃありませんよ。

電位のグラフを見てgradを思い出した。

来週、gradとの関係とかもちゃんと話しましょう。

もしかして授業で使っているプログラムは先生が作っているんですか?

そうですよ。

いまいち、電気力線と等電位線が直交する理由がわからない。

今週はそのあたりは予告だけだったので、来週みっちりやりましょうね。

1.5Vの電池は、1Cの電荷を1.5J動かしたら力を使い果たしてしまうんですか?

いいえ。まだまだ大丈夫です。電池の中で化学反応が起こって、その化学反応のエネルギーがどんどん電気エネルギーに変わるのです。どれくらい保つのかは、次の質問への答えを見て。

電池はどのくらいの仕事ができるんですか?

電池の容量は(種類によって違うけど)だいたい1Ah(アンペアアワー)ぐらい。これはつまり、1Aの電流を1時間流したらもうおしまい、ということです。1Aは1秒に1クーロン流す、ということなので、3600クーロン流したら終わり、というところ。だから5400ジュールぐらいできることになりますね。

電磁気って、力学とつながっているそうですが、量子力学や相対論ともつながっているんですか?

第1回を読み直そう。もちろんどっちにもつながってます。特に相対論は、電磁気学から生まれたといっても過言じゃありません。

マイナス電荷のあるところが谷になる、ということは、マイナス電荷はプラス電荷をつかまえて量には限界がある、ということですか?

プラス電荷がくるとその分谷が浅くなっていって、プラスとマイナス電荷が同じだけいると谷が消滅してまったいらになるので、それ以上プラスを引きつけることはありませんね。

yamayama.png

行きます。そこでいったんとまって、また元の場所に戻る。

+電荷の山からマイナス電荷の谷に落ちた電荷が、谷にとらえられてしまうことはないんですか?

何かのエネルギーロス(摩擦であるとか、電磁波が発生したとか、何かに衝突したとか)がなければ、とらえられることはありません。

物体はエネルギーが低いところにいきたがるという話ですが、運動エネルギーは高い方にいきたがるということでしょうか?

位置エネルギーが低いところに行くから、結果として他のエネルギーが増えます。それは運動エネルギーであることもあるし、摩擦がある場合だったら熱エネルギーになったりもする。

要は電気の世界にも$\vec E$という重力みたいなものがあって、位置エネルギーがあるわけですね。

重力も電磁気力も「保存力」というタイプの力です。保存力には常に対応する位置エネルギーがあります。

1Cに帯電した質量mの物体と質量Mの物体の、電位を1V高くするのに必要なエネルギーは、どっちも1Jですか? つまり電場中で物体にする仕事は、質量により変わらないのですか?

電場が物体に対してする仕事は、質量とは無関係です。その仕事がたとえば運動エネルギーに変わったとすると、質量の大きいものの方が遅く動くとか、そういうところに質量の影響は出ます。


*1 厳密に言うとgは標高や緯度などによって多少変化するが、そこは無視しているとする。
*2 現実の我々の空間は3次元なので、3次元的に考えなくてはいけない。本節はあくまで「練習」であり、イメージをつかむためのものである。
*3 このあたりの計算は、万有引力${GMm\over r^2}$に対応して位置エネルギー$-{GMm\over r}$が決まるのと同様である。符号が違うのは$Qq>0$ならば静電気力は斥力だが、万有引力は名前通り引力であることに由来する。
*4 「静電ポテンシャル」と「ポテンシャルエネルギー」は言葉は似ているが、前者は単位電荷あたりに直したもの、後者はエネルギーそのものであるから、少し違う。
*5 電池の発明者であるヴォルタにちなむ。
*6 なお、現実的な問題ではqはかなり小さい(前にも書いたように、日常では1Cの電荷に出会うことはまずない)。よって1.5q[J]の仕事というのは非常に小さく、実際にこれをやっても「ああ仕事をしたなぁ」と実感することはないだろう。

添付ファイル: fileyamayama.png 400件 [詳細] fileharmonic.png 435件 [詳細] file1overrsq.png 409件 [詳細] filedenchi.png 414件 [詳細] fileV.png 393件 [詳細] filemgx.png 420件 [詳細]

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Last-modified: 2020-05-03 (日) 10:05:58 (206d)