0.2.4 磁極の正体

しかし、実は「磁極」などというものは存在しない。磁場を作るのは電流である*1。そして、磁場中に置かれた電流が力を受ける。

電磁石はまさに電流の作る磁石である。永久磁石は一見どこにも電流など流れていないように思えるが、実は原子分子レベルで流れている電流がその磁力の源である*2。「磁極」は実は電流が作っているものなので、磁極どうしに力が働くように見えるわけである。つまり、静電場における「電荷」に対応するものは静磁場では「電流」であると考えるべきなのである*3

EHEB.png

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上の図の右下のは書き方がよくなかった。授業中、その磁石、ひっくり返したら引き合いませんか?という疑問が出た。確かに

endenryu1.png

と考えるとN極が引き合いそうに見える。しかしこれは実は

endenryu2.png

と解釈すべきで、こう考えれば引き合って当然となる。こんなふうにいろいろ図を書いてみて、電流が磁場の源と考えられることを納得するとよい。

立場としては上の図に示したように「電荷と磁極が対応するという立場(電場$\vec E$と磁場$\vec H$が対応するので、E-H対応と呼ばれることが多い)」と「電荷と電流が対応するという立場(こちらはE-B対応と呼ばれる)」の二つがある。ミクロに見ると(少なくとも今現在知られている)磁力はすべて電流に由来すると言ってよいので、E-B対応の方がより本質的だと考えてよいだろう。

そこで、以下では電流の間に働く力を使って「磁場」を定義する方法で考えよう。

ちょっと先走った話をしておくと「電荷→電場」「電流→磁場」という関係がある一方「電荷が動けば電流になる」ということを考えると、「電場が動けば磁場ができる?」ということが起こりえそうである。これについては時間変動する電磁場について考える時(だいぶ先)で考えるし、最終的にはこの考え方は相対性理論に行き着く。

問題をややこしくしているのは、電荷と電荷の間の力である静電気力の場合には電荷に向きがない(プラスマイナスはあるが)が、電流には向きがある、ということである。これに関連して、電場が電荷に力を与える場合、その力の方向は電場の方向と一致する(負電荷なら逆を向くが、方向は同じ)が、電流と磁場の場合は電流の方向とも磁場の方向とも違う方向に力が働くという点が少しややこしい。

もう一つややこしいのは、電場を表現する場には、電場$\vec E$と電束密度$\vec D$があったように、磁場を表現する場には磁場$\vec H$と磁束密度$\vec B$がある*4。電流を主役として磁場を定義する場合、最初に定義されるのは$\vec B$の方である*5

ではまず、磁束密度$\vec B$の定義*6を述べよう。


$\vec B$の定義

試験電流$\vec I$の長さ$d\ell$の微小辺に対して磁場による力 $$d \vec F= d\ell \vec I \times \vec B$$

(磁場と電流の力の式) が働く時、そこには磁束密度$\vec B$の磁場がある。

微小辺に働く力の大きさもやはり微小であるので、ここではその微小な力を$d\vec F$と表現した。$\vec B$の単位であるが、上の式から組み立てるならば、N/A・mとなる。ただし、磁束密度$\vec B$には T(テスラ)という独自の単位が割り振られている。また、磁極の単位であるWbを使って表すとWb/m${}^2$となる。

記号×は外積であり、単なる掛け算ではもちろんない。ベクトル$\vec a$とベクトル$\vec b$の外積$\vec a\times \vec b$は$\vec a$とも$\vec b$とも垂直な方向を向く。


外積の定義
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二つのベクトル$\vec a,\vec b$があって、二つのベクトルのなす角をθとすると、その外積$\vec a\times\vec b$の大きさは $$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta $$ である。つまり、$\vec a$に垂直な成分$|\vec b|\sin\theta$を掛け算する。

この結果は、図に示した平行四辺形の面積となる。

外積の結果はベクトルである。その向きは、$\vec a$から$\vec b$の方向へとネジを回した時、ネジの進む方向を向く。


電荷の定義の場合、試験電荷を一個おけば電場$\vec E$は向きと大きさが全てわかったが、それとは違って、磁場の場合試験電流$\vec I$が1本あるだけでは、$\vec B$が決定できない。$d\ell \vec I$を持ってきて、$d\vec F$を測定したとして、$\vec B$は一つに決まらないのである(具体的には、$\vec B$のうち、$\vec I$と平行な成分が決まらない。そういう成分があったとしても、式(磁場と電流の力の式)には効かないからである)。平行でない試験電流が2本以上あれば、$\vec B$を完全に決定できることになる。

距離r離れて2本の平行電流($I_1$と$I_2$としよう)が走っている時、互いの電流に単位長さあたり${\mu_0 I_1I_2\over 2\pi r}$の引力が働くことが実験的に知られている。μ は透磁率と呼ばれる量で、誘電率と同様にまわりの物質によって決まり、特に真空での値を$\mu_0$と書く。MKSA単位系では$\mu_0={4\pi}\times10^{-7}$ という値であるが、こういうぴったりした数字になるのは、MKSAでは電流の単位[A]をこの式で定義しているからである*7

これらの力をきちんと計算するためにはまず磁場と電流の間にどのような法則が成立するかを数式で表現していかなくてはいけない。次の章からそれを実行しよう。

第1章 静磁場の法則その1---アンペールの法則

前の章では、電場と電荷の相互作用を考えるのと同様に、磁場と電流の相互作用を考えていくことができることを示した。この章では、磁場と電流の相互作用を記述する法則を具体的に数式で表現していこう。そのために、電流が磁場を作っている状況の中でももっともシンプルである、「無限に長い直線電流による磁場」について考えるところから始めよう。

1.1 無限に長い直線電流による磁場

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実際には無限に長い直線電流を作ることはできないが、十分長い導線を設置して実験してその磁場を測定することができる(さらに導線の長さによる実験結果の違いを分析すれば、「無限に長い導線ならどうなるか」を推測することも可能であろう)。そうやって実験することで、次のような結果を得ることができる。


無限に長い直線電流による磁場

真空中に無限に長い直線電流I[A]がある時、その電流から距離r離れた点での磁場は、${I\over 2\pi r}$で、電流と垂直な平面上で、電流からその地点に伸ばした線と垂直な方向で、電流に対して右ネジの方向を向く。


これを円筒座標または極座標を取った時の方位角φ方向の単位ベクトル$\vec e_\phi$を使って表現すれば、 $$ \vec H={I\over 2\pi r}\vec e_\phi$$ である*8。$\vec e_\phi$は各点各点でz軸周りに回転する方向を向く単位ベクトルである。

ところで、静電場の場合の基本法則は

seidenkigaku.png

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のようにまとめられた*9

電荷に対応する「磁荷」は実は存在してない*10ということがわかっているので、${\rm div} \vec B=0$という法則*11\vec B=0$だけが正しい。これについては後で述べる。}が成立する。

一方、磁力線はループすることもあることがわかった。ということは、$\vec H$については${\rm rot} \vec H=0$という法則は成立しないということになる。ではどんな法則が成立するのだろうか?---実験的に得られた式の一つである$\vec H={I\over 2\pi r}\vec e_\phi$から予想をたててみよう(あくまで予想であるから、どんな場合でも予想が正しいかどうか、検証することが必要である)。

2piR.png

rotの意味は「微小な面積を囲む閉曲線にそってベクトル場$\vec A$を線積分した値を単位体積あたりに直したもの」であった。もっと物理的に表現すると「$\vec A$を各点各点で場所に依存して働く力だとみなして、微小な面積を囲む閉曲線にそってその力を受けながら動いた物体がどれだけ仕事をされたかを考え、それを単位面積あたりに直すとそれが${\rm rot} \vec A$である」ということになる。

そこで、磁場を力だとみなしてある面積を一周させた時にどれだけの仕事をするかを考えよう。「みなして」などと言わなくても磁場は単位磁極に働く力と定義されているのだから、単位磁極をある面積を回るように一周させた時に磁場がする仕事を計算して単位面積あたりに直せば、${\rm rot} \vec H$を計算できる。

電流と垂直な面上で電流を中心とする半径rの円の上を、m[Wb]の磁極が運動する場合を考えると、力は一定値$m\times {I\over 2\pi r}$であり、常に運動方向に働くから、距離をかければ仕事が計算できる。すなわち、 $$m\times {I\over 2\pi r}\times 2\pi r=mI$$ となる。ここで半径rに依存しない答が出ていることに注意しよう(遠いところでは磁場が弱くなるが、その分距離が長くなるので、仕事は一定値となる)。

2piR2.png

では次に、図のような経路で動かすとどうなるかを考えてみよう。図のA→Bでは、磁場は $$ m\times {I\over 2\pi r}\times r \Delta \theta = {m\Delta \theta\over 2\pi}$$ の仕事をする。B→Cでは磁場による力と運動方向が垂直なので仕事をしない(これは後のD→Aも同様)。C→Dでは $$ -m\times {I\over 2\pi (r+\Delta r)}\times (r+\Delta r)\Delta \theta = -{m\Delta \theta\over 2\pi}$$ の仕事がされる(これもまた、半径$r+\Delta r$への依存性がなくなったことに注意)。一周分トータルの仕事は0になってしまった。

これから「電流を回るように磁極を動かすと仕事はmIとなる(電流をまわらないで磁極を動かすと仕事は0)」という法則が成り立つことが予想される。今考えた経路だけではなく、一般の経路でもそうだろうか???

一般の経路で考える時には、再び物理の定石である「細かく分けて考える」という手段を使う。つまり、

komakaku.png

のように、任意の図形を既に計算した形の小さな図形の集まりと取るのである。右へ行くほどより細かい分割を考えている。最終的に分割のサイズを無限小とした極限で、任意の図形は上で計算した図形の集合として扱うことができる。

utikesi.png

こうやって細かく分けた時、「後でくっつけることができるのかどうか」という点が重要になるが、今の場合、ループの方向を常に同じになるように(「上から見て反時計回り」とか)決めておけば、となり合う微小ループの接する部分については仕事(線積分)の寄与は常に消え「ループの外側部分」だけが残るのである。

なお、実験により、磁場についても重ね合わせの原理が成立することが確かめられているので、電流が一本でなく複数本ある時も同様の計算が成立すると結論してよい。

1.2 アンペールの法則

以上をまとめると、次のような結論が出る。下の図に書いた、電流の周りを回っていないループ(破線)の場合は、磁場のする仕事はトータルで0となる。一方電流の周りを回るループ(実線)の場合は磁場のする仕事は磁極の大きさ×電流となる。後者の場合、経路を小さく分割していった時に、一個だけ電流の周りを円を描いて回るという経路が含まれていると考えればよい。

ampeloop.png

以上から、


アンペールの法則

電流I[A]の周りを回るように磁極m[Wb]を周回させると、磁場は一周の間にちょうどmI[J]の仕事をする。


という法則(「アンペールの貫流則」と呼ぶこともある)があることが結論される。いろんな電流を使って磁場を測定する実験から、この法則を導き出されたわけである*12

この後これを微分形に直す話になるのだが、それはまた来週。

学生の感想・コメントから

磁極の[Wb]という単位の意味がよくわからない。

今使っている単位系では、電流と電流の間に働く力から電流の大きさの単位をまず決めます(アンペアAがそれで決まる)。次に、電流の作る磁場の公式の係数が簡単になるように、磁場の単位[A/m]が決まります。そして、単位磁場から1Nの力を受ける磁極を1Wbと定義するわけです。

磁石の力の正体が電流だったとは驚きです。磁石がNとSに分けられない理由が原子レベルでNとSがくっついているからだというのにもびっくりした。

なぜ物質が磁石になるのか、という話は、3年で習う量子力学や統計力学も絡んだ、なかなか難しくて面白い問題なのです。

磁場に湧き出しと吸い込みがないというのがよくわかりません。磁場も「場」だと思えばあっていいのでは?

ところが磁力線(正確には磁束線ですが)を書いてやると、どこにも始点も終点もないのです。これは、磁場というのは電流があるとそこを回るように発生するというところから来ています。つまり、磁場は常にループという形で発生するのです。

高校の時、棒磁石を機械にいれるとN極だけになるというのを見せてもらったんですが、どういう原理なんでしょうか?

うーん、それは何かの手品では。ほんとにそんなことができるのなら、ノーベル賞がもらえます。

磁石の内部に円電流があるなんて始めて知った。

もちろん、原子・素粒子レベルのミクロな電流ですよ。

N極だけ、S極だけの磁石が見つかったら、どんな使い途があるんですか?

うーん、使い途は思いつかないけど、むしろ「これまで探しても探してもなかったものが、あったらすごい」ってこととです。

磁極はないとわかったのに、探している人はなぜ探しているんですか?

「我々の知っている物質の中には、磁極がない」とわかったわけです。しかし我々の知識というのは限られているのですから、「我々の知らない、磁極のある物質」がどっかにあるかもしれません。

地球は北極がS極で南極がN極だけど、それが反対になることがあると聞いたんですが本当ですか?

本当です。過去に何度か磁極の反転は起きてます。

電磁気の勉強、プリントを最初から読み直して問題を解くのは効率はいいですか? 効率のいい勉強法を教えてください。

効率のいい勉強というのは人によって違うので一概には言えませんが、まずはテキスト(プリントでも、何か参考書でも)を熟読し、意味をつかんでください。その上でいろいろ問題をやってみるのがいいでしょう。まずは納得するところまで理解することから始めましょう。

$\vec F=d\ell\vec I\times\vec B$とありましたが、$\vec B=\vec F\times d\ell \vec I$とかも存在するのですか?

いいえ。その二つは全然違う式です。第1の式では、IとFが垂直、BとFが垂直です。第2の式ではFとIは垂直とは限りません。

磁石になりやすい物質となりにくい物質があるのはなぜですか?

うーん、その答を今出すのは難しい。原子一個一個が磁石なんですが、まず原子一個一個の磁石の強さが強いほど全体として強い磁石ができそうです。一方、たとえ原子一個が強い磁石でも、同じ方向にならんで強め合ってくれないと強い磁石になれません。どういう物質がそうなるかは、原子を回る電子がどんなふうに配置されるかが絡んできて、なかなか難しいのです。

電場の場合、ポテンシャルはgradで書かれていて、${\rm rot]~{\rm grad}~V=0$なのでrotは0になりました。磁場の場合、rotは0じゃないのですが、磁場のポテンシャルはどのように書かれるのですか?

これについては来週また話しますが、磁場に関して電場と同じような形でポテンシャルは定義できません。しかし、ベクトルポテンシャルという新しい形のポテンシャルを定義することができるのです。

電場はガウスの法則がありましたが、磁場について磁力線の本数に関する法則はないんでしょうか?

「磁極がないから磁力線には始まりも終わりもない」ということとアンペールの法則がガウスの法則の変わりとなります。

相対論や量子力学が話の中で出てくるということは、電磁気だけでは説明できないことがいろいろありそうです。

はいたくさんあります。電磁気学だけでは、この世を説明しきれません。

磁石にくっつかないアルミなどでも電流を通したら磁場が生じるんですか?

生じますよ。電流さえあれば磁場は生じます。

先生は学生時代どれくらい勉強していたんですが。

実は電磁気学Iを落としました。勉強はしてたんですけどね。

電場と磁場が同時に発生することはあるのですか?

電荷が動いている時は電荷+電流があるので、電場と磁場が同時に発生します。

電子が動いて磁場ができるなら、原子核が動いても磁場はできますか。

もちろん。電荷のある物が動けばいつでも磁場はできます。

${\rm rot}\vec H$は状況によっては0ですか?

電流がない状況では、0です。

N極とS極の間に境界線を引くこともできませんか?

どんどん拡大していくと原子一個にNとSがあるのです。原子に線引くわけにはいきませんね。


*1 棒磁石などの磁石が作っている磁場は、原子レベルで流れている電流によって作られていると考える。
*2 スピンと呼ばれる、粒子の自転に対応する“運動”も源の一つである。というより、磁石の磁力のほとんどは、電子のスピンに由来する。スピンは量子力学で理解すべき物理量であって、古典力学的な意味の“運動”ではないので、電荷粒子のスピンを「電流」と呼ぶには語弊がある。しかし電荷のある粒子の持つ角運動量が磁場の源であることには違いない(スピンは角運動量なのである)。このあたりは量子力学を勉強してから考え直して欲しい。
*3 こう考えると、アンペールの疑問に答えることができるのである!
*4 物理現象を表すための言葉である「電場」「磁場」と、物理量であるところの$\vec E,\vec H$を表す言葉としての「電場」「磁場」が同じなのはちょっとややこしい(無用な混乱を招くことがある)。文脈で判断しよう。
*5 磁極を主役として磁場を定義するならば最初に定義されるのは$\vec H$となる。これがこのような形式を「E-H対応」と呼ぶ理由である。このテキストではE-B対応で行くので、まず$\vec B$が定義される。
*6 なお、$\vec B$の方が本質的であるので、$\vec B$のことを単純に「磁場」と呼ぶ本も中にはある。英語では、$\vec B$を「magnetic induction」と呼ぶこともある。
*7 「ぴったりした数字」と言いながら、なんで$4\pi$やら$10^{-7}$やらがつくんだよ?と思うかもしれない。この辺も歴史的事情がいろいろある。
*8 真空中であれば$\vec B={\mu_0 I\over 2\pi r}\vec e_\phi$と書いても同じ。
*9 ${\rm rot}\vec E\neq0$なら電気力線がループする、ということではないことに注意(逆は正しい。ループがあれば${\rm rot}\vec E\neq0$である)。前にも述べたが、電気力線がループしなくても${\rm rot} \vec E\neq0$になる例はある。
*10 もちろん、将来発見されるかもしれない。その時には電磁気の教科書全部に改訂が必要である。
*11 真空中では${\rm div} \vec H=0$と${\rm div} \vec B=0$は同じ式であってどっちを使っても差し支えない。物質中では${\rm div
*12 「アンペールの法則」と言われているが、数式の形でまとめたのはマックスウェルである。

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Last-modified: 2020-05-03 (日) 09:37:09 (25d)