熱力学・統計力学のTips

  • 統計のアンサンブルの意味と、それらの使い分け方についての具体的な解説がほしいです。 -- 2007-06-29 (金) 23:46:40
  • 過去の試作があったなら申し訳ありません。以下の計算は正しいでしょうか?∫[χ(ε)P(ε)]dε=χ'∫P(ε)dε、ここで'は平均とします。χ(ε)はエネルギーの任意の関数とします。右辺=χ'∫[d/dε(εP(ε))−εdP/dε]dε、ここで積分範囲は[0,∞]としP(∞)=0という境界条件を加えχ(ε)が任意ということを考えるとP+(χ'/χ)εdP/dε=0これを解いてP=Cexp[−∫[χ/χ'ε]dε]、χ=ε、χ'=kTとおくとP=Cexp[−ε/kT] -- 2013-01-15 (火) 06:46:41
  • いったいそれは何で、何のためにそれを聞きたいんです? -- 前野? 2013-01-15 (火) 07:39:40
  • 愚問を呈し申し訳ありません。自分で検討いたします。申し訳ありませんでした。 -- 2013-01-15 (火) 07:50:20
  • 文章が長いのですが、質問させてください。[カルノーの定理1:カルノーサイクルの熱比は2つの熱浴の温度のみで決まる。Q2/Q1=f(T1,T2)]という定理を証明したあとで、[カルノーの定理2:カルノーサイクルの熱比は2つの熱浴の温度の関数の比の形になる。Q2/Q1=θ(T2)/θ(T1)]という定理を証明するときに、「定理1よりカルノーサイクルの熱比は使用する物質によらないから、例えば古典的理想気体を使って実際に熱比を計算すれば良い。」というのが理解できません。実際に理想気体を使ってカルノーサイクルを動かせる保証がない、さらに言えば理想気体が現実の気体の性質を正しく反映しているという証拠がないから、厳密には定理2の証明にはならない気がすのですが。もしこの証明法が正しいのなら、圧力p、粒子数N、体積V、温度Tをとして、任意の状態方程式F(p,N,V,T)=0を証明に使っても良いということになりませんか? -- こうへい? 2014-02-17 (月) 23:19:58
  • 手元の本を確認してみましたが、理想気体を使うのは書いておられる話のその次の段階、「θ(T)は理想気体の場合はTそのものになる(つまり理想気体を基準に考えればθを温度そのものだと考えてよい)」という部分ではありませんか。カルノーの定理2の「比の形になる」という部分については、理想気体を使わずともカルノーサイクルを連結して動かすという形で示せると思いますが。 -- 前野? 2014-02-17 (月) 23:54:48
  • 山口大学理学部の芦田正巳先生が出版しておられる「熱力学を学ぶ人のために」という本の64ページに該当する記述があります。前野先生のおっしゃっている、カルノーサイクルを連結して動かすこでカルノーの定理2を証明する方法もこの本には書いてあって(62ページ)、その証明は理解できるのですが、64ページに理想気体を使って具体的に熱比を計算しても良いという記述があります(僕が勘違いしているだけで芦田先生の意図とは違う可能性もありますが)。これが証明ではなく、理想気体温度の定義というなら分かるのですが。「熱力学を学ぶ人のために」は芦田先生のホームページでPDF版が無料公開されていて、上記のページ番号はPDF版のものです。 -- こうへい? 2014-02-18 (火) 00:40:24
  • 実は芦田さんの本も見てました。ではこの方法では証明できているかどうか、というのが悩みどころなのだと思います。一つはその前の段階である「どんな物質を使っても証明できる」というところを信用できるか(いやもちろん信用していいんですが)という点が問題なんでしょうが、これは熱力学第2法則が非常に強力な法則なので、こうなってしまうと思うべきだと思います。次に、「理想気体を使ってカルノーサイクルを動かせる保証がない」という点について。そういうことを言うとカルノーサイクルはある理想的状況(最大仕事が実現しているという状況)なので、「現実に動かせないから」と言ったらカルノーサイクルを使った議論全部おじゃんになってしまうと思います(熱力学の議論は(準静的とか)「物事が理想的にうまくいった場合は」という前提つきで行われるものが多いです)。次に理想気体じゃない状態方程式でも証明できるか、と言えばできると思います。ただしデタラメな式でやったのでは、そこに含まれるTというパラメータが絶対温度(熱力学的温度)と一致する保証はなくなります(現実的な状態方程式ならTが絶対温度になるように方程式が調節されている)。 -- 前野? 2014-02-18 (火) 01:00:17
  • 質問に答えていただきありがとうございます。話の流れとしては、「 Дルノーサイクルの熱比は熱浴の温度のみで決まる」⇒「◆Дルノーサイクルの熱比はカルノーサイクルを構成する物質には依存しない」⇒「:理想気体を使ってカルノーサイクルの熱比を計算し、Q2/Q1=θ(T2)/θ(T1)を示せば定理2の証明になる」というものですよね。僕が納得出来ないのは□有の部分です。前野先生のおっしゃるとおり、カルノーサイクルの存在自体が理想的状況なので、理想気体でカルノーサイクルを動かせる保証がないというのが¬(□有)の証拠にはならない(それを言ったらカルノーサイクルの議論自体が成り立たない)というのは確かにその通りだと気づきました。でも、なんというか、僕は□有が全くの誤りと思っているわけではないんですが、理想気体を使った証明と連結カルノーサイクルを使った証明が同じレベル(?)のものとは思えないんです。理想気体の状態方程式は実験事実、または統計力学から導けて、それを使って熱比を計算するとT2/T1になるから、温度の定義に使える、という流れが自然な気がします。□有を認めるならば熱力学の中で理想気体を導入しなければいけませんよね。ところが連結カルノーサイクルを使えば理想気体とは無関係に定理2を証明できるから、熱力学の中に理想気体を持ち込む必要がない。こっちのほうが熱力学として自然な気がするんです。 それからもう一つ。□有を認めたとして、理想気体ではない状態方程式で証明する場合、デタラメな式でやったのでは、そこに含まれるTというパラメータが絶対温度(熱力学的温度)と一致する保証がないというのは分かります。つまりQ2/Q1=T2/T1となる保証はないということでよね。でもQ2/Q1=θ(T2)/θ(T1)となるとも限りませんよね?この場合理想気体でT2/T1となったのは偶然でやっぱり□有はまずい気がすのですが…。 -- こうへい? 2014-02-19 (水) 00:18:08
  • □の流れが「同じレベルのものとは思えない」という感覚には同意します。なんか不思議ですよね。これは実は,涼奮の証明が(あるいはその元である熱力学第∨‖Г)強力だということなんで、そこが言えればかなりすごいことがもう言えている、ということなんだと思います。 -- 前野? 2014-02-19 (水) 23:28:05
  • 確かに「カルノーサイクルの熱比は熱浴の温度のみで決まる」というのは冷静に考えれば驚くべき事実ですね。熱費が熱浴の温度の比にならない状態方程式があったらそれは物理的におかしいということなんでしょうか。熱力学はどうも他の古典物理学とは違って何かモヤモヤします。しかし、このような質問に付き合っていただき有り難うございます。本来は本の著者である芦田先生に聞くべきことなのですが。ネットで大学の先生に直接質問できるなんてとてもいい時代になったと思います。 -- こうへい? 2014-02-20 (木) 21:54:54
  • ボルツマンの原理について質問があります。本題に入る前に記号と条件を整理しておきます。Sはエントロピー、kはボルツマン定数、Wは状態数、Vは容器の体積、mは粒子の質量、hはプランク定数、Eは全エネルギー、Γ(x)はガンマ関数、logは自然対数とします。そして、今 N個の粒子(理想気体)が入った容器(孤立系)を考えます。 -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 18:19:30
  • 本題なのですが、上の条件の時、S=klogW=kNlog{V/h^3・(2πmE)^3/2} - kln -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 18:21:33
  • すみません、上のコメントは無視してください。 本題なのですが、上の条件の時、S=klogW=kNlog{V/h^3・(2πmE)^3/2} - klogΓ(3N/2) + klog(ΔE/E)となりますが、このとき右辺の第3項が無視できる理由がわかりません。 [Nに対して十分無視できる]などの説明を見たこともありますが、しっくりきません。 -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 18:24:45
  • 説明としてはまさに「Nに対して無視できる」に尽きます。第1項はNに比例してますし、第2項はガンマ関数がありますからN log Nに比例します。それに比べて第3講はNが掛かってません。Nは通常アボガドロ数ぐらいの数なので、NやN log Nの掛かっている項に比べて掛かってない項なんて考えてもしかたないほどに小さい項になります。 -- 前野? 2015-10-14 (水) 18:55:38
  • ご回答ありがとうございます。しかし、ΔEが十分小さければ、第3項は−∞に近づいていきます。つまり、ΔEの決め方次第でNに対して無視できるかどうかは変わってきませんか? -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 19:07:35
  • 決め方しだいで、という意味ではそうですが、log(ΔE/E)がアボガドロ数になるとなるとかなりとんでもない数ですよ。 -- 前野? 2015-10-14 (水) 19:10:40
  • あと、Nに比例してくる量ということは示量変数になっているということで、エントロピーの性質としてNが含まれてないような数が出てくるのはちょっと納得しがたい。 -- 前野? 2015-10-14 (水) 19:11:29
  • log(ΔE/E)がアボガドロ数になると・・ -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 19:36:20
  • すみません。上のコメントは無視してください。ΔEをプランク定数のオーダー程だとlog(ΔE/E)はアボガドロ数くらいにはなりませんか? -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 19:37:35
  • 「Nに比例してくる量ということは示量変数になっているということで、エントロピーの性質としてNが含まれてないような数が出てくるのはちょっと納得しがたい」というのは納得できますが、出てきてほしくないから無視するというのはありなんでしょうか。 -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 19:38:44
  • すみません。「ΔEをプランク定数のオーダー程だとlog(ΔE/E)はアボガドロ数くらいにはなりませんか。」という質問ですが、なりませんよね。 -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 19:40:29
  • では、位相空間でΔEはプランク定数hよりも大きいはずなので、Nに対して十分無視できるということでしょうか? -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 19:41:46
  • プランク定数(エネルギー×時間の次元)とΔE(もちろんエネルギーの次元)を比べるのはよくないです。あくまで(ΔE/E)という無次元量の「大きさ」を考えて、これが「eのアボガドロ数乗」より大きいかどうかを考えないと(あ、アボガドロ数じゃあなくて「eのアボガドロ数乗」でないと全体としてNに比例しないことに注意してください。 -- 前野? 2015-10-14 (水) 19:59:38
  • すみません、言葉が足りていませんでした。 ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2015-10-14 (水) 23:49:11
  • デバイ模型で、可能なモードの総数はなぜ3Nと置けるのですか? -- ちゃまろ? 2016-07-01 (金) 22:40:27
  • デバイ模型ではアインシュタイン模型で考慮しなかった、原子間の相関を弾性波という形で書いたのだから、自由度は3Nでないような気がします。 -- ちゃまろ? 2016-07-01 (金) 22:56:12
  • 実際に、周期境界条件から可能なモードをすべて数え上げたのですが、計算間違いでなければ3Nにはなりませんでした。 -- ちゃまろ? 2016-07-01 (金) 22:57:57

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Last-modified: 2017-07-05 (水) 09:35:24 (469d)