今日やるべきこと。

  • gradという微分演算子を理解すること
  • 電気力線と等電位面が直交することを理解すること
  • rotという微分演算子を理解すること
  • rotを使って「電位が定義できる条件」を表すこと

けっこうもりだくさんです。

3.2 3次元の空間で考える電位

3.2.1 3次元の空間における位置エネルギー

まず「電場の定義」と「電位の定義」を復習しよう。

  • 電場の定義:「単位電荷あたりの静電気力」
  • 電位の定義:「単位電荷あたりの静電気力による位置エネルギー」

位置エネルギーUと力Fは

F=-{{\mathrm d} U \over {\mathrm d} x}

という関係にある。よって電位Vと電場Eは、

E=-{{\mathrm d} V \over {\mathrm d} x}

という関係になる。

しかしこれは1次元的な考え方であって、現実は3次元空間に我々はいる。3次元で考える時には、力F(x)がベクトル\vec F(x)となり、\left(F_x,F_y,F_z\right)のように次元の数だけの成分を持つ。ゆえに、仕事の定義も、

\int F_x {\rm d} x+ \int F_y {\rm d} y+ \int F_z {\rm d} z= \int \vec F\cdot {\rm d}\vec x

のように力\vec F=(F_x,F_y,F_z)と変位ベクトル{\rm d}\vec x=({\rm d} x,{\rm d} y,{\rm d} z)の内積の積分で定義される。

よって電場と電位の関係も、

E_x=-{\partial V \over \partial x}
E_y=-{\partial V \over \partial y}
E_z=-{\partial V \over \partial z}

とx,y,zの3成分に対して3つの式を立てなくてはいけない。

これをまとめて、

\begin{array}{llllll}E_x \vec {\bf e}_x&&&=-\vec {\bf e}_x{\partial V\over \partial x}&&\\&+ E_y \vec {\bf e}_y &&= &-\vec {\bf e}_y{\partial V\over \partial y}&\\& &+ E_z\vec {\bf e}_z&= & &-\vec {\bf e}_z{\partial V\over \partial z}\\\hline& & & & & \\E_x \vec {\bf e}_x&+ E_y \vec {\bf e}_y &+ E_z\vec {\bf e}_z&= -\vec {\bf e}_x{\partial V\over \partial x}&-\vec {\bf e}_y{\partial V\over \partial y}&-\vec {\bf e}_z{\partial V\over \partial z}\end{array}

と表現する。この式の右辺をよく見ると、ナブラ記号\vec \nabla=\vec {\bf e}_x{\partial\over \partial x}+\vec {\bf e}_y{\partial \over \partial y}+\vec {\bf e}_z{\partial \over \partial z}を使って、-\vec \nabla Vと表現できる。このように、関数\Phi(\vec x)が与えられた時に、ベクトル\left({\partial \Phi\over \partial x},{\partial \Phi\over \partial y},{\partial \Phi\over \partial z}\right)を作る演算を「グラディエント(gradient)」(日本語では「勾配」)と呼ぶ。記号{\rm grad}を使って、


gradの定義
{\rm grad} \Phi = \vec \nabla \Phi = \vec {\bf e}_x{\partial \Phi\over \partial x}+\vec {\bf e}_y{\partial \Phi\over \partial y}+\vec {\bf e}_z{\partial \Phi\over \partial z}

と表現する。

gradvec.png

{\rm grad}の意味を補足しておく。 \vec \nablaによる微分は

\vec {\bf e}_{}\cdot ({\rm grad} \Phi)=\vec {\bf e}_{}\cdot \vec \nabla\Phi=\lim_{h\to0}{\Phi(\vec x+h\vec {\bf e}_{})-\Phi(\vec x)\over h}

のように定義されている。

つまり、ある場所\vec xでの\Phiと、そこからhだけ離れた場所\vec x+h\vec {\bf e}_{}での\Phiの差を計算して、それをhで割る。つまり、距離h移動した時に関数\Phiがどの程度変化したかの割合(勾配)を計算するものである。普通の微分に比べて大きく違うところは、単にx をh増やすのではなく、ある方向(その方向を指定するのに\vec {\bf e}_{}が必要であった)にhだけ離れた場所との比較を行う。

というわけで、{\rm grad}はスカラーからベクトルを作る計算であるが、そうやってできたベクトル{\rm grad}\phiと単位ベクトル\vec {\bf e}_{}と内積をとってやると、その\vec {\bf e}_{}が向いている方向の\Phiの勾配を計算できるのである。

3.2.2 電位と電場\vec E_{}の関係

plusPotential.png

以上述べてきたように、位置エネルギーの定義が可能な場合、位置エネルギーの勾配の逆符号がその物体に働く力となる。つまり、\vec F = -{\rm grad} Uである。単位電荷あたりの力を電場\vec E_{}と定義し、単位電荷あたりの位置エネルギーを電位と定義したのだから、上の力とエネルギーの関係を単位電荷あたりに直すと「電位の勾配の逆符号が電場\vec E_{}である」ということになる。

つまり、電場\vec E_{}と電位の関係は以下の通りである。


電場\vec E_{}と電位の関係

\vec E_{}= -{\rm grad} V または \vec E_{}= -\vec\nabla V


ここで、同じように\vec\nablaをかける計算としてdivとgradが出てきたが、この二つは同じ記号を使ってはいるが意味が全く違うことに注意。divは

(E_x,E_y,E_z)というベクトルから、{\partial E_x\over\partial x}+{\partial E_y\over\partial y}+{\partial E_z\over\partial z}というスカラーを作る演算である。

一方gradは、

Vというスカラーから、\left({\partial V\over\partial x},{\partial V\over\partial y},{\partial V\over\partial z}\right)というベクトルを作る計算である。

  • div:ベクトル→スカラー
  • grad:スカラー→ベクトル

と演算の方向からもう違う。divの意味は「単位体積あたりの湧き出し」だし、gradは「スカラー関数の勾配」である。

ここで、先週図で示した「等電位面と電気力線は垂直」ということを、物理的にあるいは数学的に証明しておこう。

物理的説明: 等電位面上を動くかぎり、位置エネルギーが変化しない。つまり、等電位面上を移動する限り、電場\vec E_{}は仕事をしない。力が働くのに仕事をしないということは、移動方向と力の方向が垂直だ、ということである。よって、等電位面は電気力線と垂直になる。

数学的説明: ある点\vec xにおいて、等電位面の接線方向を向くベクトルを\vec aとする。等電位面の接線方向ということは、その方向に微小な距離だけ移動しても電位は変化しないから、

V(\vec x+\epsilon\vec a)-V(\vec x)=0

が成立する(εは微小量。\vec aは微小ではないが\epsilon\vec a は微小になる)。まだ\vec \nablaなどの記号に慣れてない人のために少しくどくなるがx,y,zという座標をあらわに書くと、

V(x+\epsilon a_x,y+\epsilon a_y,z+\epsilon a_z)-V(x,y,z)=0

ということである。εが微小であるから、上の式は

\epsilon\vec a\cdot {\rm grad} V=0 すなわち、 -\epsilon\vec a\cdot \vec E_{}=0

あるいはベクトル記号を使わないならば、

\epsilon a_x {\partial V\over \partial x}+ \epsilon a_y {\partial V\over \partial y}+ \epsilon a_z {\partial V\over \partial z}=0 すなわち、 -\epsilon a_x E_x -\epsilon a_y E_y -\epsilon a_z E_z =0

と書き直すことができる(こうやって並べてみると、ベクトル記号を使った書いた方がスマートで、状況がつかみやすいと思えないだろうか?)。これはつまり、\vec Eが等電位面の接線方向のベクトルと垂直だということであり、\vec E は等電位面の法線だということになる。

3.2.3 位置エネルギーが定義できる条件

さて、ここまでの計算では、電場があれば電位は定義できるもの、として考えていたが、実は話はそう単純ではない。

たとえば、単純な例として\vec E=x\vec {\bf e}_y=(0,x,0)を考えよう。E_y=xであるからV=-xyと予想されるが、そうだとすると-{\partial V\over \partial x}=yとなってしまって、E_xが0であることと矛盾する。つまり、\vec E=-\vec \nabla Vと書くことはできない。

rotAri.png

図のように、y方向に力が働いていて、しかもx座標が大きくなるに従ってその力が強くなっているような場合、仕事が経路に依存する。それは図のA→B→Cと図のA→D→C で仕事を考えてみるとすぐわかる。ゼロでない仕事はB→CとA→Dであるが、あきらかにB→Cの方が仕事が大きい。エネルギーは「仕事の分だけ増える量」として定義されているのだから、A点での位置エネルギーを定めた時、C点での位置エネルギーは、経路によって違うということになってしまって、場所の関数としてエネルギーを定義することは不可能である。

ではどういう時にはエネルギーが定義でき、どんな時にはできないのだろうか?---そのことを単純に判定する方法はないだろうか?

3.3 rotと位置エネルギーの存在

3.3.1 仕事が経路に依存しない条件

仕事が出発点と到着点だけに依存し、経路に依存しないためにはどんな条件が必要であろうか?---それを求めるために、またしても物理の常套手段である「細かく区切って考える」を使うことにしよう。つまり、出発点と到着点が非常に近い点にある場合を考える。簡単のため、図のA(x,y)→D(x+\Delta x,y)→C(x+\Delta x,y+\Delta y)という経路と、A(x,y)→B(x,y+\Delta y)→C(x+\Delta x,y+\Delta y)という経路を比較するところから始める。例によって\Delta x,\Delta yは微小と考えるので、各経路における仕事は、以下の図のように計算できる。ここでも\Delta x,\Delta yは微小なので、&mimetex(\int_y^{y+\Delta y} F_y(x,y'){\rm d} y);という積分をF_y(x,y)\Delta yという掛け算で済ませている。

rotE.png

下二つを足したもの(A→D→C経路での仕事)から上二つを足したもの(A→B→C経路での仕事)を引くと、

\begin{array}{rl} &F_x(x,y)\Delta x+F_y(x+\Delta x,y)\Delta y  -F_y(x,y)\Delta y -F_x(x,y+\Delta y)\Delta x\\= &\underbrace{\left(F_y(x+\Delta x,y) -F_y(x,y)\right)}_{\simeq {\partial F_y\over \partial x}\Delta x}\Delta y + \underbrace{\left(F_x(x,y)-F_x(x,y+\Delta y)\right)}_{\simeq -{\partial F_x\over \partial y}\Delta y}\Delta x\\ \simeq & \left( {\partial \over \partial x}F_y  \right)\Delta x\Delta y -\left( {\partial \over \partial y}F_x \right)\Delta x \Delta y\end{array}

となる。すなわち、経路によらずに仕事が決まる条件は、

{\partial \over \partial x}F_y - {\partial \over \partial y}F_x=0

である。

ここではxy平面で考えたのでこの条件が出たわけであるが、yz面やzx面についても同じ条件が成立せねばならないから、

{\partial \over \partial y}F_z - {\partial \over \partial z}F_y=0
{\partial \over \partial z}F_x - {\partial \over \partial x}F_z=0

も合わせて、3つの条件が必要となる。逆にこの3つが成立すれば、この微小な四辺形を組み合わせていくことでどんな形の面でも作ることができるであろうから、仕事は経路に全くよらなくなる。この3つの左辺を、xy面での条件をz成分、yz面での条件をx成分、zx面での条件をy成分としてベクトルとしてまとめたもの


rotの定義
{\rm rot} \vec F= \left({\partial \over \partial y}F_z - {\partial \over \partial z}F_y,{\partial \over \partial z}F_x - {\partial \over \partial x}F_z,{\partial \over \partial x}F_y - {\partial \over \partial y}F_x\right)

と定義し、「ローテーション(rotation)」と呼ぶ。日本語では「回転」と呼ぶ。なぜ回転と呼ぶのかは、次の節のイメージで理解するとよい。記号はcurl(カール)を使うこともある*1。この書き方を使うと、電位が定義できる条件は{\rm rot} \vec E_{}=0である*2

こうして、{\rm div}\vec E={\rho\over\varepsilon_0}に加えて、新しい物理法則{\rm rot}\vec E=0が得られた。この式はエネルギー保存則と結びついている。

rotは「微小な正方形の回りを回った時の電場のする仕事を単位面積あたりに直したもの」である。微小な正方形を、

Stokes1.jpg

のような紙工作で表現した。これが0だったとすると、これをたくさん足したものも、やっぱり0である。

Stokes3.jpg

のように、二つの微小領域のrotを足すと、その真ん中の部分では必ず仕事の消し合いが起こる。

ゆえに、

Stokes4.jpg

や、

Stokes5.jpg

あるいは、

Stokes7.jpg

のようにたくさん足していっても、やっぱり0である。こうして「微小正方形の回りを回る仕事が0」を示せば「任意の形を一周して回りを回る時の仕事が0になる」ということを証明することができる(もちろん数学的な証明にはこれでは足りないが、こうなるということを納得することはできるだろう)。

学生の感想・コメントから

今日も新しい物理法則が出てきた。難しかった。

式に馴染みがないかもしれませんが、中身は「エネルギー保存則」なのです。

先生の工作はわかりやすくて印象に残るので好きです。

自分でも作ってみるといいですよ。

期末テストは中間テストの範囲を含みますか。

はい全部です。というか、中間テストの範囲を抜いて問題作るなんて器用なことできませんよ。みんなつながっているから。

電場より電位の方が面白い!

うーん、どっちも面白いと思うけど。

divとgradとrotは俺の嫁。

独占しちゃダメです。みんなで使いましょう。

rotが大事だと知りました。

そうです。むっちゃ大事なのです!!


コメントありましたら↓にどうぞ。

  • V(x+εa)-V(x)=0ならば-εa.gradV=0となる過程が分かりません。 -- 通りすがりの高校生? 2017-09-23 (土) 23:11:43
  • 質問した直後に分りました、gradV=vector(0)となって、内積が0となると言う意味ですね -- 通りすがりの高校生? 2017-09-23 (土) 23:16:20


*1 マックスウェルはcurlを使っていた。
*2 本来、この式の右辺は「成分が0であるベクトル」という意味で零ベクトル\vec 0を使って{\rm rot}\vec E=\vec 0と書くべきなのだが、昔からの慣習で\vec 0のベクトル記号は省略されることが多い。

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Last-modified: 2017-09-23 (土) 23:16:20 (388d)