クーロンの法則

逆自乗則

その「触感」を実験によりちゃんと数式として説明したのが「クーロンの法則」である。

クーロンの法則は「距離r離れた電荷Qと電荷qの電荷の間には、$F={Qq\over4\pi\varepsilon_0 r^2}$の力が働く」というものである。距離の自乗に反比例するということで、「逆自乗則」と呼ばれる。

ネオジム磁石の手応えを感じていると、近づくと急に力が強くなる、ということを感じるはずであるが、これは 磁石の力が静電気力と同様に、「距離の自乗に反比例」という性質を持つおかげである。

逆自乗則は、「ある一点から何かが等方的に(つまりどちらの方角にも均等に)放射されている」ような時に自然に現れる。

denkyu.png

たとえば上のように、電球から出る光の明るさを考えると、距離が2倍になれば明るさは4分の1になる。

目に入る光の量が明るさを決めていると考えると、2倍遠いところにある目に入って来る光の量は4分の1になっている、と考えることができる。なぜそうなるかは、次の図を見よう。

menohikari.png

この図は平面で描いているので距離が2倍だと光の量が2分の1のように見えるが、実際には立体的に考えなくてはいけなくて、縦も横も2分の1になると全体の量は4分の1になる。

この電球の光と同様に、点電荷が周りに及ぼす力も「一点から球状に広がる」という性質を持っていると思うと、逆自乗則に従うことの意味が見えてくるのである。

ところで、クーロンの法則が成立することは、キャンベンディッシュによる実験と考察で解る。

tamanonaka.png

という図である。もしクーロン力が距離によらないなら、電荷が多い分、左側が勝つ。一方、遠くになると全く働かなくなるのなら、左側の力はなくなってしまうから、右側が勝つ。どっちにもならず、力がつりあうのはどんな時か??---と計算してみると、逆自乗則が導ける。

どう導けるかは、また後でやろう。

クーロンの法則を式で書くと、

$F={Qq\over4\pi\varepsilon_0 r^2}$

となる($\varepsilon$はイプシロンと読む)。$\varepsilon_0$は「真空の誘電率」と呼ばれる量で0が「真空の」を表す。物質中ではちょっと違ってくる(が、しばらくは真空中しか考えない)。

この式で電気量の単位は「C(クーロン)」である。

比例定数$k={1\over4\pi\varepsilon_0}$は、$9.0\times10^9$という大きな数字である。これは光速度の自乗に$10^{-7}$をかけたものになっているが、その理由は(ずっと)後で話そう。

電荷により、電場ができるイメージ

電球の比喩から、「電荷から何かが放射されている?」というイメージが作られるわけであるが、その「何か」に対応する「流れ」のようなものとして「電場」および「電気力線」という概念を考えよう。

まず、「近接作用」の考え方から、空間の各点各点に「電場」というものがあって、それが電荷と電荷の間の力をなんらかの形で「伝えている」と考える。

我々は真空を「何もないところ」と考えてしまうが、実は真空はプラス電荷やマイナス電荷の影響を受けて「ゆがみ」のようなものを生じさせ、それを伝えていくのである。それが「電場」である。

よって、電場は場所の関数(各点ごとに定義される量)である。

ある場所に試験電荷$q$を置いたと仮定すると、その電荷に力$\vec F$が働くとする。この時、その場所には$\vec E={\vec F\over q}$の電場$\vec E$が生じていると定義する。別の言い方をすれば、「電場$\vec E$とは、その場所に単位電荷を置いた時にその電荷が受ける力である」としてもよい。

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↑これがプログラムの画面(ほんとうは縦長だが、webページにした時に面積が広くなるので、下をカットした。

灰色の矢印は、各点各点の「電場」の向きである。ということはつまり、ここに電荷を置いたらその方向に力を受ける。

電荷の位置は指でドラッグすることで変化できる。また、電気量は上にあるスライダで変化させることができる。とにかく色々動かして電場の変化の様子を実感してもらった。

大事なポイントとして以下の点を指摘しておく。この力を見ていると、

  • 正電荷から力の矢印が湧き出て、
  • 負電荷に力の矢印が吸い込まれている。

というイメージが見える。このイメージが「電場」という概念につながる。ここで、そのイメージを目と手で確認してもらうために、androidタブレットを使ったシミュレーションで遊んでもらった。

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↑これは、正電荷が一つ、負電荷が一つある時の電場の様子。電場が「プラス電荷から湧き出し、マイナス電荷に吸い込まれている」という雰囲気を感じて欲しい。

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↑これは、両方の電荷を正にした時の様子。両方から湧きだして電場がぶつかっているような雰囲気を感じて欲しい。

実際に電荷を置いてみよう。電荷の位置以外を指で触ると、その場所に「試験電荷」が現れ、力を受けて動き出す。

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↑の黒い+が試験電荷。赤い矢印は試験電荷に働く力、青い矢印は試験電荷の速度である(上の図は、すでにある程度加速した後)。

いろいろ遊べるので、しばらくの時間遊んでもらった。遊び方としては、

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↑正電荷と正電荷のちょうど真ん中に試験電荷を置くと力がほぼ釣り合っているのでしばらく止まっている(ただし、不安定なのですぐにどっちかに落ちる)。

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↑負電荷の回りを試験電荷を惑星のように回す。

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↑正電荷の近くに試験電荷を置いて、もう一個の試験電荷に向けて「発射」する(ラザフォード散乱)。

このプログラムでは、二つの電荷がどのように電場を作ってそれが合成されているか(下の図)

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も見れる。

電場の様子を見ていると、矢印が「流れのようなもの」を作っている。その「矢印が作る流れのようなもの」を線で表現したのが「電気力線」である。

プログラムでは、電気力線を曲線で書くこともできる(下の図)。

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もちろん、↑この状態で試験電荷を出して動きを見ることも出来る。いろいろ遊べるので遊んでみよう、ということでしばし電場や電気力線を(目に見える形で)実感してもらった。

なお、ここで見せている電場は「平面上の電場」なので、$E={Q\over 4\pi \varepsilon_0 r^2}$ではなく、$E={Q\over 2\pi \varepsilon'_0 r}$のような式になっている。


携帯など、androidを持っている人へ。

ここで使ったプログラムのapkファイルは右のアイコンからダウンロードできます。→ElectricField.apk 

この他にもandroidによる物理シミュレーションが琉大物理のこのページにあります。

iPhoneダメですか?

ごめん、iPhone用はない。


ここで、電気力線の性質をまとめておく。


電気力線の定義と性質

  1. その場所の電場$\vec E_{}$の方向に伸びる。
  2. 単位面積あたりの本数が電場$\vec E_{}$の強さに等しい。
  3. 交差することはない。
  4. 正電荷で始まり、負電荷で終わる。
  5. とぎれない。
  6. 分裂したい。
  7. 合流しない。

交差しないのはなぜかわかるかな?---電気力線の向きが電場の向きだという性質からすると?

交わった点に電場が二つあることになるからですか。

そういうことです。そんなことあっちゃ困るから、電気力線は交わらない。

正電荷に始まり、負電荷で終わるということですが、一個だけ正電荷がある場合とかはどうなりますか?

その場合、電気力線は無限遠まで伸びていきます。逆に負電荷だけがあるときは、無限遠からやってくる。

電気力線の単位面積あたりの本数が電場の強さになる、と考えると逆に、

(電気力線の総本数)=(電場の強さ)×(面積)

という式ができる。点電荷の場合に距離rの点で電場は$E={Q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}$、面積は球の表面積$4\pi r^2$とすると、

$$ {Q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}\times 4\pi r^2={Q\over\varepsilon_0} $$

となり、距離によらず一定となる。この事実が電気力線の性質の最後の3つ「とぎれない」「分裂しない」「合流しない」に関係している(とぎれたり分裂したり合流したりしたら、

学生の感想・コメントから

アンドロイドを使って電場を目で見るとイメージがしやすかったです。

イメージは大事です。それがないと物理はできない。

タブレットを使い、電場や電気力線についての理解を深めることができた。

電場と電気力線のイメージを身につけておきましょう。

電場や電気力線について、タブレットを使い学んだ。電磁気は高校で学んだことより、とても深く面白いなと思った。

深いですよ〜〜。

楽しく、電場について学べた。

楽しく学びましょう。

プラスでんしがどこに動くか考えたり、動かしたりするのが楽しく学べてよかった。

「プラスでんし」はちょっと変(^_^;)。動きで電場を実感してください。

タッチパネルを使って、楽しく理解できたと思います。復習頑張って考え方を定着させます。

電場の概念をつかんでください。

タブレットを使うとやはりわかりやすい。自分のケータイでもやってみたいと思った。

やってみてください。

タブレットを使ったのでとてもわかりやすかった。

それはよかった。

電気力線が途切れない、交わらない、合流しないかが、${Q\over\varepsilon_0}$(距離に依存しない)からわかるというのは、なるほどと思った。

電気力線は物理法則をうまく表現しています。

電場はあまり想像できなかったが、タブレットを使って考えやすくなった。

まずはイメージを作るところから、始めよう。

目に入る光の量から考えていくのが新鮮で楽しかった。アプリ面白かった。

逆自乗則も電場も、イメージが大事。

タブレットを使って目で見て、電場の事がわかった。

見て動かして考えるのは大事ですね。

タブレットを用いたおかげでイメージしやすくなりました。3次元、2次元の違いで変わることもちゃんと理解できるようになりました。

そのイメージを大事にしてください。

逆自乗の説明が分かりやすかった。

身につけておきましょう。

タブレットを使って電場について直感的に知ることができた。

まずは直感的に概念を把握しましょう。

電場を平面でしか見れなかったので、いつか、立体で見たいですね。

それはプログラムがけっこう難しいかなぁ。

アンドロイドのあれはものすごくわかりやすかったです。

作ったかいがありました。

タブレットでやったアプリおもしろかった。逆自乗の力がすごかった。

それはよかった。

逆自乗則、理解できました。シミュレーションで理解が深まりました。ありがとうございます。シミュレーション力作で関心させられました。

作ったかいがありました。

視覚で電場などを学習できてよかった。前より理解することができました。

物理の第一歩は「頭に絵が浮かぶこと」です。視覚は大事。

アンドロイドで遊ぶと、電場のイメージがつかめた。

しっかり遊び学んでください。

タブレットでの授業であったので実際に自分の目で確かめることができ、とても有意義な時間だったと思う。内容では、近接作用論と遠隔作用論の違いがあいまいで、ちょっと悩んだ。これからどんどんレベルが上がっていくと思うので、予習をしっかりしたいと思う。

こっから先は近接作用(場の考え方)のみで話が進みます。

遠隔作用、近接作用の考えなど、一見同じに感じるような概念が全体には大きな影響を与えていることがわかった。

今の物理では「場」はとても大事なのです。

電気力線と電場についてイメージできたと思います。復習してしっかり理解します。

イメージ定着させてください。

電場について今までよりしっかり理解できた。

それはよかった。

場という考え方を学んで今までの視野が少し広くなったように思いました。

場の考え方は大事ですよ〜。

電場が密度を表しているのをあらためて知りました。

電気力線という架空の線を使って表現すると、密度になります。

タブレットの充電がんばってください(たくさんあるから大変だと思いました)。わかりやすかったです。

充電は差し込んでおけば終わりだからそんなにたいへんじゃないかな。たいへんなのはソフトのインストールの方。

タブレットを使ったりして、工夫された授業だったので、楽しかった。さらに、タブレットを使ったので図でイメージをわかりやすく捉えることができたので、かなり理解できた。

しっかりイメージし、理解してください。

タブレットがあるとイメージしやすいし、授業が楽しいです。

楽しく、理解していってください。

タブレットを使って、電場のイメージをしっかり身につけることができた。

そのイメージを大事にしていきましょう。

電場や電気力線で遊んだ。いろいろ動かすことができて楽しかった。

遊び、学び、楽しんでください。

タブレットで電気力線や電場をイメージすることができてわかりやすかった。

物理はまずイメージ。

タブレット、とっても便利です。

便利なものができたものです。

Tabでイメージが掴めた。電磁気が苦手イメージが抜けないので、イメージをしっかり掴んでいきたい。

計算の前にまず「何を計算してるの?」をイメージすることが大事です。

タブレットを使っての説明で面白かったです。

楽しく学んでください。

電場の定義を知らなかったけど、授業で知ることができた。

定義は大事ですよ。

電気力線の本数は距離によらないのですね。

全部をみれば、そうなります。

タブレットを使うと、電場の状況がよくわかって、理解しやすかった。

電荷の様子からイメージできるようにしましょう。

今日はタブレットを使わせてもらって電場のことがわかりやすくイメージできた。

電場の概念を理解していきましょう。

電場がどのように出ていて、どのように作用するのか、イメージがはっきりしていなかったが、授業を通してイメージが掴めた。

そのイメージは大事ですよ。

クーロンの法則が、なぜ逆自乗則になるのか分かった。また、タブレットを使って電気力線の様子や、電場の向きを視覚的にとらえることができた。

電気力線のイメージを身につけてください。

電場の定義と電気力線の性質が出たので覚えたいと思います。

「覚える」と思ってはダメ。「理解する」。

近接作用と遠隔作用の違いが分かった。電気力線の理解も深まった。

電気力線は、とっても大事です。

賀数先生も電界・電場と振動数・周波数の話を工学と物理で違うという話をしていましたが、何かあったんですか?

別に喧嘩はしてません(^_^;)。互いに交流ないまま別々の言葉が使われてしまっただけで。

次回も集中してがんばります。

はい、がんばりましょう。

・視覚的に学ぶことでより理解が深まった。 ・高校の時に不思議に思っていた$F={Qq\over 4\pi \varepsilon_0 r^2}$の分母に$4\pi r^2$がある理由がわかった。

球状に電場が広がるイメージを持ってください。

またまいりました。よろしくおねがいします!

今度は単位取っていってください。

キャンヴェンディッシュの実験で球がプラスに帯電していて、その中にマイナスの電荷を入れても結果は同じですか。

同じです。内部の電場が0なのです。

わかりやすかったです。

それはよかった。

今日は電磁気学がどんなものかわかった。

え? まだ電磁気学の「で」しかやってないよ。

単位が取れるように、勉強をやりたいと思います。

まずは理解すること。そのためには物理的イメージを身につけ、計算練習をすること。理解できれば、単位は後からついてきます。

クーロン力のところで、電荷間に他の物質をはさむと力が変わるところの理由や、近接作用が電磁気学で厳密に成り立つのかも探求したい。

おお、それはいろいろ面白そうな探求課題です。がんばってください。

マイナスの回りにずっとプラスがない場合(無限遠まで探しても見つからない)電気力線はなくなりますか。

電気力線はどこまでものびていきます。電気力線の密度はどんどん0に近づく。

電球の明るさと共に単位面積にやってくるエネルギーも距離の逆自乗になる。

保存するような流れが3次元の中で広がると、逆自乗則になりますね。

電気力線は+で始まり―で終わるという話で、無限に続くと言ってましたが、力は弱まるのに無限に続くのかと思いました。

力は電場に比例し、電場は電気力線の密度に比例します。つまり、密度は0になっていくことになります。

今日の話で、プラス電荷に帯電した球の中に一つのプラス電荷を入れると、その空間内ではどこでも力がつりあって力を受けないというのに驚いた。アンドロイド使うの楽しかったので、iPhoneでもダウンロードsできるようにしてください!

ダウンロードというより、iPhoneで動くようにプログラム自体を作り変えなきゃいけなかったりするので…。


何かコメントありましたら↓にどうぞ。



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Last-modified: 2018-06-14 (木) 14:06:10 (124d)