無限に長い直線電流間の力と、アンペアの定義

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無限に長い直線電流が2本ある時、引力を生じることは既に述べた。その大きさを計算してみよう。左の図のように電流$I_1,I_2$が距離rだけ離れて平行に流れている状況を考えよう。

この時、電流$I_1$のいる場所に電流$I_2$が作る磁場の強さは${I_2\over 2\pi r}$であり、磁束密度は${\mu_0 I_2\over 2\pi r}$である。今は電流と磁場は垂直であるから、左の電線のうち長さ$\ell$の部分に働く力は、(電流)×(磁束密度)×(長さ)で計算され、 $$F= I_1 \times {\mu_0 I_2\over 2\pi r}\times \ell = {\mu_0 I_1I_2 \ell \over 2\pi r}$$ となる。

SI単位系では$\mu_0=4\pi\times 10^{-7}{\rm N/A}^2$と決められている(単位がこうなることは、上の式から確認できる)。実は


アンペア[A]の定義

$$F= 2\times 10^{-7}\times {I_1I_2\ell\over r}[{\rm N}]$$


のようにアンペア[A]の単位を決めたのである。2がついている理由は「2本の電線によって作られた力」であることを意味している。また、$10^{-7}$がついているのは、決められた当時の標準的な電流の大きさに合わせたためである*1

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電流素片の間に働く力

この節では、電流素片と電流素片の間に働く力を計算し、それが電荷と電荷に働く力と類似点を持つことを確認しよう。

二つの電流があり、一方は電流密度$\vec j_1$で領域$V_1$を流れているとする。もう片方は電流密度$\vec j_2$で領域$V_2$を流れているとする。この二つの電流の間に働く力を考えるために、まず$\vec j_1$によって$\vec x_2$に作られる磁場を計算すると $$ \begin{array}{rl} \vec B_1(\vec x_2) =& {\mu_0\over 4\pi} \int_{V_1} {\mathrm d}^3 \vec x_1{\vec j_1(\vec x_1)\times (\vec x_2-\vec x_1)\over |\vec x_2-\vec x_1|^3}\\ =& {\mu_0\over 4\pi} \int_{V_1} {\mathrm d}^3 \vec x_1 {\vec j_1(\vec x_1)\times \vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2}\end{array} $$ であり、この磁場によって場所$\vec x_2$にある電流密度$\vec j_2(\vec x_2)$に及ぼされる力は、

$$ \begin{array}{rl}\vec F_{j_1\to j_2}= &\int_{V_2} {\mathrm d}^3\vec x_2 \vec j_2(\vec x_2)\times \vec B_1(\vec x_2)\\= &{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} {\mathrm d}^3\vec x_1\int_{V_2} {\mathrm d}^3\vec x_2 {\vec j_2(\vec x_2)\times \left(\vec j_1(\vec x_1)\times \vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}\right)\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} \\\end{array} $$ と書くことができる。

ここでベクトル解析の公式$\vec A\times(\vec B_{}\times \vec C)=\vec B_{}(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B_{})$から、 $$ \underbrace{\vec j_2(\vec x_2)}_{\vec A}\times \bigl(\underbrace{\vec j_1(\vec x_1)}_{\vec B_{}}\times \underbrace{\vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}}_{\vec C}\bigr)=\underbrace{\vec j_1(\vec x_1)}_{\vec B_{}}\bigl(\underbrace{\vec j_2(\vec x_2)}_{\vec A}\cdot\underbrace{\vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}}_{\vec C}\bigr) -\underbrace{\vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}}_{\vec C}\bigl(\underbrace{\vec j_1(\vec x_1)}_{\vec B_{}}\cdot\underbrace{\vec j_2(\vec x_2)}_{\vec A}\bigr) $$ となる。

第2項は$\vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}$を含んでいる。つまり二つの微小電流をつなぐベクトルの向きを向いており、「電流同志が押し合う(引き合う)」という力に対応している。第1項は電流 $$ \vec j_1(\vec x_1){\mathrm d}^3\vec x_1 $$ の方向を向いている力で、作用・反作用の法則を満たさない。つまり、これは「消えて欲しい」項である。

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ここで我々は「電流素片・電流素片の間の力」と「電荷・電荷の間の力」を比較しようとしているが、電荷と電荷の間の力はもちろん、大きさ同じで逆向きで、一直線上を向く。比較のためには、同じ形に揃えたい。

では、消えて欲しい項が消えたことにして、残りを計算してみよう。 $$ =-{\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} {\mathrm d}^3\vec x_1\int_{V_2} {\mathrm d}^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1)\cdot\vec j_2(\vec x_2){\vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} $$ となる。

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この式は、図で示したように、電荷間の力の式と強い類似性を持っている。

電荷による力と電流による力が逆符号なのは、「同符号の電荷は反発するが、同方向の電流は引き合う」という状況の違いを示している。

では、作用・反作用の法則に反する部分である第1項がちゃんと消えることを確認しよう。第1項の積分の中身はちゃんと書くと

$$ \vec j_1(\vec x_1){\vec j_2(\vec x_2)\cdot \vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2} $$

ここで${{\vec {\bf e}_{\vec x_1\to\vec x_2}\over |\vec x_2-\vec x_1|^2}=-\vec\nabla_2 \left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right)}$を使って

$$ =-\vec j_1(\vec x_1)\vec j_2(\vec x_2)\cdot \vec\nabla_2\left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right) $$

となる。途中で使った式は、点電荷の電場$\vec E_{}={Q\over 4\pi\varepsilon_0r^2}\vec {\bf e}_r$と電位$V={Q\over4\pi\varepsilon_0r}$の関係$\vec E_{}=-\vec\nabla V$を思い出せば、おなじみの式である。$\vec \nabla_2$とは、$\vec x_2$に関する微分で作られたナブラ記号である。

ここで$\vec\nabla_2$を部分積分でひっくりかえす。 $$ {\mu_0\over 4\pi}\int_{V_1} {\mathrm d}^3\vec x_1\int_{V_2} {\mathrm d}^3\vec x_2 \vec j_1(\vec x_1)\vec\nabla\cdot\vec j_2(\vec x_2)\left({1\over|\vec x_2-\vec x_1|}\right) $$ となる。

その表面項はどうなるんですか?

この場合の表面は「宇宙の端」だと思っていいので、そういうところでは$\vec j$も、${1\over|\vec x_2-\vec x_1|}$も0になっていると思っていいです。物理ではこういう部分積分はよくやるけど、表面項の部分はたいてい「宇宙の端の無限に遠いところでの値」になるので、そんなものは効かなくなっている、と思って大丈夫です(ごくまれに、表面項をちゃんと計算しなきゃいけないケースもあるにはありますが)。

電流という流れもまた湧き出しなしの流れであることを思えば*2、${\rm div}\vec j_{}=\vec\nabla\cdot\vec j_{}=0$なのでこの項は0である。

つまり、ビオ・サバールの法則の中には「積分したらどうせ消えることになる成分」が含まれていたことになる。前にも書いたように電荷と違って電流は「微小部分を切り出す」ということは(頭の中ではできても実際には)できないので、微小部分の式の作り方は一通りではないのでない。しかし、積分した結果、すなわち実際に観測される磁場はどのような微小部分の切り出し方をしたかに関係なく、同じになる。

ところで先週の感想で「計算難しい」とか「もうこんな計算したくない」とかいう感想多かったんだけど、実際のところ、まじめに物理やれば計算はもっと大変になる。だって現実的な問題では対称性がなかったりして積分も簡単ではなくなるし、表面項だって落ちないかもしれない。むしろここでやっている計算は「簡単な方」だと思っておいた方がいい。

導線の受ける力と動く電荷の受ける力

電流素片$I{\mathrm d}\vec x$が磁束密度$\vec B_{}$の磁場内において、$I{\mathrm d}\vec x\times \vec B_{}$の力を受ける、ということは既に述べた。

ところで電流とは結局は荷電粒子(たいていの場合電子)の運動である。そこでこの力を荷電粒子一個一個に働く力の和だと考えることにしよう。荷電粒子一個に働く力はどのように表されるであろうか。

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4.3.1 ローレンツ力

今、ある微小体積${\mathrm d} V$の中に電荷密度ρで電荷が存在していて、それらが速度$\vec v$で運動しているとしよう*3。微小体積${\mathrm d} V$内には$\rho {\mathrm d} V$の電気量が存在しているのだから、今考えている荷電粒子の一個の電荷をqとすれば、${\rho {\mathrm d} V\over q}$個の荷電粒子がこの中にいる。電流が流れている方向の微小な長さを示すベクトルを${\mathrm d}\vec x$とし、電流が流れだす部分の微小面積を示すベクトルを${\mathrm d}\vec S$と書く*4と、微小体積${\mathrm d} V$は${\mathrm d}\vec S\cdot {\mathrm d}\vec x$となる(角柱を底面積×高さで計算している)。

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ここで$I{\mathrm d}\vec x$の部分は $$ I {\mathrm d}\vec x = (\vec j_{} \cdot {\mathrm d}\vec S) {\mathrm d}\vec x= \vec j_{} ({\mathrm d}\vec S\cdot {\mathrm d}\vec x) = \rho \vec v {\mathrm d} V $$ と電流密度を通じて荷電粒子の速度を使った式に書き換えることができる。この計算の中で、$\vec j_{}$と${\mathrm d}\vec x$が同じ方向を向いているので、$(\vec j_{} \cdot {\mathrm d}\vec S) {\mathrm d}\vec x= \vec j_{} ({\mathrm d}\vec S\cdot {\mathrm d}\vec x)$となることを使った*5。最後では$\vec j_{}=\rho \vec v$を代入した。

よって力は$\vec F=\rho {\mathrm d} V \vec v\times \vec B_{}$となるので、これを荷電粒子の個数で割れば一個あたりの力が計算できる。すなわち、 $$ {\vec F\over {\rho {\mathrm d} V /q}}= q\vec v\times \vec B_{} $$ である。特に、(外積なので)磁場と運動方向が同じ方向を向くと、力は0になる

この力$q\vec v\times \vec B_{}$は磁場中を運動する電荷の受ける力を表す式である。電場中の電荷が受ける力$q\vec E_{}$と併せて、 $$ \vec F= q\left(\vec E_{}+\vec v\times \vec B_{}\right) $$ を「ローレンツ力」と呼ぶ。

磁場による力$q\vec v\times \vec B$の部分だけを「ローレンツ力」と呼ぶこともあるが、本来は磁場と電場による力両方を合わせたものを指す言葉である。

ローレンツ力のうち、磁場による力$q\vec v\times \vec B$には、

  • 速度$\vec v$に垂直→だから、仕事をしない(運動方向と垂直だから!)。
  • 磁場$\vec B$に垂直→だから、磁場と同じ方向には力がかからない。

という面白い性質がある。このため、運動エネルギーは磁場による力では変化しない。

ローレンツ力を受けた荷電粒子の運動

荷電粒子が一様な外部磁場によるローレンツ力だけを受けて運動するとき、どんな軌道を描くかを考えよう。まず働く力は常に磁場に垂直であるから、この粒子の磁場に平行な方向の運動にはまったく磁場の影響は表れない。したがって(重力などのそれ以外の力が働かない限り)、磁場に平行な方向には荷電粒子は等速運動する。

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では磁場に垂直な方向はどうかというと、常に運動方向に垂直な力を受け続ける。上で述べたように磁場は仕事をしないので、粒子の運動エネルギーは増えることも減ることもないまま、運動方向を変えつづける。このような運動は等速円運動である。半径rで等速円運動するとして、その運動方程式を書けば、 $$ m{v^2\over r}= qvB $$ である。これから、 $$ \omega={v\over r}={qB\over m} $$ という式を作ることができる。すなわち角速度ωは(粒子がどんな大きさの円を描くかとは関係なく)一定値をとる。またこの式は $$ mv=qBr $$ とも書ける。すなわち、円運動の半径を見ればその粒子の運動量を決定できるわけである。

この時、この円運動の周期を計算すると、 $$ T={2\pi r\over v}={2\pi m\over qB} $$ となり、半径rによらず一定となる。

こうして、磁場中の荷電粒子は円運動もしくは、磁場と垂直な面内を円運動しつつ、磁場の方向に並進していくような螺旋運動をすることになる。螺旋運動の「円」が見えないほどに遠くから見ると、荷電粒子は磁場の方向にしか動けないように見える。つまり、磁場を使って荷電粒子の運動を制御することができる。

この磁場の面白い性質は、自然現象でも現れる。オーロラが北極と南極でしか見ることができないのはこの磁場の性質のためである。太陽から荷電粒子が地球に降り注いでいるのだが、地球にやってきた荷電粒子は地球磁場によって方向を変えられるため、(大きい目で見ると)磁場に沿った方向への動きしかできなくなる。ゆえに、地球磁場が上下方向を向く極地でのみ地球にたどり着くことができるのである*6。極地上空で大気圏に進入し空気で減速された時に、荷電粒子がそのエネルギーを放出して発する光がオーロラである。

学生の感想・コメントから

ひとつあたり$\vec F=q\vec v\times\vec B$というのを出して、それに$\vec F=q\vec E$と合わせて$\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$としたのをローレンツ力となると説明してましたが、$\vec F=q\vec E$を合わせないといけないのがなぜかわかりません。

電場も磁場もある時の、より一般的な話しにするためです。

分かりやすかったです。

それはよかった。

今日は計算があまり難しくはなかったが、やっていることは理解しにくかった。

う〜ん。電流と電流の式を出したかったのだけど。

電荷とともにくるくるまwるような愉快な生活を送りたい。

電荷がまわっているから愉快かどうかは定かではないが…。

電荷に一定の磁場をかけたとき、回転半径によらず周期が一定となることがすごいと思った。

運動方程式が周期が定数になる形にうまくなっているのです。

オーロラの仕組みを知れてよかった。いつか見たいです。

見たいですね。

今日の計算も難しかったがわかってきた。

それはよかった。

今日の前半は前回と似たような計算をした。うまく消える部分を部分積分などを使って自分で計算しても消せるようにしたい。

これからも使う計算方法です。使えるようになっておきましょう。

難しい外積の計算も項を消していくと計算することができた。最初全然なにやっているかわからなかったけどだんだんわかってきた。

じっくりと、理解深めていってください。

計算の時に$\vec E=-{\rm grad}V$を使ったり先週やった部分積分をつかったりと、物理の計算方法をたくさん学べた。練習して定着できるようにしたい。

いろいろと、大事な方法を使ってます。

前野先生の授業は電磁気学だけじゃなくて、他の物理全般に役立つ話が盛りだくさんで、とてもためになります。

物理はつながっているので、電磁気の話は電磁気だけでは終わらないのです。

加速器において周期が一定であるということが非常に興味深かった。

実は相対論的に計算すると一定でなくなる、という話しもあります。

法則を理解してイメージできるように勉強していきたい。

法則と現象を結びつけてイメージできるようになりましょう。

磁場の回りに電流ができる意味がわかりました。

ん?今日はそういう話あったっけ。

ローレンツ力の公式の$\vec F=q(\vec E+\vec v\times \vec B)$が$\vec F=Id\vec x\times\vec B$より正しいということが知れてよかった。

「より」? 一応その二つは別の状況の式なので、「より」というよりはそれぞれの状況においてどっちも正しいのだけれど。

まだ簡単な方の計算を理解できるようがんばります。

そして、どんどん難しい計算もできるようになりましょう。

よくわかりやすかったです。

OK!

「作用・反作用が成り立つよう、消える項がある」「うまくできているな!!」と感心しました。

物理はほんとにうまくできてます。

オーロラとか自然現象と物理がつながって、「おお、そうだったのか!!」となりました。今日の計算も復習頑張って計算もっと慣れたいと思います。

自然現象の全てに、物理があります。

オーロラは自然現象でたまたま見れると思っていたけど、これにも電荷などが関係していると知って、とてもびっくりして、やっぱり物理すごいと思った。

もちろん、物理はどんなところにも使える、すごいものです。

計算がスムーズにできるように、自分で何度も復習しようと思った。

何度でもやってみましょう。

理解出来ました。

それはよかった。

加速器などはサイクロトロン運動も関係しているんですか。

加速器にもいろんなのがあります。サイクロトロンと呼ばれる加速器は、今日説明した原理です。

ローレンツ力のらせん運動の説明が詳しく聞けてよかったです。

いろんなところに応用されている話です。

アンペアの定義の話しはわかりやすかったです。ローレンツ力で仕事が0であるからエネルギー保存ということが自分でも気づけたので楽しく学べました

物理法則がうまく使えていると、楽しいですね。

勉強しているものがつながってくると面白いです。

物理全部をつなげて勉強していきましょう。

集中できなかった。

しっかりしよう。

もっと勉強していきたい。

もちろん、どんどん勉強しよう。

オーロラが北極や南極で見られる理由がわかってうれしかった。

電磁気は世界のあらゆる現象に関係してます。

高校で勉強したものが詳しくなった感じがして、とても理解できたと思う。

もっともっと詳しくなっていきます。世界の深さには限りがない。

先週、今週とやってきた計算が楽な方というのはショックですね。物理屋ってすごいですね。

他人ごとじゃなく、あなたも「すごい物理屋」になってください。

ビオ・サバールによって$H={I\over2\pi r}$の意味がよくわかった。

ん?今日の話しでそこがわかる所あったっけ。

地球でオーロラが見える原理は面白かった。前回コメントがなかったので落ち込んだ。

ごめん貼り付け忘れたみたい。

外積と部分積分をマスターしようと思う。

しましょう。今後もよく使います。

高校の時に、ローレンツ力はqvBと習っていたことを思い出し、正確ではなかったんだと思いました。

qEの方もいれておいてあげてください。

もう少し練習を重ねたい。

どんどん、重ねましょう。

難しい計算だと思っていたのが優しい方だと聞いて驚いた。何回も解いて、応用問題とかも解けるようにしたい。

何回でもやってみましょう。

とてもよくわかりました。

それはよかった。

今後、今回よりも難しい計算に出会うかもしれないので、今回のような計算には慣れていきたい。

難しいのも、慣れていけば簡単に思えます。

オーロラも物理で説明できるのが、あたりまえかもしれないけど、すごいと思った。

あたりまえだけど、物理はすごいんです。

電磁気の世界でも作用・反作用の話しが出てくるとは予想もしてなかった。オーロラのできる性質がわかって楽しかった!見に行きたくなった!らせん運動から生まれるオーロラ!!

力学も電磁気も、物理はつながってます。そしてこの世の現象は全部物理で決まるのです。

今日やったようなものをしっかり理解するためにも演習をしていきたいと思います。

演習して、理解できるようになりましょう。


何かコメントありましたら↓にどうぞ。

  • アンペアの定義は「F=2E-7=I_1*I_2*l/r (l,r=1m)となるように定めた」としたほうがよいのではないでしょうか。現状では定義が何を言っているのかよくわからないと思います。 -- 2013-11-22 (金) 22:11:52
  • 2E-7の後ろの=は*だと思いますが、l,r=1mというふうに指定するなら、「l=r=1mにしたとき、$F=2\times {10}^{-7} I_1I_2$」などのように開いた方が判り易いかもしれませんね。あるいは、さらに「両方の電流が1Aでr=l=1mの時、力Fが$2\times10^{-7}$N」とか。 -- 前野? 2013-11-22 (金) 22:24:28
  • 素人です。先生の本で電磁気学を勉強してます。電磁気学のp123の表面項に関する説明がいまいちわかりません。もちろん理解が十分でないからだと思いますので、教えていただけると嬉しく思います。rは電荷間の距離だったはずです。原点から、無限先に壁があるとしてそこにも一定の密度で電荷が散らばっているはずです。ならば、そこで電荷相互のエネルギーみたいなものを足し合わせていくのなら、それがゼロであるとは言えないのではないでしょうか。 -- 物理の素人? 2018-04-20 (金) 01:18:28
  • p123ってのは「よくわかる電磁気学」という本のですか?だとするとrってのは何のことかな?? -- 前野? 2018-04-20 (金) 07:32:50
  • 「よくわかる電磁学」のp123のことなら、状況としては「今実験している着目点には電荷があるけど、他の場所にはない(無限遠にはもちろんない)という場合」を考えてます。ですから「一定の密度で電荷が散らばっているはず」という状況じゃないと思って考えてください。 -- 前野? 2018-04-20 (金) 07:34:33
  • ありがとうございます。まさかちゃんをもらえるとは思って忌まさんでした。 -- 物理の素人? 2018-04-22 (日) 15:57:34
  • ありがとうございます。まさかお返事いただけると思っていませんでした。原点付近に電荷をおいておいて、それと他の電荷の距離みたいな感じで、とらえていたのですが、それは違いますか。そう考えてえてみたのですが、そうなると、遠くの電荷の影響は無視しうると思うですが。 -- 物理の素人? 2018-04-22 (日) 16:02:41
  • 上に書いた通り、「御近所には電荷があるけど遠くにはないよ」という場合を考えてます。 -- 前野? 2018-04-22 (日) 18:17:50
  • 要するにコンデンサーのなかのような場合ですね。分かりました。ありがとうございます。 -- 物理の素人? 2018-04-22 (日) 23:50:56


*1 どうせならこの係数を1にした方がすっきりするような気もするが、昔から使われて、定着してしまっている単位だから仕方がない。こうしないと、1Aの電流は現在の約3000倍になってしまう。
*2 ${\rm div}\vec j\neq0$の時は、その場所の電荷密度が増加したり減少したりする。そうすると静電場・静磁場ではなくなってしまう。
*3 考察を簡単にするために全ての荷電粒子が同じ速度で運動しているとここでは考えるが、実際には一個一個の荷電粒子はさまざまな速度を持ち、その平均が$\vec v$だと考えるべきであろう。
*4 面積ベクトルは、その面積に対する法線の方向を向く。
*5 $\vec j$と${\mathrm d}\vec S$の角度をθとすれば、$(\vec j_{} \cdot {\mathrm d}\vec S) {\mathrm d}\vec x$の大きさも$\vec j_{} ({\mathrm d}\vec S\cdot {\mathrm d}\vec x)$の大きさも、$|\vec j_{}||{\mathrm d}\vec S||{\mathrm d}\vec x|\cos\theta$となる。
*6 ただし、磁束密度が大きくなるところで磁場方向に運動していた粒子が跳ね返されるという現象も起こる。章末演習問題を参照。

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Last-modified: 2018-04-22 (日) 23:50:56 (177d)