前回のgradを表示するアプレットの改良版を見せるところから始めました。

3.3 rotと位置エネルギーの存在

3.3.1 仕事が経路に依存しない条件

仕事が出発点と到着点だけに依存し、経路に依存しないためにはどんな条件が必要であろうか?---それを求めるために、またしても物理の常套手段である「細かく区切って考える」を使うことにしよう。つまり、出発点と到着点が非常に近い点にある場合を考える。簡単のため、図のA(x,y)→D(x+\Delta x,y)→C(x+\Delta x,y+\Delta y)という経路と、A(x,y)→B(x,y+\Delta y)→C(x+\Delta x,y+\Delta y)という経路を比較するところから始める。例によって\Delta x,\Delta yは微小と考えるので、各経路における仕事は、以下の図のように計算できる。

rotE.png

下二つを足したもの(A→D→C経路での仕事)から上二つを足したもの(A→B→C経路での仕事)を引くと、

F_x(x,y)\Delta x+F_y(x+\Delta x,y)\Delta y -F_y(x,y)\Delta y -F_x(x,y+\Delta y)\Delta x\simeq \left({\partial \over \partial x}F_y \right)\Delta x\Delta y-\left({\partial \over \partial y}F_x\right)\Delta x \Delta y

となる。すなわち、経路によらずに仕事が決まる条件は、

{\partial \over \partial x}F_y - {\partial \over \partial y}F_x=0

である。

ここではxy平面で考えたのでこの条件が出たわけであるが、yz面やzx面についても同じ条件が成立せねばならないから、

{\partial \over \partial y}F_z - {\partial \over \partial z}F_y=0
{\partial \over \partial z}F_x - {\partial \over \partial x}F_z=0

も合わせて、3つの条件が必要となる。逆にこの3つが成立すれば、この微小な四辺形を組み合わせていくことでどんな形の面でも作ることができるであろうから、仕事は経路に全くよらなくなる。この3つの左辺を、xy面での条件をz成分、yz面での条件をx成分、zx面での条件をy成分としてベクトルとしてまとめたもの


rotの定義
{\rm rot} \vec F= \left( {\partial \over \partial y}F_z - {\partial \over \partial z}F_y, {\partial \over \partial z}F_x - {\partial \over \partial x}F_z, {\partial \over \partial x}F_y - {\partial \over \partial y}F_x \right)

と定義し、「ローテーション(rotation)」と呼ぶ。日本語では「回転」と呼ぶ。なぜ回転と呼ぶのかは、次の節のイメージで理解するとよい。記号はcurl(カール)を使うこともある。

shukai.png

3.3.2 rotのイメージ:ボートの周回

rotの意味を、水の流れで考えよう。水面の上に仮想的なボートを浮かべてみる。そして、その仮想的なボートが四辺形の形に水面を運航する。この時「ボートは水の流れにどれだけ押してもらったでしょうか」という問題を考えると、これの答えを出すために必要になるのがrotなのである。上の図の点線のように水が流れていて、四辺形の形に仮想的ボートが動いたとする。最初ボートは右に移動し、流れは少し右に傾いているから、ちょっと得をする。次に上へ進む時も得をする。その次には左へ進むが、この時は流れと運動方向が垂直に近いのでそれほど得も、損もしない。最後の下への移動では流れに逆らっているので損をする。これを1サイクル分足し上げたものがrotの正体である。

ではこれを式で書こう。まず最初の右へ動くとき、どれぐらい得をするかというと、V_x\Delta xくらいであろう。上の方で左に動く時は、逆向きなので-V_x \Delta xになる。ここで「V_x\Delta x-V_x\Delta xだから、足したらゼロになる」と思ってはいけない*1。この場所ではy座標が\Delta yだけ増えているのだから、

と解釈すべきなのである。例によってV_x(x,y+\Delta y)=V_x(x,y)+{\partial V_x\over \partial y}(x,y)\Delta y+\cdotsとテーラー展開すれば、上と下の辺での得は-{\partial V_x\over \partial y}\Delta x\Delta yとなる。同様の計算を、右の辺の上向きの移動の部分と、左の辺の下向き移動の部分についておこなうと、今度は関係するのはV_yであり、x+\Delta xの位置(右の辺)が+で、xの位置(左の辺)が+で効くので、\left({\partial V_y\over \partial x}\right)\Delta x\Delta y となる。

rotXYZ.png

まとめると、

\left({\partial V_y\over \partial x}-{\partial V_x\over\partial y}\right)\Delta x\Delta y

とまとまる。これを単位面積あたりに換算した、{\partial V_y\over \partial x}-{\partial V_x\over\partial y}こそがrotである(実際には、rotのz成分)。

「rotはなぜベクトルなんだろう?」と疑問に思う人がいるかもしれない。それは、今考えたように微小な四辺形一個一個に対して(単位面積当たりの密度として)定義されているのがrot であるからである。四辺形がどんな向きを向いているかによってrotの値は当然、違うからである。そのベクトルの向きは、四辺形の運航を右ネジを回す向きと考えた時のネジの進む向きとする。ある一点を指定しても、その場所に四辺形はたくさん(いろんな方向を向いて)書ける。 だから、「rotはベクトルでx成分とy成分とz成分がある」という表現は正しいのだが、より正確には、「rotにはyz面に垂直な成分とzx面に垂直な成分とxy面に垂直な成分がある」(もちろん、「x成分」は「yz面に垂直な成分」のように対応する)と言うべきである*2

3.3.3 rotのイメージ2:電場車

denbaguruma1.png

rotの意味を「電場車」を使って説明しよう。電場車*3とは、一辺aの四辺形の辺の中点に正電荷qをくくりつけたものを用意し、四辺形の中央に軸をつけてくるくる回転できるようにしたものである(ただし、腕の長さaについては、後でa\to0の極限をとるものとする)。風を受けた風車が回るように、電場の中にこの装置を入れたら回るだろうか?---それを判定するために、この装置に働く力の軸回りのモーメントを求めてみよう。

denbaguruma.png

図のように座標系をおいて計算する。図に書き込んだ\left(x+{a\over2},y\right)との点にある電荷の受ける力はq\vec E\left(x+{a\over2},y\right)であるが、軸の周りに回転刺せるモーメントを考えると、\vec Eのy成分E_yのみが寄与することになる。つまりこの部分の電荷によるz軸回りのモーメント(反時計回りに回そうとする方向を正とする)は

qE_y\left(x+{a\over2},y\right){a\over2}

である。同様に考えると、\left(x,y+{a\over 2}\right)にある電荷によるモーメントは

-qE_x\left(x,y+{a\over2}\right){a\over2}

となる。この力は(E_x>0の場合)電場車を時計回りに回そうとするモーメントとなるため、上の式に比べてマイナス符号がついている。このように符号に気をつけながら4つの電荷に働く力のモーメントの合計を求めると、

q\left[E_y\left(x+{a\over2},y\right)- E_x\left(x,y+{a\over2}\right)- E_y\left(x-{a\over2},y\right)+ E_x\left(x,y-{a\over2}\right)\right]{a\over2}

となる。aが微小であるとして展開すれば、

E_y\left(x+{a\over2},y\right)-E_y\left(x-{a\over2},y\right)={\partial\over  \partial x}E_y(x,y) a

となるので、モーメントは

q\left[{\partial E_y\over \partial x}-{\partial E_x\over \partial y}\right]{a^2\over2}

と書くことができる。ゆえに、z軸方向を向いた電場車は{\rm rot}\vec E_{}のz成分に比例するモーメントを受けることがわかる。


【よくある質問】''({\rm rot} \vec E_{})_x=\partial_y E_z-\partial_z E_yの右辺はy\to zの順番、({\rm rot} \vec E_{})_z=\partial_x E_y-\partial_y E_xの右辺はx\to yの順番、とアルファベットの順番通りなのに、なぜ({\rm rot} \vec E_{})_y=\partial_z E_x-\partial_x E_zの右辺はz\to xと逆順なのですか?

これは、この「電場車」がモーメントを受けて回ったと仮定して、その時に「電場車」が右ネジであったとしたら進む方向をrotの向きとする、という定義になっているから。「x軸からy軸へ」という方向にネジが回ると、z方向に、「y軸からz軸へ」という方向にネジが回ると、x方向にネジが進む。これに対し、「x軸からz軸へ」という方向にネジが回ると、-y方向にネジが進んでしまう。だから、「z軸からx軸へ」という方向にネジが回る方が正になるように定義してある。''


さて、以上からわかるように、静電場の場合{\rm rot}\vec E_{}=0にならなくてはいけないのだが、それはエネルギー保存則の観点から考えるとわかりやすい。上で書いた「電場車」を静電場の中に置いたとすると、このマシンは力を受け、くるくると回転を始めるだろう。しかしそれでは、このマシンは静電場からどんどんエネルギーを取り出せることになってしまうのである。そんなことはできるはずがない!---エネルギー保存則に反しているではないか*4

rotは「回転」という名前がついているせいもあって、何かが渦を巻くように回っている時だけnonzeroになると誤解する人が多いので注意しておく。

rotaruyo.png

前に示した\vec F=x\vec e_yの場合、どこにも渦は発生していないが、rotはnonzeroである({\partial F_y\over \partial x}=1だから)。

このような場合に「この時rotは0ではない」ということを実感するためには、このような電場があったとして、「その電場の中で電場車が回り出すかどうか?」と考えるとわかりやすい。\vec E=x\vec e_yの場合、右の方が電場が強いので、電場車は反時計回りに回転を始めるはずである。

rotのあるなしは、今考えている流れ自体に「渦」のような回転のあるなしを示しているわけではない。「回転」という名前に惑わされないように注意しよう。

なお、ベクトルの外積の式とrotの式を見比べると、

\begin{array}{rlllllllllllllll}{\rm rot} \vec F=\biggl(&{\partial \over \partial y}F_z&-&{\partial \over \partial z}F_y,&{\partial \over \partial z}F_x&-&{\partial \over \partial x}F_z,&{\partial \over \partial x}F_y&-&{\partial \over \partial y}F_x&\biggr)\\\vec a\times \vec b=\biggl(&a_yb_z&-&a_zb_y,&a_zb_x&-&a_xb_z,&a_xb_y&-&a_yb_x&\biggr)\end{array}

となり、同じ形をしていることがわかる。rotは、ちょうど\vec\nabla=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)\vec F=(F_x,F_y,F_z)と外積を取っている計算になる。よって、

{\rm rot} \vec F =\vec\nabla \times \vec F

という表記もよく使われる。

3.3.4 grad,rot,divの関係

ここまでで、電磁気で使うベクトル解析で重要なdiv,rot,gradを説明したことになるが、この3つを図形的に表現すれば、

gradrotdiv.png

となる。単なる計算ツールとして数式を盲目的に覚えるのではなく、図形的イメージを頭に入れて欲しい。このイメージがあれば、以下にあげる法則がなぜ成立するのかが理解しやすい。

gradのrotが0であること

rotgrad.png

\Phiがどんな関数であっても、{\rm grad}\Phiのrotをとると0になる({\rm rot}({\rm grad}\Phi)=0)。これは数式でもわかるが、gradとrotの意味を理解していれば、右図を見るだけで一発でわかる。gradは矢印の先の量と矢印の根本の量の差である。rotは四辺形の一周で定義されている。rotというのは、矢印4本もってきて四辺形を作るという操作に等しいのであるが、この4本の矢印が表しているものがgradの場合、「(矢の先)-(矢の根本)」という引き算なのだから、矢印が四辺形を描いて一周回るように足し算を繰り返せば、プラス符号つきの「矢の先」とマイナス符号つきの「矢の根本」が全て消しあい、答えが零になるのは当然である。

rotのdivが0であること

同じように考えると、任意のベクトル\vec Vに対し、{\rm div}({\rm rot}\vec V)=0であることもわかる。これまた計算でも簡単にわかるのだが、ここでは図で説明しよう。

divは直方体、rotは四辺形に対応するものである。rot からdivを作るというのはつまり、下の一番右の図のようにする、ということ。ここで天井の四辺形のrotと底面の四辺形のrotが逆回りをしているが、これはdivが「天井−底」という引き算で表されているからである。他の6面についても、対面どうしの四辺形の中で、rotは逆回りしている。で、この図をよく見ると、一つの辺を2本ずつ、逆向き矢印が通っていることが理解できる。となれば、これも全部足せば零になるのは当然である。

divrot.png

ストークスの定理

stokes.png

rotの四辺形を直方体をなすように組み上げるとdivが零になるわけだが、直方体でなく任意の面を作るように組み上げていくと、ストークス(Stokes)の定理というのが証明できる。rotの四辺形をあわせていくと、常にとなりあう矢印どうしは消しあうので、一番外側にある線(つまり考えている面の外縁)の部分の積分だけが残ることになる。

これから、

\int_S ({\rm rot} \vec V)\cdot d\vec S = \oint_{\partial S} \vec V\cdot d\vec x

という公式が作れる。Sはある面積を表し、\int_Sはその面の上の積分である。\partial SはSの境界となる線を表す。\oint_{\partial S}は境界線の上での線積分である。これをストークスの定理と言う。

ここで、ちょっとした工作を使ってストークスの定理を説明した。まず、

Stokes1.jpg

を見せる。これは微小な正方形を回る周回積分で、つまりはこの場所におけるrotである。

Stokes2.jpg

ちなみに裏には磁石が貼り付けてあって、黒板に着くようになってます。

Stokes3.jpg

のように微小正方形を回るrotを二つ持ってくる。これを今からくっつけるのだが、くっつけると接合される面での仕事に対応する量は(逆向き移動なので)キャンセルする。結果、

Stokes4.jpg

のようになる。以下同様に

Stokes5.jpg
Stokes6.jpg
Stokes7.jpg
Stokes8.jpg

3のように貼り付けていくと、貼り付け足られた部分の仕事(積分)は消えるので、結局外側をぐるっと回る積分だけが残ることになる。これがストークスの定理である。

ストークスの定理は面をくみ上げていって作った定理であるが、立体を組み合わせて同様のことをすれば、ガウスの発散定理(\int_{V}{\rm div} \vec V dV = \int_{\partial V}\vec V\cdot d\vec S)ができた。この二つの公式は2次元と3次元という違いはあれ、同じ考え方で出てくる式なのである。ストークスの定理から、{\rm rot} \vec E_{}=0であるような面の周りを一周する用に電荷を動かすと、電場のする仕事が0であることがわかる。

立体的な模型も作ってみた。

divrot1.jpg

やはり二つ持ってきて、、、

divrot2.jpg

つなげると、、、

divrot2B.jpg

のように接合部分の積分が消える。

divrot3.jpg

こっちの模型は上のように曲げることもできて、

divrot4.jpg

さらに上にrotをかぶせて、、

divrot5.jpg

貼り合わせるとさらに接合部が消える。以下同様にどんどんこの部品を立方体の形に貼り込んでいく。

divrot6.jpg

上の写真が最終工程一個手前。後は天井を貼り合わせて、

divrot7.jpg

のように立方体が完成し、矢印はどこにもなくなる。つまり、div(rot A)=0というわけ。

さて、以上で準備は終わったので、この話を静電気力の具体的な問題に適用して、「電位」という概念を使っていこう。

学生の感想・コメントから

紙の工作で、rotの意味がわかった(複数)。

作った甲斐がありました。

rotとdivの考え方は似ていると思いました。

ガウスの発散定理とストークスの定理は、3次元と2次元という次元の違いはあれど、「端っこでの積分」と「内部の積分」が結びつくという点が似ていますね。

rotはモーメントにも似ていると思いました。

テキストの「電場車」のところにも書きましたが、ベクトル場が力のようなものだと考えると、まさにモーメントです。

div,rot,gradの意味が、図で理解できました。

div,rot,gradは皆幾何学的な量なので、図で理解しておくのが一番です。

F_y(x+\Delta x,y)\Delta y-F_y(x,y)\Delta yの計算をしたら{\partial F_y\over\partial y}\Delta x\Delta y}\Delta x \Delta yとなったが、もともとなかった\Delta xが後から出てきた理由がわからない。

F_y(x+\Delta x,y)=F_y(x,y)+{\partial F_y\over \partial x}\Delta x+\cdotsという、テーラー展開ですよ。

gradやdivの数学的なことはわかってきたが、物理で使うとなるとまだ使えなさそうです。

これから先、電磁気でどんどん(他の物理でも)使っていくので、使いながら使いこなしていきましょう。

どうして{\partial F_y\over\partial x}-{\partial F_x\over \partial x}のようにx成分、y成分を計算しているのに、rotのz成分が出てくるのですか?

これは、rotの向きの定義が、「回転軸の方向がrotの向き」と決められているからです。つまり、「x軸からy軸へ」という回転は、「z軸周りの回転だ」というわけです。

一周する面がどっちを向いていても同じ計算でいいんですか?

もちろん、xy面ではて{\partial F_y\over\partial x}-{\partial F_x\over \partial x}と計算しましたが、yz面で計算するならて{\partial F_z\over\partial y}-{\partial F_y\over \partial z}となります。zx面も同様で、こうして3つの成分それぞれのrotが計算できるのです。

「rotがある」という言葉をつかってましたが、それはrot≠0ということですか?

そういうことです。

rot,div,gradは結局足し算引き算しかやってないということがわかったのが驚きでした。

そうです。微分なんてものは、結局は引き算をやっているだけなのです。3次元で考えるといろんな引き算の仕方があって、grad,rot,divといろいろ出てくるだけなのです。


*1 これは、divの時の話と同じ。今は微小な領域でのちょっとした差を勘定している。
*2 もし3次元じゃない空間を考えたら、「面積に対応する量」はベクトルではなくなる。たとえば2次元では面積は1つ、ベクトルは2成分。4次元なら面積は6つあるがベクトルは4成分。面積に対応する量がベクトルと同じになるのは3次元のみ。我々の住むこの空間が3次元であることには何か深い意味があるのだろうか???
*3 ここで命名したもので、一般的に使われている名称ではない。風で回るのは「風車」だから、電場で回るのは「電場車」というわけ。
*4 なお、風車の場合にエネルギーが取り出せるのは、風車が回ることによって風速が落ちる(風のエネルギーが減る)からである。後で時間的に変動する電磁場の場合は{\rm rot} \vec E\neq0であることを学ぶが、その時は電荷の回転によって電磁場のエネルギーが減るという現象がちゃんと起こる。

添付ファイル: filedenbaguruma1.png 583件 [詳細] filedenbaguruma.png 646件 [詳細] filedenbaguruma0.png 334件 [詳細] fileStokes2.jpg 563件 [詳細] fileStokes1.jpg 682件 [詳細] fileStokes3.jpg 687件 [詳細] fileStokes4.jpg 661件 [詳細] fileStokes5.jpg 650件 [詳細] fileStokes6.jpg 575件 [詳細] fileStokes7.jpg 683件 [詳細] fileStokes8.jpg 604件 [詳細] filedivrot1.jpg 562件 [詳細] filedivrot2.jpg 554件 [詳細] filedivrot3.jpg 558件 [詳細] filedivrot4.jpg 587件 [詳細] filedivrot5.jpg 544件 [詳細] filedivrot7.jpg 573件 [詳細] filedivrot6.jpg 560件 [詳細] filedivrot2B.jpg 602件 [詳細]

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Last-modified: 2017-03-22 (水) 16:18:33 (426d)