電磁気学II2007年度第11回

第６章　電磁誘導
- 6.1 ファラデーの電磁誘導の法則
- 6.2 導線が動く時の電磁誘導のローレンツ力による解釈
  - 6.2.1 仕事をするのはいったい誰か？
学生の感想・コメントから

今日は同僚の與儀先生から実験セットを借りて導線に働く力の実験と、電磁誘導の実験をしてみせた。導線に働く力の実験は、

のようなもので、ハート型の針金がくるくる回るもの。なぜ回るのかは考えてください（磁石の表面は金属なので電流が流れます）。電池もしくは磁石を逆向きにおくと回転方向がひっくり返る。

もう一つは電磁誘導の実験で、棒にリング状のネオジム磁石を通し、落下させたり、手で動かしてみたりする。棒が銅でできている部分を通る時は電磁誘導によって生じた力のために落下速度が落ちる。あるいは手で動かすと、あきらかな抵抗を感じる。アルミの部分に来ると電気抵抗の（銅に比べての）大きさから抵抗が減る。実際に「あ、レンツの法則の通りに妨げる力が働いている」と感じることができる実験装置。與儀先生の考案によるものである。これはなかなか面白い。学生にも好評だった。

第６章　電磁誘導 †

ここまでは静電場、静磁場、つまり時間的に変動しない電磁場だけを相手にして考えてきた。以下では電場や磁場が時間的に変動すると何が起こるかを考えていく。一般に物理において静的な場合と動的な場合というのは全く違う様相を呈す。電場・磁場の場合も、静的な場合は互いの関連は少なかったが、動的な場合ではこの二つが切っても切れぬ関係で結ばれていることがわかる。

ここまでの話（静電場・静磁場の話）をまとめると、以下の表のようになるだろう。

	源	方程式	力の式	ポテンシャル	ポテンシャルの式	関係
電場	電荷	${\rm div}\vec D=\rho$	$\vec F=Q\vec E$	V	$\triangle V=-{1\over\varepsilon_0}\rho$	$\vec E=-\vec\nabla V$
磁場	電流	${\rm rot}\vec H=\vec j$	$\vec F= Q\vec v\times \vec B$	$\vec A$	$\triangle \vec A=-\mu_0\vec j$	$\vec B=\vec\nabla\times\vec A$
		または $=\vec I \ell\times \vec B$

この表を見て、「磁場」が電流という「電荷の移動」によって生み出されていることからしても、変動する電場と変動する磁場が互いに影響し合うであろうことは想像できる*1。

歴史的には、電流が磁場を作ることが発見されてから10年近くが経過した1831年、磁場の時間的変化が電場を発生させること確認されている。それが以下で述べるファラデーによる電磁誘導の研究である*2。

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6.1 ファラデーの電磁誘導の法則 †

ファラデーは「電流が磁場を作る。ではこの逆、磁場が電流を作ることはないのか？」という発想から数々の実験を行った。その結果ファラデーは「磁場があるだけでは電流を作らないが、磁場が時間的に変化すれば電流が流れる」ということを発見する。この現象を「電磁誘導」と呼び、この時流れる電流を「誘導電流」と呼ぶ。

ファラデーの実験によって得た結果はノイマンの手によって電磁誘導の法則としてまとめられている。電磁誘導の法則を説明する前に、「磁束」という量を定義しよう。これは磁束密度に対応するfluxである。

磁束 $\Phi$ の定義磁束密度 $\vec B$ に、それに直交する面積ベクトルをかけて積分したもの、すなわち、

$\Phi=\int_S \vec B\cdot d\vec S$

を磁束と定義する。

ある回路を考えた時、その回路が端となっているような面積を考えて、その面積上で磁束を計算する。これを「回路を貫く磁束」と表現する。同じ回路に対して面積Sの取り方はいろいろあるが、 ${\rm div}\vec B=0$ であるために端(回路)さえ固定しておけば同じ値を与える。

↑クリックするとフルサイズで見ることができます。

電磁誘導の法則は「回路を貫く磁束」を使って、以下のように表現される。

電磁誘導の法則

回路を貫く磁束が時間的に変化すると、磁束の時間微分と同じだけの起電力が発生する。

$V= -{d\Phi\over dt}$

この式のVの符号は、 $\Phi$ の正の方向に対して右ネジの方向に電流を流そうとする時正と定義する。よって、 $\Phi$ が増加している場合には $\Phi$ に対して左ネジの方向に電流を流そうとする方向に発生することになる。

この電位差を「誘導起電力」と呼ぶ*3。

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上の図に示したように、 $\Phi$ が増加すれば $\Phi$ の正の方向とは逆向きの磁場が発生し、逆に $\Phi$ が減少すれば $\Phi$ の正方向と同じ方向の磁場が発生する。こうして、誘導電流による磁場が足されることで、 $\Phi$ の変化が妨げられることになる。

なお、図の上では回路の一カ所に電池が存在しているかのごとく書いたが、実際には回路全体で一つの電池であるとみなさなくてはいけない。あるいは、回路を構成する導線の微小部分一個一個が微小な電池なのである。

この回路を作る導線が一様であり、全体の抵抗値がRならば、この時（右ネジ方向を正として） $-{1\over R}{d\Phi\over dt}$ の電流が流れることになる。ところがこの回路の各部分は抵抗であると同時に電池なのである。

このように円電流が流れている時「電位はどうなっているのだろう？」と疑問に思う人がいるかもしれないが、右の図でわかるように、この回路ではどの部分を取り出しても電磁誘導の起電力による電位の上昇と抵抗による電位の下降が同じだけ起こっていて、どこでも電位差はなくなっている。つまり回路上は等電位であると考えてよい（これは状況の対称性を考えてももっともな話である）*4。

多くの場合誘導電流による磁場は元の磁場の変化を打ち消すには足りず、磁場は変化する（例外は超伝導状態になった物質で回路が作られている時。この場合は磁束の変化がちょうど打ち消され、回路内の磁束は変化できない）。

なお、この「変化を妨げる向きに電流が流れる」というのは磁束密度変化のみならず、他の状況についても言える。例えばコイルに磁石が近づいてくる時、磁石のつくる磁場と逆向きの磁場を作るような誘導電流が流れる。この磁場による力は磁石を遠ざけようとする力（近づくことを妨げようとする力）を作り出す。逆に磁石を離す時は、離すまいとする引力が発生するのである。

また、回路が変形する場合も同様のことが言える。変形する回路に誘導電流が流れた時に回路に働く力は、変形を押しとどめようとする力になるのである。

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以上の現象をまとめて、

レンツの法則

電磁誘導による起電力は、状態の変化を妨げる向きの電流を流そうとする。

と表現する。「状態の変化を妨げる」の中には「磁束変化を打ち消す」はもちろん、「磁石が近づくのを妨げる」「回路の面積が増大するのを妨げる」などが含まれる。

この法則が成立することは、エネルギー保存の観点から納得することもできるだろう。誘導電流が流れない場合と流れる場合を比較した時、電流が流れる場合は誰か（何か）が電流を流すために必要なエネルギーを（仕事として）供給しなくてはいけない。つまりそれだけ、「余計な仕事を増やす」方向に電流が流れるはずなのである。

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一つ注意しておいて欲しいことは、この「起電力が発生する」という現象は、そこに導線による回路があるかないかとは無関係に起こる、ということである。そこに導線があるならば（つまり動くことができる電荷があるならば）、その起電力が電流という現象を起こす。だが、電流が流れない場合でも起電力すなわち電位差はあるのである（導線がつながれていない電池にも起電力はあるのと同じ）。

電磁誘導の法則は二つの物理現象を同時に表現していることに注意しなくてはいけない。というのは「回路を貫く磁束が変化する時」には、二種類あるのである。磁束 $\Phi$ は $\int \vec B\cdot d\vec S$ であるから、磁束は「磁束密度 $\vec B$ が変化する」と「回路の形（面積）が変化する」の２通りの理由で変化することができる（もちろんこの二つが同時に起こることだってある）。

この二つは違う現象なのに、同じ法則で表現されているということは非常に面白い。こうなるのは、この二つの現象に共通の原理がその後ろに隠れているからである。その原理を追求していくとアインシュタインの特殊相対論へとたどり着く。\ISBOOK{}{この詳細については三年前期の「相対論」で勉強して欲しい。}

以下で、この２種の現象それぞれについて分けて考察していこう。

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6.2 導線が動く時の電磁誘導のローレンツ力による解釈 †

この節ではまず「導線が動く」場合の電磁誘導現象が、実は前章で考えたローレンツ力で生み出されていることを確認しよう。

電流が磁場から受ける力を導線内の電子の受けるローレンツ力と解釈することができたように、電磁誘導による起電力も、電子の受けるローレンツ力で解釈することができる。本質的な意味で電荷の受ける力は広義のローレンツ力 $q(\vec E+\vec v\times \vec B)$ で尽きている。電磁気現象で現れる力はすべてこれで解釈できるのである。

上の図の磁場の向きがテキストでは逆になってました（上のが正解）

磁場中で導線（ただし、回路の一部ではなく、ただ導線があるだけの状況を考える）を動かすという思考実験をしてみる。導線の中には電流のキャリア（金属の場合なら自由電子）がある。以下は金属の場合で考えよう。導線を動かすと、導線内の金属イオンも自由電子も動く。動いている電荷には磁場からの力が働く。しかし金属イオンの方は導線全体と同じ動きしかできない（でないと金属が破壊される）。電子の方は金属内部では動くことができるので、金属の中で一方向に偏ることになる（図参照）。

図による説明では磁場の方向、導線の方向、導線の運動方向という３つの方向が互いに垂直である場合について考えたが、そうでない場合では

$V= (\vec v\times\vec B)\cdot\vec \ell$

となる（運動速度 $\vec v$ と磁束密度 $\vec B$ の外積をとって、それと棒の長さと向きを示す $\vec \ell$ との内積をとる）。この式は以下のようにして導出する。

まず、電子に働くローレンツ力は $-e\vec v\times \vec B$ である。この力にと、導体内にできた電場による力 $-e\vec E$ がつりあうので電子が動かないと考える（この時、 $\vec E=-\vec v\times \vec B$ 。一様な電場だと考えればこの電場に棒の端から端までを表す変位ベクトル $\vec \ell$ をかけると棒の両端の電位差が出る。すなわち、

$V=-\vec E \cdot \vec \ell=(\vec v\times\vec B)\cdot\vec\ell$

となる。

こうして考えてみると、動いている導線に発生する誘導起電力というのは、ホール効果による起電力と本質的には違いがない（ホール効果の場合は伝導電流がきっかけであったが、電磁誘導の場合は導線の運動がきっかけなのである）。

今は長さ $\ell$ の棒の場合を考えたが、これが回路の一部を変形するという話だったらどうなるかを考えてみよう。例によって回路を微小部分に分割する。素辺 $d\vec \ell$ で表される素辺が $\vec v$ の速度で動いたとすれば、その部分に発生する微小な起電力は

$dV= (\vec v\times\vec B)\cdot d\vec \ell$

である。ベクトル解析の公式 $(\vec A\times\vec B)\cdot\vec C=(\vec C\times \vec A)\cdot \vec B$ により*5、

$dV= (d\vec \ell\times\vec v)\cdot \vec B$

と書き直すことができる。

$d\vec \ell\times\vec v$ はまさに、 $d\vec \ell$ と $\vec v$ によって作られた微小面積を表すベクトル（大きさは面積を表現し、向きは面積の法線ベクトルを表現する）である。つまり、単位時間当たりの面積増加を表している。

右の図の場合、 $d\vec\ell\times \vec v$ は図の下向きを向く。磁束密度 $\vec B$ と内積を取ると負の値が出るが、それは上から見た時に時計回りの電流を流すということで、レンツの法則を満たしている。

この微小な起電力dVを積分していくことで回路全体の起電力が計算できて、それは $\int d\vec S\cdot \vec B$ の単位時間当たりの増加と等しくなるというわけである。このようにして変形部分に $\vec B\cdot {d\vec S\over dt}$ という電位差が発生することがわかった。

誘導起電力が起こる例として、交流発電機を考えよう。簡単のため、一辺aの正方形回路を考えて、この回路を磁場中で図のように回転させる。

この時、回路を貫く磁束は

$\Phi= Ba^2 \cos\omega t$

と書くことができる（ $\sin\omega t<0$ の時は、回路の表から裏に向かう向きに磁束が貫いている）。この回路に発生する起電力

$V=-{d\Phi\over dt}=Ba^2 \omega \sin\omega t$

となる。これがまさに交流電源による電圧である。発電所ではこの原理で交流電圧を作っている。

図のように回路に抵抗Rが接続されているとすれば、回路に流れる電流は

$I={V\over R}={Ba^2 \omega\over R} \sin \omega t$

である。抵抗で消費される電力は

$IV={B^2a^4\omega^2\over R} \sin^2 \omega t$

となる。

回路を一定角速度で回転させるために必要な仕事を考えよう。導線にはBIaの力が働くが、そのうち回転を妨げる方向の成分は $BIa\sin\omega t$ である。この力に抗する分だけの力を与えないと一定角速度の回転は続かない。

導線に対して行わなくてはいけない単位時間当たりの仕事は（この力の働いている導線が２倍することを忘れずに）、

$BIa \sin\omega t \times {a\omega \over 2}\times 2={B^2a^4 \omega^2\over R}\sin^2 \omega t$

となる*6。これは電力とぴったり一致する（エネルギー保存則がちゃんと成立している）。

この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。

↑

6.2.1 仕事をするのはいったい誰か？ †

ここで、ローレンツ力について説明した時に「ローレンツ力は仕事をしない」と述べたことを思い出し、「あれ、おかしいぞ」と疑問を持つ人がいるかもしれない。この導体棒に抵抗をつなぐと抵抗でジュール熱が発生するし、モーターをつないでおけば、それを通じて仕事をさせることができる*7。誘導起電力の大本であるところのローレンツ力は仕事をしないはずであるのに、ローレンツ力の集合によって作られる誘導起電力による電流が仕事をできるとは、いったいいかなる理由なのであろうか？---という疑問が湧いてももっともなことである。

ここで、6.2節では導体棒に何かをつなぐということを考えておらず、それゆえに電流が流れていなかったことを思い起こそう。もし、適当な抵抗が接続されていて、電流が流れていたとしたらどう違いが現れるであろうか？

この場合、電子の運動は導体棒が動くことによる運動の他に、電流としての運動が加わる。導体棒の運動方向は棒と垂直なので、この方向の速度を $v_\bot$ と書き、電流としての電子の運動の速度を $v_\parallel$ と書くことにする。

電流が流れていない時の磁場からの力は $ev_\bot B$ で導線に平行な方向だが、電流が流れていると、これに加えて $ev_\parallel B$ の大きさで導線に垂直で運動を妨げる向きの力が加わる。電子は導線内は自由に動けるが、導線から外に出ることはできないので、導線の端で止まってしまう。こうしてホール効果の時と同様の現象が起き、導体棒の端が帯電し、その電場による力がちょうど磁場の力の導線に垂直な成分 $ev_\parallel B$ を打ち消すようになった時に導線内の電子は導線に沿って運動するようになる。

電子に仕事をしているのはこの電場による力の方である（やっぱり、磁場は仕事をしてなかった！）。

この電場は、導体中にある正電荷（金属の場合であれば陽イオン）に、電子とは逆（つまり、運動方向と逆向き）の力を及ぼす。導体棒が（6.2節での仮定のように）等速直線運動するとしたら、誰か（何か）が棒に力を加え続けねばならない。電流によってなされる仕事の大本を作り出している（エネルギーを供給している）のは、この「誰か（何か）」なのである。

巨視的に見るならば、磁束密度Bの磁場中の長さ $\ell$ の導線に電流Iが流れていれば（B,Iは互いに直角とする）、その導線には磁場から $BI\ell$ の力が働く。その力を打ち消すだけの力を加えないと、棒は等速直線運動しない。棒が速さvで磁場BともIとも垂直な方向に動いているとすれば、外部から単位時間あたり $BI\ell v$ の仕事を加えられているのである。

この仕事が電力を供給する（運動する導線は電池として働くことに注意せよ）とすれば、

$BI\ell v = IV$

となって、よってエネルギーの収支の観点からも、起電力が $V=B\ell v$ となることを導けるのである。

↑

学生の感想・コメントから †

磁石が通りにくくなるのが実感できて、実験が面白かった（多数）

あれはほんとに実感できますね。

ホール効果による電圧と、Ｂの変化による電圧は本質的に同じものなのでしょうか？

ホール電圧と、Ｓの変化による電圧は本質的に同じ物です。Ｂの変化による方も、相対論的に考えると同じになりますが今の段階では一応別物です。

通常の回路に磁石を近づけると電流に比例した反発力を受けるけど、超伝導の場合だとどれくらいの力が発生するのか？

もちろん超伝導物質による反発力はとても大きくなります。ただし、臨界磁場というのがあって、磁場が強くなりすぎると超伝導状態でなくなってしまうので、無限に強くなれるわけではありません。

ファラデーの実験で、磁場があっても電流が流れない（磁場が変化しないと電流が流れない）というのは不思議だと感じた。

いっけん、不思議ですね。でもエネルギーの点から考えると、一定の磁場からどんどん電流が取り出せたら、エネルギー保存則に反してしまうわけです。

電荷の移動が電流なので、電荷を別の立場から見ていただけなんですね。

最終的にはそういうことになります。そういう意味では、磁場というのは立場を変えると電場になる（逆もあり）ということになるのですが、それは相対論の範囲の話になります。

慣性っていろんなところにあるんですね。

そういうことです。実は電磁場の慣性って、いろんな処に効いているんですよ。

エネルギーは保存している。

物理ってうまくできていますね。

公式とか忘れているのがあった（多数）

大事なところは、身体に刻み込むほどに身につけましょう。

数学ができないファラデーが法則をどんなふうに公式化していったのかが不思議でした。

すごい才能だと思います。図で物理を表現できる人だったのでしょう。

ローレンツ力が働くのは、空間に電場ができていると考えられる、とか。

実はそれはいい線をついてます。でもその話は３年の相対論の授業の中でじっくり話しましょう。

磁石の上においたコイルを横に平行移動したらどうなるんですか？

その時も磁束は減ると考えられるので、それを妨げるように（つまり外部の磁束と同じ方向の磁束を作るように）電流が流れます。

電磁誘導の、ローレンツ力以外のものが何になるのか楽しみだ。

これまでになかった物理法則が出てくることになります。

今日久しぶりに静電場の式を見て、前期あんなに勉強したのにすぐに思い出せなくてショックだった。

私もみなさんに質問したら覚えてない人がいるのに、大きなショックを受けました(;_;)。

ベクトルの計算の公式を全く覚えてませんでした。結構使うもんなんですね。

ベクトルは物理では必須ですから、いろんな公式使いますよ。

電流を流すためには磁場を変化させるしかないんですか？

後は電池のような化学反応を使う方法ですね。

最初にやった実験で、回転が速くなる→遠心力で電子がひっぱられる→電子が速くなる→さらに回転がはやくなる。ということになるのでしょうか？

遠心力は外へ向かう電子は速くしますが、もどってくる電子のじゃまをするので、電流が大きくならないと思います

直流より交流の方がいい理由が気になりました。

後で時間があれば話しますが、交流はトランスという機械を使って電圧を変えることが比較的簡単にできます。そのため、送電する時の効率をあげることができるのです。

超伝導はどのくらい実用化されているんでしょうか？

現象としては簡単に起こせるし、超伝導を使った電磁石などもあります。問題は冷やさないと動かないので効率が悪いということでしょう。

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