ビオ・サバールの法則の実例の計算をやろう。と言ってもただただ計算するのは退屈だし疲れるので、今日は最初からandroidタブレットを配布して、動く「円電流の積分の図」を眺めながらの授業にした。

androidタブレットで動く「ビオ・サバールの法則」のプログラムのapkファイルは右のアイコンからダウンロードできます。→BiotSavart.apk 

タブレットをお持ちでない方は、java3dによる似たようなプログラムもあります。

円電流の軸上の磁場

半径Rの円形コイルに電流Iが流れている。この時に周りにできる磁束密度を計算しよう。

circle.png

図のように、円の中心が原点であるとして、この点を基点として位置ベクトルを考える。

タブレットでは、

#ref(): File not found: "BS1.png" at page "電磁気学II2012年度第7回"

のような画面で、この積分の様子を見ることができる。右側にあるのが磁場のx成分、y成分、z成分のグラフで、x成分やy成分は対称に±が出てきて積分すると消えることがわかる。

画面は実際には、

#ref(): File not found: "BSparapara.png" at page "電磁気学II2012年度第7回"

のように変化していく。

緑の矢印が微小な電流素片$I\mathrm d\vec x'$であり、灰色の矢印は$\vec x-\vec x'$である。回っているところを見ながら、積分のイメージをつけて欲しい。

まず、比較的計算が簡単な、円の中心軸上を計算してみよう。

$\vec x'$は原点から導線の上のどこか1点へと向かうベクトルである。${\mathrm d}\vec x'$というベクトルは$\vec x'$の変化量を表すベクトルであり、$\vec x'$が円の上を一周するうちに、やはり360度回転する。ここでは磁場を求める場所をz軸上にしたので、$\vec x= z\vec {\bf e}_z$と書くことができる。$\vec x-\vec x'$は図のようなベクトルになり、$I{\mathrm d}\vec x'$から$\vec x-\vec x'$へとネジを回した時にネジの進む向きは図のように斜め上の方向を向く($\vec x-\vec x'$とも、$I{\mathrm d}\vec x'$とも垂直である。

円上を$\vec x'$を積分するうちに、この微小磁場もくるりと一回転することになる。一周積分するうちに対称性から0になると考えられる。

circle2.png

立体的に把握するのは難しいので、断面図で書いたものが上の図である。この図では電流は紙面表から裏へ向かい、$\vec x-\vec x'$と磁場が紙面に収めることができる方向になっている。androidタブレットで同じ状況を表示させてみると、

#ref(): File not found: "BS3.png" at page "電磁気学II2012年度第7回"

となる。

ここで、積分は半径Rの円を一周するように(図の角度φを0から2πまで)行われる。この間、${\mathrm d}\vec x'$は、大きさ$R{\mathrm d}\phi$で、円周方向を向いたベクトルとなる。

androidタブレットで見た「上から見た図」は

#ref(): File not found: "BS2.png" at page "電磁気学II2012年度第7回"

となる。

この場合、${\mathrm d}\vec x'$と$\vec x-\vec x'$は直交しているので、外積${\mathrm d}\vec x'\times(\vec x-\vec x')$の大きさは${\mathrm d}\vec x'$の大きさ$R{\mathrm d}\phi$と$\vec x-\vec x'$の大きさ$\sqrt{R^2+z^2}$の単なる掛け算になる。つまり、微小磁束密度は $$ {\mu_0 I R {\mathrm d}\phi\over 4\pi(R^2+z^2)} $$ である。

三角形の相似を使ってこの磁束密度のz軸方向の成分を考えると、 $$ {R\over\sqrt{R^2+z^2}} {\mu_0IR {\mathrm d}\phi\over 4\pi(R^2+z^2)} $$ となる。 後は積分して、 $$ \int_0^{2\pi} {\mathrm d}\phi{\mu_0I R^2\over 4\pi \left(z^2+R^2\right)^{3/2}} ={\mu_0I R^2\over 2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}} $$ が求めたい磁場である。

r3.png

今出てきた答えは遠方では$z^3$に反比例して弱くなる。基本法則であるビオ・サバールの法則では自乗に逆比例して弱くなるのに、円電流の場合で計算すると三乗に逆比例するのは、今考えている電流がループを描いていて、結果として「左向き電流の作る磁場と右向き電流の作るが打ち消し合う」という形で磁場が弱まるからである。図を見るとわかるように、逆行電流のつくる磁場はz=0付近ではほぼ同じ方向を向いて強め合うが、遠方では逆方向を向いて弱め合う。このために三乗逆比例するという答になるのである。

電荷の場合は距離の自乗に反比例するのに、電流による磁場の場合は3乗に反比例することになるが、これも電荷の作る電場は(同じ方向を向いて)強め合うのに、磁場は電流が逆行することで互いに消し合ってしまうことが効いている。

円電流の軸上以外での磁場

circle3.png

次に、z軸上から離れた場所での磁場を計算してみる。z軸からx軸方向に距離$ x$だけ離れた場所を考えよう。y方向は考えない。問題は軸対称なので、y方向に離れた場合を考えたければ、状況全てを回転してやればよい。座標軸は自分で設定するのだから、今磁場を測定しようとする場所に向かう方向にx軸を設定してやればよい、ということである。

androidタブレットでこの状況を表示させたのが、

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#ref(): File not found: "BS5.png" at page "電磁気学II2012年度第7回"

である。前者の図の方が電流が近いため強い磁場ができ、全体を表示すると、

#ref(): File not found: "BS6.png" at page "電磁気学II2012年度第7回"

のようにz方向より外に広がる磁場ができることがわかる(この時のx成分、y成分、z成分のグラフも↑に出ている)。

計算は面倒にはなるが、やってみよう。まず、図からわかるように、 $$ \vec x=x\vec {\bf e}_x+z\vec {\bf e}_z $$ である。また、$\vec x'$は、原点から角度φの方向にR進むベクトルであるから、 $$ \vec x'=R\cos\phi \vec {\bf e}_x+R\sin\phi \vec {\bf e}_y =R \vec {\bf e}_r $$ である。$\vec {\bf e}_r$は円筒座標でzから遠ざかる距離であるrが増加する方向を向いた単位ベクトルである。

${\mathrm d}\vec x'$はこれを微分したベクトルであり、電流の進む向きを表現している。 $$ {\mathrm d}\vec x'= R{\mathrm d}\phi\left(-\sin\phi\vec {\bf e}_x + \cos\phi \vec {\bf e}_y\right)=R{\mathrm d}\phi\vec {\bf e}_\phi $$ となる。$\vec {\bf e}_\phi$は円筒座標の角度方向を向いた単位ベクトルである。

一方、場所$\vec x'$にいる微少電流素片から磁場を計算したい場所$\vec x$へと向かうベクトルは $$ \vec x-\vec x'=z\vec {\bf e}_z+x\vec {\bf e}_x - R(\cos\phi\vec {\bf e}_x+\sin\phi \vec {\bf e}_y) $$ となり、この式の自分自身の内積をとって、 $$ |\vec x-\vec x'|=\sqrt{z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi} $$ がわかる。

以上を組み合わせて、ビオ・サバールの法則を使って磁場を計算する式は $$ \vec B_{}(\vec x)={\mu_0I\over 4\pi}\int{R{\mathrm d}\phi \vec {\bf e}_\phi \times \left(z\vec {\bf e}_z+x\vec {\bf e}_x - R\vec {\bf e}_\rho\right)\over\left(z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi\right)^{3/2}} $$ となる。

entouzahyou.png

ここで被積分関数の分子に現れている外積を計算しておくと、 $$ \vec {\bf e}_\phi\times\vec {\bf e}_z=\vec {\bf e}_\rho,~~~\vec {\bf e}_\phi\times\vec {\bf e}_\rho=-\vec {\bf e}_z $$ は定義にしたがい図を書いてみればわかる。$\vec {\bf e}_\phi\times\vec {\bf e}_x$は、$\vec {\bf e}_\phi=-\sin\phi\vec {\bf e}_x+\cos\phi\vec {\bf e}_y$であって、$\vec {\bf e}_x\times\vec {\bf e}_x=0,\vec {\bf e}_y\times\vec {\bf e}_x=-\vec {\bf e}_z$を使えば、 $$ \vec {\bf e}_\phi\times\vec {\bf e}_x=-\cos\phi\vec {\bf e}_z $$ となる*1。これで、 $$ \vec B_{}(\vec x)={\mu_0I\over 4\pi}\int{R{\mathrm d}\phi \left(z\vec {\bf e}_r-x\cos\phi\vec {\bf e}_z+R\vec {\bf e}_z\right)\over\left(z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi\right)^{3/2}} $$ を計算すればよいことがわかった。

後は積分をすればいいのだが、実はこの積分はそう簡単ではない。

「簡単ではない」どころか、この積分に対応する関数は、普通の関数では表すことができない。事実上、普通の意味では積分不可能である。つまり、$\int f(x){\mathrm d}x=F(x)$のF(x)(いわゆる原始関数)を普通の関数で表すことはできない。よって数値積分に頼るか、以下でやるように近似する。

たぶん、ここまで「解ける積分」ばかりを見てきたので「積分できない関数」があることにびっくりする人もいるかもしれないが、実は現実的な世界では積分できない関数の方が圧倒的に多い(だって考えてみて欲しい、今やっているのは「円」というある意味もっとも対称性のいい二次元図形なのだ)。物理をまじめにやろうとすると、以下のような「近似」は絶対必要なのだ。

そこで、以下ではRが、z,xに比べて小さいという近似のもとで計算することにする。つまり、この円電流の円の半径が、今測定しようとしている距離に比べて十分小さい場合を考えるわけである。コイルに近いところは考えないことにする。

Rを小さいとして、Rの関数である$f(R)={1 \over \left(z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi\right)^{3\over2}}$を$f(R)=f(0)+R{\partial f\over \partial R}(0)+\cdots$と展開する。この時、$f(0)$の部分を「第0近似」、$R{\partial f\over \partial R}(0)$の部分を「第1近似」と呼ぶ。

どうしてRを小さいとするんですか?

あ、そうだ説明忘れてた。ここで興味があるのは「遠くの方で磁場がどうなっているか」、つまりzやxに比べてRが小さくなるような時です。そうじゃないときはまた別の近似方法を考える必要があります。

${\partial f\over \partial R}$は $$ {\partial\over \partial R}\left({1 \over \left(z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi\right)^{3/2}}\right)=-{3\over 2}{2R-2x\cos \phi \over \left(z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi\right)^{5/2}} $$ であるから、これにR=0を代入すると${3 x \cos\phi\over\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}$となり、 $$ {1 \over \left(z^2 + R^2 + x^2 -2R x\cos\phi\right)^{3/2}}= \underbrace{{\frac {1}{\left({{z}^{2}+{ x}^{2}}\right)^{3\over2}}}}_{=f(0)}+\underbrace{{3 x R \cos\phi\over\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}}_{R{\partial f\over \partial R}(0)}+\cdots $$ と展開できる。

$$ \vec B_{}(\vec x)={\mu_0I\over 4\pi}\int ~R{\mathrm d}\phi \left(z\vec {\bf e}_r-x\cos\phi\vec {\bf e}_z+R\vec {\bf e}_z\right)\left({\frac {1}{\left({{z}^{2}+{ x}^{2}}\right)^{3\over2}}}+{3 x R \cos\phi\over\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}+\cdots\right) $$ となるが、まずRの1次の項を考える。 $$ {\mu_0I\over 4\pi} \int ~R{\mathrm d}\phi \left(z\vec {\bf e}_r-x\cos\phi\vec {\bf e}_z\right){\frac {1}{\left({{z}^{2}+{ x}^{2}}\right)^{3\over2}}} $$ 今、φで積分するのだが、φが変化すると変化する部分は$\vec {\bf e}_r$と$\cos\phi$しかない。一周(たとえば0から2π)積分するということを考えると$\int {\mathrm d}\phi \vec {\bf e}_r$も$\int {\mathrm d}\phi \cos\phi$も0である。よってRの1次の項は積分結果に効かない。

では次に$R^2$の項を計算する。 $$ \begin{array}{rl}&{\mu_0I\over 4\pi}\int ~R{\mathrm d}\phi~ R \vec {\bf e}_z{\frac {1}{\left({{z}^{2}+{ x}^{2}}\right)^{3/2}}}+{\mu_0I\over 4\pi}\int ~R{\mathrm d}\phi \left(z\vec {\bf e}_r-x\cos\phi\vec {\bf e}_z\right)\left({3 x R \cos\phi\over\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}\right)\\=&{\mu_0I R^2 \vec {\bf e}_z\over 4\pi\left({{z}^{2}+{ x}^{2}}\right)^{3/2}}\int {\mathrm d}\phi+{3\mu_0I xR^2\over 4\pi\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}\left(z\int{\mathrm d}\phi \cos\phi \vec {\bf e}_r-x\vec {\bf e}_z\int{\mathrm d}\phi \cos^2\phi\right)\\\end{array} $$ となる(2行目では、積分と関係ない量をどんどん積分の外に出した)。各々の積分は、$\int {\mathrm d}\phi=2\pi,\int {\mathrm d}\phi \cos\phi\vec {\bf e}_r=\pi \vec {\bf e}_x, \int {\mathrm d}\phi \cos^2\phi=\pi$と実行できる*2ので、答は $$ {\mu_0I R^2 \vec {\bf e}_z\over 2\left({{z}^{2}+{ x}^{2}}\right)^{3/2}}+{3\mu_0I xR^2\over 4\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}\left(z\vec {\bf e}_x-x\vec {\bf e}_z\right)={\mu_0I R^2 \vec {\bf e}_z\over 4\left( {z}^{2}+{ x}^{2} \right) ^{{\frac {5}{2}}}}\left(3xz\vec {\bf e}_x+(2z^2-x^2)\vec {\bf e}_z\right) $$

(円電流の磁場:結果)

と求めることができる。じゅうぶん遠方での円電流による磁束密度の式である。

この磁場の式は、実は磁気双極子(つまりは磁石)の作る磁場と、遠方においては一致する(近いところは、「Rが小さい」という近似ができなくなるので計算がたいへん)。

dipole.png

実際には磁極は存在せず、磁気双極子モーメントを作るのは電流であるが、その二つは遠目で見ると差がない。これこそが、磁場の源の正体がなかなかわからなかった原因である。

前に「磁極等という物は存在しない。磁場を作るのは電流である」ということを述べた時、少なからず驚いた人もいたかもしれない。しかしこうして円電流の作る磁場と磁石の作る磁場を見比べてみると、式の上でも(遠くからでは)全く区別のつかないものになってしまった。古い時代の物理学者が磁場の源が何であるのかがわからなかなったのもの仕方ないことかもしれない。

実際、原子の作る磁場はNSの磁極が作っているのか、内部の電流が作っているのか、なんてのは原子に近づいてみないかぎりわからない、ということです。

学生の感想・コメントから

今日はビオ・サバールの具体例をやった。積分は全部できると思っていたけどできないものもあるんだとわかった。

そうなんです。実は教科書などでは「積分できるもの」を選んで載せているのです。

dφはどこの範囲ですか?Rのですか?

φと来たら角度でしょう。円をぐるっと回る角度です。そういうことは授業中に聞かないと。

軸上以外の計算がとても大変でした。

大変ですが、まぁこういう計算もあるんだ、と知っておいてください。

今日はアプリのおかげでイメージしやすかったです。

自分で手を動かしての計算もやってみてね。

授業前半は頭の調子が良かったが、途中から熱(計算しすぎ、考えすぎ)が出てきて頭がぼーーっとしてきた。もしかしたらただの風邪かもしれないが…。

病気には気をつけて。

発表課題終わった!!とつかの間次の発表課題…。がんばります♪

はい、がんばって。

タブレット上等! 計算は死にそうだった。

この程度で死んじゃいけない。

タブレットで動きを見ながら考えることができたのでよくわかることができました。

でも、計算は手を動かしてやっとかなきゃ、ダメですよ。

計算が大変だったけど、イメージがつかめた。

積分計算って何やっているのか、を理解しておいてください。

考えるベクトルが一つ増えるだけでこんなに面倒なんだなと思った。

3次元的に考えなきゃいけないのは、なかなかたいへんですね。

軸上以外での磁場を求める計算がめんどくさいと思いました。先週分と同様、できるようになりたいです。

確かにめんどくさいですが、式を書いてしまえば後は長いだけです。根性出せばできる。

今日は感想思いつきませんでした。ごめんなさい。

さいでっか。

第8章が終わって発表課題が出て、7章の発表が終わったばっかなのに心が折れそうになった。。

大げさだなぁ。さっさと片付ければどうってことないですよ。

授業の内容が難しくなっていくにつれてアンドロイドのありがたみを感じます。

動く図ってのは便利ですよね。

アンドロイドでベクトルがよくわかりました。

えっそこ?「ビオ・サバールが」と言って欲しいところだが。

今日、タブレットで見たシミュレーションは、先生のサイトでも見られますか?

http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrEM/BiotSavart.htmlに同じようなプログラムがあります。java3dがインストールされているパソコンなら見れます。

円形電流がz軸上に作る磁場の計算は思ったより簡単に出たので驚きました。原子の中で陽子の回りを電子が回転しながらそれぞれ自転しているというのは、惑星の運動に似ていると思いました。かぜお大事に!

万有引力と電磁力という違いはありますが、似た感じにはなります。でも原子の方は量子力学なのですよ。

ビオ・サバールの法則の例について学びました。自力で計算が導き出せるように復習します。

ここは丁寧な計算が必要なところです。

難しいので予習します。

やりましょう。

積分できない式っていうのは幾何学的に表せないものですか?

積分の内容は幾何学的なものですよ。答は簡単じゃないけど。

ビオ・サバールの3次元的イメージができたのでよかった。

3次元のイメージはなかなかわかりにくいので、しっかり身につけておきましょう。

先生のtwitter、フォローしてもいいですか?

そりゃ御自由に。

早く風邪治して下さい。見ていて痛々しいです、お大事に。近似のところの疑問が解決されてスッキリしました。

私も早く治したい。近似のところは状況に応じていろんな方法を使います。

ビオ・サバールのアプリで、z=0,x=1.0の電流の上に点を置くと全磁場が表示されませんでしたが、大きすぎて表示できなかったのでしょうか?

やってみましたが、ものすご〜〜く大きい矢印が表示されてます。大きすぎて矢印だとわからない

ビオ・サバールとても複雑ですね。積分できない関数を近似して…ととてもじゃないけど一人でできないです。のどお大事にしてくださいね。

現実的な問題を解く時には「適切な近似」って必要なものなのですよ。

早めに発表課題に取り組んで終わらせようと思った。

ほんとそうしてください。

電流による磁場と磁極による磁場は見た目は同じでも、かなり感覚が違うように感じる。

う〜ん。でも見た目は同じだからなぁ。

距離の2乗や3乗というのはこのぶぶん(図が書いてある)のことでしょうか。

あそこで考えていたのはzです。だってz軸上の話をしてたんだから、距離はzしかありません。

タブレット便利!いろんな角度から見れて、分かりやすかった。

活用してくれて嬉しいです。動かせる図はいいですよね。

計算できない積分は、テーラー展開して近似して解くのですね。先生お大事に。

テーラー展開はこういう時に役立ちます。

円電流の中心軸上の磁場の計算はまだいいが、中心軸からずれたものの計算はとても大変だし、できればあまりやりたくないタイプの計算だと思った。

とはいえ、実際にこの場所の磁場を計算しなきゃいけなくなったら、やるしかないですからねぇ。

ミスなしを求めるのがまちがいな気がします。(←前回ミスは誰にもあります、と言った人)

求めるのは間違いじゃありません。求めても求めてもミスするときにはするものです。だからと言って求めなかったらもっとミスする。

やっぱりベクトルが入ると計算量が多くなるので大変だと思った。

しかし現実は3次元である以上、3次元的問題にも挑戦せざるを得ないのです。

やっぱり「物理」って面白いんだなって今日の授業を受けて思いました。

それはよかった。今日のはどっちかというと「しんどかった」という感想が多かったけど(^_^;)。

通常の方法では解けない積分があることがわかった。

「通常の方法」ってのは結構限定された方法なのです。

タブレットを使うと磁場の向きがわかりやすくてよかった。頭の中でもイメージできるようになりたい。最後の計算をやってみようと思った。フレミングの左手の法則はたまに手がきつい方向をむきますね。

数式とイメージを結びつける訓練をしていくと、計算しながらイメージが浮かぶようになってきます。

先生が風邪を引くとは思いませんでした。お大事に。高校の先生の道を選ばなかった理由などはあるのですか。

私だって風邪ぐらいひきます。高校の先生にならなかったのは「思ってたよりもずっと物理が面白かったから」かな。

アンドロイドを使うことでイメージすることができた。

みんなの分、台数揃えたかいがあった。

今回はとてもわかりやすかったです。風邪引いている中でやってくれてありがとうございます。

ま、仕事ですから。わかりやすくてよかったです。

原子は電流が流れているのか磁石なのかの話が面白かったです。

原子がどうして磁場を発生させるのか、という話は量子力学を出さないと解決できない難問なのです、実は。

積分できない関数は大変ですね。

でも、そんな関数はぞろぞろあるのです。

円電流の軸上からずれただけで磁場を求める積分計算はすごく難しくなるんですね。

世の中簡単にはいかんもんなのです。

公式の打ち消しがないと積分できなくなり近似しなければならない。めんどうくさいですね。もっと簡単な方法があるんですか?

あるならやってます(^_^;)。難しくてもやるしかないから、近似してでもやるのです。


何かコメントありましたら↓にどうぞ。



*1 もちろんこの計算を、図から求めることもできる。
*2 2番目の積分は、まず$\vec {\bf e}_r=\cos\phi\vec {\bf e}_x+\sin\phi\vec {\bf e}_y$と分けておいてそれぞれ積分する。$\int {\mathrm d}\phi \cos\phi \sin\phi=0$である。

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Last-modified: 2012-12-01 (土) 13:28:21 (2145d)