量子力学のTips

  • ボーアの原子モデルで水素以外はどうして説明できないのですか? -- 2007-05-06 (日) 00:16:53
  • 水素以外の原子は2個以上の電子があります。2個あるだけでも式がややこしいのに、さらに電子と電子の間にもクーロン反発力が働くので、古典力学的に式を解くことも難しい。 -- 前野? 2007-05-06 (日) 21:38:53
  • 二重スリットの実験で一個の光子を観測するのに使う観測機器はどんなものなのでしょうか? -- 2007-06-15 (金) 17:30:14
  • 現実にそういう実験があるのかというと、たぶんないんじゃないかな。一度に一個しか光子がこないような弱い光で実験して、光子と光子がぶつからないと干渉しないという考えは間違いだ、と示した実験はありますが、それはほんとに弱い光で長時間露光をします。 -- 前野? 2007-06-16 (土) 10:41:27
  • 初歩的な質問で大変に恐縮です。プランク時間、プランク距離はローレンツ変換をかけるとどのようになるのでしょうか?観測可能な最小の距離と時間単位とのことなので、伸びたり縮んだりしては困るような気がします。 -- nob? 2007-06-23 (土) 00:45:55
  • nobさんと同じ質問なのですが、プランク距離まででいろいろな場の紫外発散に対するカットオフを入れた場合に、時空が格子状になり、時空のローレンツ対称性が破れることはないのでしょうか。 -- ロク? 2007-12-19 (水) 03:49:10
  • 破れるかもしれないし、破れないかもしれません(カットオフの入れ方や、理論の作り方によると思う)。普通に格子状にしちゃえば -- 前野? 2007-12-19 (水) 08:59:53
  • 破れちゃいますね(↑の -- 前野? 2007-12-19 (水) 09:00:12
  • 引き続きまして質問です。時空に最小の長さがあることとLorentz violationとは直接の関係はないのでしょうか。例えばストリング理論では10次元ポアンカレ対称性は通常破れていないのですし。 -- ロク? 2007-12-21 (金) 01:30:39
  • ストリング理論などで「最小の長さがある」と言っている人は、不確定性原理のように「ストリングを使ってこれ以上小さい長さは観測できない」という文脈で言ってます。時空を格子状に考えているわけではありません。時空を格子状にしちゃったらローレンツ不変性は確実に破れます。 -- 前野? 2007-12-22 (土) 09:08:38
  • あと、余り詳しくは知りませんが、最小スケールを導入しつつ、ローレンツ不変性を別の不変性に拡張する、という話もいろいろあるようです。 -- 前野? 2007-12-22 (土) 09:09:35
  • ご解答を頂き有難うございます。 -- ロク? 2007-12-23 (日) 00:03:56
  • 量子力学におきまして、ハミルトニアンの色々な描像(シュレディンガー、ハイゼンベルク、相互作用)が出てきますが、場の理論での演算子形式(Operator formalism)とは経路積分形式と状態ベクトルを用いた第二量子化形式との区別として使われている用語なのでしょうか。経路積分は相互作用描像を用いますので、描像と形式toは関係がないでしょうか。 -- ロク? 2007-12-23 (日) 05:23:12
  • 愚問で申し訳ありません。描像と形式は関係ありませんでした。要は演算子形式はハミルトニアンを、経路積分形式はラグランジアンを用いて理論を定式化していると理解してよいのでしょうか。 -- ロク? 2007-12-23 (日) 05:30:29
  • だめです。経路積分だろうが演算子形式だろうが、ハミルトン形式で定義するのがほんとうです。 -- 前野? 2007-12-23 (日) 09:54:13
  • 経路積分はラグランジュ形式で書くこともありますが、 それはあくまで簡便法で、本来はハミルトン形式から書き直していかなくてはいけないものです。 --前野? 2007-12-23 (日) 09:55:16
  • 或る本に∫φ†(r)μφ(r)drとある。演算子の積分とは? -- 石丸ヒサノ? 2009-03-08 (日) 10:32:47
  • φ†(r)、は生成OPでエルミートではない、例えば〈|φ†|〉の形にしなければと思うのですが、 -- 石丸ヒサノ(続)? 2009-03-08 (日) 10:46:46
  • それは量子力学ではなく場の理論の話ですか?>石丸ヒサノさん。場の理論の話だとして、演算子の積分は普通の積分と同様、各点各点の演算子を足していったものです。何を気にしておられるのかがよくわかりません。φ†がエルミートでないとしても、∫φ†(r)μφ(r)drは(μがエルミートなら)全体としてエルミートですが。 -- 前野? 2009-03-08 (日) 21:13:38
  • μは長さrで、エルミートです。行列要素がとびとびですので、Σとの理解でよいでしたら良くわかります。感謝いたします。 -- 石丸ヒサノ? 2009-03-10 (火) 16:42:11
  • 石丸?のこと、ρ=|{φ}〉〈{φ}|、 Tr[|〉〈|A]=〈|A|〉で遷移の計算(積分)をしたかったのでは?。例えば、G=Tr[|φ〉〈φ|D(-)''''''D(+)=〈φ|D(-)’’D(+)|φ〉形とか、つまり状態を指定した形で。                                                         状態を指定して、遷移の計算、積分G=Tr[|{φ}〉〈[|{φ}|D【-】・・D【+】 -- トミ? 2009-03-11 (水) 09:43:22
  • 先生の経路積分のtipsを拝読させていただきました。直接には関係がない質問なのですが、統計力学における分配関数と量子力学における経路積分とが同じ数学的表示を持つことは偶然でしょうか。特に古典統計力学では量子化が一切されていないのに、連続変数の場合に経路積分と同じ形になることによく解らない疑問を感じます。愚問で大変申し訳ありません。 -- ロク? 2010-02-25 (木) 19:53:49
  • 分配関数と経路積分が似ているのは、統計力学ではexp(-βH)を足し、量子力学ではexp(-iHt)を足し上げるからですが、この二つの出所は違います。これが似ていることに、何か意味を感じるかどうか、というのは難しいところです。「方程式の形が似ているからそうなる。そして物理に出てくる方程式のパターンはそんなに多くない」とも言えます。 -- 前野? 2010-03-01 (月) 11:33:39
  • 有難うございました。 -- ロク? 2010-03-01 (月) 19:38:05
  • 前野先生のご解答に関しまして、時間と空間の力学的な自由度が経路積分の段階で、何らかの機構によって完全にreducedされた系では場の量子論は量子統計力学に帰着されたと考えてよいでしょうか。また時間のみが力学的な自由度であるような量子力学では、時間推進演算子はどのような形になるでしょうか。exp(-iH(t)t)をexp(-i∂_t t)としてはいけないでしょうか。(後者の演算子は物理的な意味を持つでしょうか。) -- ロク? 2010-03-03 (水) 20:59:08
  • 先月は,お忙しい中にご解答くださり有難うございました。その後統計力学の虚時間形式や松原Green関数などを勉強していました。しかし何故、温度変数を虚時間と呼ぶのかと何故温度変数を導入したことで計算が難しくなるのかがよく解りませんでした。また、先生がおっしゃられた通り統計力学の分配関数が経路積分の形で書かれているのに、歴史的にシステマティックな計算方法がなかなか見つからなかったことも疑問に思いました。先生からご解説を頂ければ大変有り難いです。 -- ロク? 2010-04-28 (水) 07:12:54
  • 量子力学(2006年)講義録第6回のQ&Aでメールを差し上げた森本です。「分配関数と経路積分が似ているのは、、、」についてですが 森藤正人「量子波のダイナミクス」に、熱積分核とファインマン核が似た方程式に従うというのが理由のような気がします。簡単に僕のブログでまとめてあります。http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/64130680.html -- kafuka? 2011-02-08 (火) 20:13:15
  • ディラックの量子力学を読んでいるのですが<q|p>は0ではなくある関数であるとしています。しかしファインマン流の解釈では<q|p>は運動量pをもつ状態が位置qをもつ状態にいたる振幅であるので不確定性原理より0ではないんですか? -- 匿名希望? 2011-09-18 (日) 21:12:13
  • 「運動量pをもつ状態が位置qをもつ状態にいたる振幅である」からこそ、0じゃないんですよ。不確定原理からすると「運動量が確定した状態」は「座標が全く確定してない状態」なので、その座標がqである場合も含まれているわけです。 -- 前野? 2011-09-19 (月) 00:55:52
  • ご回答ありがとうございました。よくわかりました。 -- 匿名希望? 2011-09-19 (月) 13:34:56
  • 任意の規格化されたベクトル|ψ>は位置の固有状態|x'>の重ね合わせ∫c(x')|x'>dx'=|ψ>と表せることにより<ψ|x|ψ>が位置の平均値であるという意味をもたせることができますがψが時間変化する場合展開係数に時間変数をふくませc(x',t)とすれば位置の平均値は時間変化するのですか? -- 2011-09-26 (月) 21:26:26
  • ↑もちろんその通りで、位置の平均値は時間変化するし、その時間変化の仕方はちゃんと力学の法則に則ったものになります。 -- 前野? 2011-09-27 (火) 00:44:32
  • ハミルトニアンと時間の間にq,pと同様の交換関係を要請するとシュレーディンガー方程式がいとも簡単に導出できるような気がするのですが教科書には載っていませんので誤りでしょうか?そうでしたらなぜでしょうか? -- 2011-09-29 (木) 21:39:56
  • ↑残念ながらそうはいきません。量子力学ではp,qは演算子ですが、時間tは演算子ではなく、状態を表現する数(パラメータ)になってます。ハミルトニアンHも、独立な演算子ではなく、p,qで作られる量ですし。というわけでHとtの交換関係を作ったらシュレーディンガー方程式が出てきた、というわけにはいかないのです。 -- 前野? 2011-09-29 (木) 23:14:18
  • 初歩的な質問ですいません。衝突実験で発射装置から距離lの所に標的を置くとすると装置と標的をむすぶ線に直角な面方向の運動量はほぼゼロでなければ標的に粒子が辿りつけなくなる気がするのですが、そうすると不確定性原理よりその平面上発射粒子はどこにいるかわからなくなりこれまた標的まで辿りつけなくなるんではないんですか? -- 2011-10-03 (月) 12:34:07
  • 初歩的な質問ではありますが、大事な点で、かつこの点を誤解している人は多いと思います。というのは、世の「衝突実験」なるものは実は「ごっつん!」という「衝突」は起こってないのです。有名な衝突というとラザフォード散乱(原子核とアルファ粒子の“衝突”)ですが、あの時原子核とアルファ粒子は一切接触しません。接触しなくとも、互いの間のクーロン力で反発することで、アルファ粒子の軌道が変わる(実は原子核も動くけど、その効果は小さい)のです。クーロン力はピンポイントにではなく広い範囲で働くので、ぴったりそろった軌道でないと何も起こらないということはなく、ちゃんと散乱します。なお、クーロン力以外での散乱も、なんらかの場によって力が伝えられているのは同じなので、一点に来なければダメ、というふうにはなっていません。 -- 前野? 2011-10-03 (月) 15:56:56
  • すみません、まだよくわからないので質問させていただきます。衝突実験では標的も原子なので標的粒子の座標をy,入射粒子の質量をxとすると任意の状態は∫c(x',y',t)|x',y'>dx'dy'と重ね合わせで表せると思うのですがそうすると時刻tで入射粒子と標的がぶつかる振幅も0でなくなり上で今度は不確定性原理と矛盾してしまわないでしょうか? -- 2011-10-04 (火) 21:18:18
  • 「時刻tで入射粒子と標的がぶつかる振幅も0でなく」の時刻tとはいつでしょう。実験開始前ということですか? あるいは実験の途中の任意の時刻? どちらにしろ、もちろんx'=y'になってもc(x',y')は0とは限りません。しかしそれは「そういう確率もある」というだけで「そうなる」と言っているわけではないので、不確定性原理と矛盾したりはしません。 -- 前野? 2011-10-04 (火) 21:29:36
  • すみません、質問が曖昧でした。運動量を速度的なものと解するのならば入射方向に直角な運動量は0にすることはできませんので標的に辿りつくまで軌道、と言っていいのかわかりませんが..は標的からずれてしまいます。それに合わせるように標的も揺らぐのかわかりませんが..そうすると重ね合わせで標的と入射粒子がぶつかる振幅が存在するということと矛盾しはしないだろうか?ということです。そもそもドゥブローイの関係式からも運動量を速度的なものと解すること自体無理ということでしょうか?しかし粒子は実際移動するのだから速度的な演算子はなくてはならない気がするのですが -- 2011-10-04 (火) 22:17:18
  • それはもちろん軌道はずれる、というよりは粒子の存在確率の分布は広がることになります。 -- 前野? 2011-10-04 (火) 23:22:23
  • 量子力学ではどっちの粒子も広がりがあって、かつその広がりはどんどん大きくなるのが普通なので、広がった波動関数と広がった波動関数が「ぶつかる」(実際にはぶつかるんではないというのは上にも書いた通り)わけです。だから粒子が広がることはむしろ「ぶつかりやすく」していることになります。 -- 前野? 2011-10-04 (火) 23:24:42
  • ご回答ありがとうございます。まだ疑問があるのですが粒子の位置や運動量はどうやって測定するのでしょうか?先生も仰られているように粒子同士がぶつかるわけではなく相互作用によって曲げられるだけならば標的の位置を特定することは不可能で位置の測定というものは原理的に不可能ではないでしょうか?また標的はほぼ動かないとすると今度は位置が全くわからなくなりそもそもほぼ動かないということと矛盾してしまわないでしょうか?ということは実験で標的を準備するとはどうやっているのでしょうか?量子的粒子は何処かに置いて準備することはできないんではないでしょうか? -- 2011-10-06 (木) 20:38:24
  • ???「標的の位置を特定することは不可能で位置の測定というものは原理的に不可能」なのはもちろんですよ。ただし、「相互作用によって曲げられるだけなら」という理由付けは違います。たとえばある地点に+eの正電荷がいて、その位置を測りたければ、もう一個正電荷(試験電荷)を持ってきてそれに働くクーロン力を測ればよい。試験電荷の位置と試験電荷に働くクーロン力の大きさを正確に履かれれば、位置が知りたい正電荷の位置は正確にわかります(現実には測定に誤差があるから測定値にも誤差がある)。しかし、不確定性原理により「試験電荷」の位置も不確定だし「試験電荷に働く力」も不確定です(力は運動量の時間変化であり、運動量も不確定なので)。だから、我々の測定値には常に不可避な不確定性(量子力学による)が入っているし、さらに古典的にもある不確定性(外界の影響だとか、測定機械そのものの誤差とか)も入るので、ますます不確定ですが。

ですから、最初の状態からもう不確定性はあります。理想的な実験だから粒子を一点に集められる、というものではありません(最初っからそんなものを期待してはいけないのです)。

  • 前野? 2011-10-07 (金) 11:06:00
  • ファインマン物理学の量子力学では<Em|En>=δmnをEnがEmをとる振幅としています。|En>はエネルギーの確定した理想的(仮想的?)状態なのである瞬間において別のエネルギーEmをとる振幅は0という意味がわかりますがならば任意の状態にたいし<ψ|ψ>は1かあるいはそれに規格化されなければ物理的意味がわかりませんがディラックの量子力学の散乱問題の章で入射粒子と標的をあわせた系を定常状態とみなしそのエネルギー固有状態を|s>とし|s>の長さは無限でなければ駄目だとあります。そうすると直交定理や内積の物理的意味づけがわかりません。長さ無限ということはそれがそれに見い出される確率が無限という意味になってしまい確率解釈が不可能にならないでしょうか? -- 2011-10-07 (金) 21:20:44
  • 散乱問題のような場合、「無限遠から平面波状態の波動関数が入射する」という形に問題設定を行うことが多いので、その場合確かに、波動関数のノルムは1にできません。その場合は$\psi^*\psi$の相対的な大きさで確率を表現します。ほんとうは平面波ではなく波束(wave packet)にして規格化して散乱させればちゃんと全確率1にできますが、それは計算が面倒なのでやらないことが多いようです。 -- 前野? 2011-10-08 (土) 11:33:36
  • しかし∫<s|x><x|s>dxも1にならず、<s|s>が1でない→①内積の物理的意味づけが間違っているor②散乱問題の解き方は間違っている。という命題が成り立たないでしょうか? -- 2011-10-09 (日) 13:55:21
  • 成り立ちません。上で説明したように「散乱問題には別の解き方がある」というだけのことです。どうしても「1に規格化する」ということにこだわりたいのなら、波束を作った計算をやればよいだけのことです。 その計算でも同様の結果が出ることになるので、いわば簡便法として「規格化しないやり方」を使ってます。-- 前野? 2011-10-09 (日) 14:39:59
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 2011-10-09 (日) 15:50:30
  • 時間に依存するシュレーディンガー方程式はハミルトニアンを作用させることと時間微分作用素を作用させた後虚数を掛けることとは等しいという意味だと思いますがこの場合エネルギー固有方程式とは違う問題で時刻tにおけるエネルギー固有状態が求められず、したがって|ψ>=Σcn|En>と展開するための状態|En>がわからないんですがこの場合<ψ|H|ψ>は(|ψ>は時間に依存するシュレーディンガー方程式の解)何を意味するのでしょうか? -- 2011-10-10 (月) 20:49:37
  • うーむ。時間に依存する場合はどうやるか、ということを書いておきます。まず、一般の状態$\big|\Psi(t)\big>$の$t=0$での状態(これは$t=0$を代入したのだから時間によらない)を、$\big|\Psi(0)\big>=\sum c_n \big|\phi_n\big>$のように「定常状態のシュレーディンガー方程式$H\big|\phi_n\big>=\hbar\omega_n\big|\phi_n\big>$の解」である$\big|\phi_n\big>$(これは時間によらない)で展開します。すると一般の状態$\big|\Psi(t)\big>$の、$t=0$でない状態は$\big|\Psi(t)\big>=\sum c_n \big|\phi_n\big>{\mathrm e}^{-{\mathrm i}\omega_n t}$と展開されることになります。 つまりは「まずは定常状態をしっかり解いて、それぞれの時間依存性を付加する」という手順があるわけで、こうやって順を追って計算すれば「状態|En>がわからない」なんて事態にはならないはずですが。-- 前野? 2011-10-10 (月) 21:02:29
  • しかしexpの因子はハミルトニアンに時間が入っていない時変数分離でψのT(t)の部分を求めたものなのではないでしょうか?H(q,p,t)の場合は左辺qのみ右辺tのみとならないのでexpの因子のようにとけないと思うのですが。量子力学の教科書には定常状態の解法が主で時間に依存するものは摂動論でしかみられないようです。 -- 2011-10-10 (月) 21:25:43
  • ああ、「時間に依存する」ってのは「波動関数(あるいは状態)が時間に依存する」という意味でなく、「ハミルトニアンが時間に依存する」という意味だったのですか???(この二つは違う問題です)。「時間に依存する」としか書いてなかったので前者だと思って回答しました。しかし、後者だったらもちろん、そのやり方では解けません。ハミルトニアンのうち時間に依存する部分を摂動にするのが一般的なやり方です。時間に依存するハミルトニアンが摂動なしにちゃんと解けるのはよっぽど幸運な時だけです。 -- 前野? 2011-10-10 (月) 21:37:38
  • はい、自分なりに勉強した限りでは量子力学は物理量の取り得る固有値を求めるのみならず〜の状態にある確率の時間変化、測定の平均値を求める学問だと思いました。しかし定常状態以外ではこれらの繋がりがわからなくなってしまうので...位置の平均値ならあたかも定ベクトルのような|x>をもちい|ψ>=∫c(x,t)|x>dxとすることで<x|ψ(t)>=c(x,t)とボルンの解釈とも合致する気がするのですが、<ψ|H|ψ>の意味だけわかりません。 -- 2011-10-10 (月) 22:09:54
  • $\big<\Psi\big|H\big|\Psi\big>$だって、古典的なハミルトニアンと同じもの(作用すなわち$p\dot q-H$の積分が極値をとるような運動が実現する)と考えればいい量になっているわけですが、「意味」ってのはそれ以上の何を知りたいのでしょう? -- 前野? 2011-10-11 (火) 07:57:40
  • すみません。私の勉強不足でいろいろ間違った質問をしてしまっているのかもしれませんが<ψ|x|ψ>や<ψ|p|ψ>は固有値問題の解|x>や|p>で展開することで平均値とみなせると思うのですが。(そうなるのはxやpの演算子が時間を陽に含まないためですが)<ψ|H(t)|ψ>をエネルギー平均値とみなそうとしてもエネルギーだけ取り得る全てのエネルギーがわからないため平均値とみなせないので<ψ|H(t)|ψ>とは観測とどういう関係にあるのか意味がわからなかったのです。波動関数の時間変化ベクトルの元のψ方向の射影(すなわち振幅)という意味でしょうか?ihbarが掛かるのが気になりますが。 -- 2011-10-11 (火) 20:42:36
  • >教科書には定常状態の解法が主で時間に依存するもの、、、いい教科書があります。清水明「新版 量子論の基礎」ですが、第6章に「時間発展について」数式展開がわかりやすく載っています。これを読めば、誤解を含めて疑問が解ける と思います。 -- kafuka? 2011-10-24 (月) 13:40:25
  • ありがとうございます。さっそく読んでみたいと思います。 -- 2011-10-30 (日) 12:35:24
  • 上に質問した者ですが新版量子論の基礎、読んでみました。恐縮ですが式展開が疑問の残る感が否めません。被積分関数をまた積分で置き換えるという方法ですが、恥ずかしながらリーマン積分の定義しか知らないのですがあのように順次代入していってよいものでしょうか?やはりリーマン積分とは違うものでしょうか? -- 2011-10-30 (日) 15:32:09
  • すみません。上に書いた者ですがもう一度勉強しなおしてみようと思います。お教えいただきありがとうございました。 -- 2011-10-30 (日) 23:44:19
  • p表示の波動関数の講義録はないのしょうか? 無限壁の箱のpが±P0ではないことについて、blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/64936869.html に書きました。ご参考までに。 -- kafuka? 2011-11-25 (金) 01:59:11
  • 「p表示の講義録」をわざわざ作ったりはしていませんが、あちこちでp表示は使っているはずです。リンクしていただいた情報読みました。例の問題については、関数の(xの)定義域のとり方でpのとる値の範囲が変わることはあるので、どっちが正解という問題でもないと思っています。境界条件の関係で運動量演算子がエルミートでなくなるという現象については、「よくわかる量子力学」でもp172に書きました(周期的境界条件における不確定性関係の問題です)。 -- 前野? 2011-11-25 (金) 20:32:30
  • 水素原子の問題で古典ハミルトニアンを球座標で書いてpr=ihd/dr等と置けないのはなぜですか? -- 2012-04-24 (火) 08:12:35
  • まず、$-i\hbar{\partial \over\partial r}$という演算子はエルミートではありません(極座標での空間積分の積分要素はdrdθdφ r^2 sinθなので、${\partial\over\partial r}$は部分積分するとお釣りが出る)から、運動量としては使えません。 -- 前野? 2012-04-25 (水) 08:58:34
  • もうひとつの問題は、古典的運動量は$p_r\vec e_r+p_\theta\vec e_\theta+p_\phi\vec e_\phi$と分解した時、それぞれが交換してくれますが、量子論的な運動量を考えると、$\vec e_r$などは場所に依存する($\vec x$の関数である)ので、運動量と交換しません。ここをちゃんと考慮する必要があります。 -- 前野? 2012-04-25 (水) 09:01:27
  • よくわかりました。ありがとうございました。 -- 2012-04-25 (水) 09:46:55
  • シュレーディンガー方程式はガリレイ変換に対してもローレンツ変換に対しても不変でないと思うのですが非相対論的量子力学では物理法則は観測者によって違って見えるということですか? -- 2012-04-25 (水) 11:07:06
  • いえ、ガリレイ変換した時に同時に波動関数に適切な位相因子をかければ、シュレディンガー方程式を不変に保てます。その掛算で運動量やエネルギーの固有値などは変化しますが、物理法則は不変となります。 -- 前野? 2012-04-25 (水) 19:53:42
  • お忙しい中ご回答いただきありがとうございました。よくわかりました。 -- 2012-04-25 (水) 20:30:08
  • 時間とエネルギーの不確定性原理のΔtは何の時間でしょうか? -- 2012-04-27 (金) 13:25:36
  • 2006年の初等量子力学の講義録・第14回の前の方を読んで下さい。 -- 前野? 2012-04-28 (土) 08:31:05
  • 重なった状態での平均値で後ろの2項は正になりますでしょうか?正になるような重みを取るのでしょうか? -- 2012-04-28 (土) 19:05:31
  • すいませんが何の話でしょう?「後ろの2項」と言われてもどれのことだか。 -- 前野? 2012-04-28 (土) 23:26:15
  • すみません。2006年の初等量子力学の講義録第14回のψ=A1φ1exp(..)+A2φ2exp(")の状態に対し位置xの平均値を考えた時の右辺の後ろ二項(振動項)のことです。 -- 2012-04-29 (日) 14:28:41
  • 振動項なんだからxの期待値は振動しますが、正になるか負になるかはそもそもどのようにx座標を取っているかで違います。正にしなくてはいけないものでもありません。 -- 前野? 2012-04-29 (日) 15:46:29
  • 上に質問した者ですがすみませんでした。正ではなく実数でした。実数になりますでしょうか? -- 2012-04-29 (日) 17:31:33
  • 当然実数になります。複素共役を取ってみれば元に戻ることがわかります。 -- 前野? 2012-04-29 (日) 21:36:46
  • ありがとうございました。 -- 2012-04-29 (日) 21:49:14
  • 初歩的な質問で申し訳ありませんが幅lの無限井戸に閉じ込められた電子の運動量は正確にp=h/lと考えてよろしいでしょうか? -- 2012-04-29 (日) 22:02:08
  • 無限井戸の質問をした者ですが愚問を呈し申し訳ありませんでした。自分で調べて考えてみたいと思います。 -- 2012-04-30 (月) 08:28:42
  • 円周上に閉じ込められた粒子の定常状態では,角運動量固有状態であり,一方角度の揺らぎも0から2パイに限られそうです。不確定性関係はどうなっているのでしょう。 -- 2012-05-23 (水) 11:03:45
  • それについては「よくわかる量子力学」という教科書のp172に書きました。結論だけ言うと、この場合は不確定性関係の適用外です。というのは、不確定性関係はエルミートな演算子の期待値に対して導かれたものですが、この状況でその導出をやっていくと、途中で運動量がエルミートな演算子でなくなってしまう状況があることがわかります。不確定性関係はエルミート性が破れる場合には適用できません。 -- 前野? 2012-05-23 (水) 11:46:57
  • お答えいただきありがとうございます。挙げて頂いた本を早速手配して勉強致します。このような単純な系で不確定性関係が適用できなくなるという話は大変興味深いです。もしよろしければ,ご教示いただきたいのですが,上記の系では,角運動量演算子がエルミートではなくなる状況があるということでしょうか。 -- 2012-05-23 (水) 13:28:16
  • ある演算子がエルミートかどうかというのは、「どんな関数の空間で考えているか」に依存します。角運動量演算子は、周期境界条件を満たす関数に対してはエルミートです。しかし、不確定性関係を出す時にはθと$p_\theta=-\mathrm i\hbar {\partial \over \partial \theta}$との交換関係から出します。周期関数にθをかけると周期関数でなくなってしまうので、「角運動量がエルミート演算子でいられる範囲」を飛び出してしまう、ということです。 -- 前野? 2012-05-24 (木) 00:40:56
  • お忙しいなかありがとうございます。角度と角運動量の交換関係の平均を取るところで問題が生じるのだと理解しました。 -- 2012-05-24 (木) 20:24:19
  • 大変初歩的な質問で申し訳ありません。1次元の問題では粒子は近似的に線上のどこかに存在すると思われますが、それに直角な2方向では、その2軸をy,zとしますとΔy=0,Δz=0となってその2方向の運動量の不確定が無限になりそもそも線上にいられなくなるのではないですか?自然界にはどのような現実の系が1次元問題として扱えるものがあるのでしょうか? -- 2012-06-08 (金) 14:50:21
  • 現実的な1次元は、やはりある程度の幅Δy、Δz(もちろん0ではない)に束縛されている状況を考えていると思いますよ。yz方向の運動を考えなくていいから1次元なのであって、厳密にyz座標を一点に収束させる必要はありません。 -- 前野? 2012-06-09 (土) 00:00:28
  • ありがとうございました。y-ψ面ではψはy=0を中心とするδ関数に近い形でそのyについての2階微分はほぼ0でハミルトニアンのy,zの項が落とせるという理解でよいでしょうか? -- 2012-06-09 (土) 10:09:43
  • というより、yz方向については「井戸型ポテンシャルに束縛された状態」の基底状態にあって、励起状態のエネルギーが非常に高いので、基底状態からは変化できなくなっていて、時間変化がないから無視できる、という考えの方がいいかと思います。 -- 前野? 2012-06-09 (土) 12:31:54
  • わかりました。x方向では観測するまで種々のエネルギーの重ね合わせを考えなければならない、ということでしょうか?定常状態の( -- 2012-06-09 (土) 13:53:58
  • エネルギーを観測するまでは重ねあわせ状態を考えなくてはいけない、のが普通の状態で、y方向とz方向は(ポテンシャルの形により)基底状態だけ考えればいい特殊な状態になっている、と考えればいいかと思います。 -- 前野? 2012-06-11 (月) 01:51:04
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 2012-06-12 (火) 19:53:45
  • 初歩的な質問で恐縮ですが一次元の問題で幅Lに束縛された一粒子は離散固有値の運動量を取ると思うのですがもしそうなら運動量表示では位置演算子は定義できないのですか?または運動量表示を考えることは許されないのでしょうか? -- 2012-09-10 (月) 07:56:02
  • すみません。私の誤りでした。pでの微分演算子でよろしかったようで、愚問失礼致しました。 -- 2012-09-14 (金) 20:31:20
  • 一バカな物理ファンの質問ですいません。真空での非相対論的波動方程式はどうなるのでしょう?m=0,U=0と置いたものでしょうか? -- 2012-09-17 (月) 19:24:48
  • 量子的粒子がポテンシャル壁を反射、透過するという性質を利用して本などの資料を一挙にコピーすることはできませんでしょうか? -- 2012-11-13 (火) 20:26:49
  • 皆目できる気がしません。 -- 前野? 2012-11-14 (水) 00:19:19
  • 2012-11-13の質問の方へ、量子的粒子は電子などの素粒子レベルの話なのでいくら何でもそれはムリです。 -- ghsobo? 2012-11-14 (水) 07:03:30
  • トンデモな質問をしてしまいましてすみませんでした。MRIなど技術をみて素人の生半可な思いつきでした。誠にすみませんでした。 -- 2012-11-14 (水) 14:29:58
  • 空間に振動する媒質があるとすれば電子の運動が統計的であることと一挙に電子を送りこむと干渉縞ができるということが同時に理解できないものでしょうか? -- 2012-11-25 (日) 18:40:32
  • 空間に振動する媒質があるってのがどういう意味だかわからないんですが、一挙に送り込まず一個ずつポチポチと送り込んでも干渉縞ができることは確認されています。 -- 前野? 2012-11-25 (日) 19:01:33
  • はい、媒質が自身と干渉する場所では電子は存在できないとすれば一回一回電子を送りこんだ場合波の打ち消しあう場所以外に電子がポツポツと現れるならば多数回送りこんだ場合も干渉縞ができるということにならないでしょうか? -- 2012-11-25 (日) 19:06:40
  • それは電子とは別に波動関数があって、波動関数の上に電子が乗っているみたいなイメージでしょうか。そのようなイメージで現象をちゃんと予言するためには、その「媒質」が超光速で情報を伝えなくてはいけないことがわかってます。 -- 前野? 2012-11-25 (日) 19:51:28
  • そうですか、、どうしてそのような結論に至るのでしょうか? -- 2012-11-25 (日) 19:58:29
  • EPR相関と言って、波動関数の間に非局所的な相関があることがわかっているからです。 -- 前野? 2012-11-25 (日) 20:16:20
  • わかりました。その論文は一般人でも入手可能でしょうか? -- 2012-11-25 (日) 20:25:16
  • EPR相関で検索すればいくらでも情報もあるし解説書もあると思いますよ。 -- 前野? 2012-11-25 (日) 20:29:07
  • ありがとうございます。さっそく調べてみます。 -- 2012-11-25 (日) 20:32:05
  • 「ベルの不等式」「アスペの実験」あたりも検索されればよいかと。 -- 前野? 2012-11-25 (日) 20:34:35
  • ありがとうございます。名前は知っております。調べてみます。 -- 2012-11-25 (日) 20:57:58
  • 先日質問したものですがEPRの実験から媒質があればそれは超光速で情報を伝えるものでなければならないことはわかりました。初歩的なことかと思いますがEPRの実験でスピンではなく運動量を測定すると一方の運動測定て他方の運動量の不確定が一瞬で0になるんでしょうか? -- 2012-12-05 (水) 07:51:39
  • 正確に言うと、0というのは「理想的な測定」が行われた場合ですね。測定前の全運動量測定がΔPの広がりがあって、一方の運動量測定にΔpの広がりがあると、もう一方の運動量の広がりはΔP+Δpということになります。もちろん測定前よりも(一瞬で)減ります。 -- 前野? 2012-12-05 (水) 08:17:54
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 2012-12-05 (水) 13:52:26
  • シュレーディンガーの猫の実験で箱を開けた時猫が生きていても死んでいても生きていた時と同じだけ二酸化炭素は増加しているんでしょうか? -- 2014-02-08 (土) 13:04:45
  • すいません。先程シュレーディンガーの猫の質問をしたものですが自分のまったくの勘違いでした。すいませんでした。 -- 2014-02-08 (土) 14:54:45
  • 場の量子論に関する先生の資料を読ませていただいております.初学者として大変読みやすく,重宝しております. -- rom? 2014-06-26 (木) 16:24:27
  • 波動方程式の負の領域、正の領域の意味はつまるところなんなのでしょうか? -- 学生? 2014-07-11 (金) 21:57:42
  • 負の領域って、何が負なんでしょう??? -- 前野? 2014-07-11 (金) 22:48:29
  • シュレーディンガーの猫の思考実験でネコを時計に置き換えると -- 2014-09-15 (月) 06:00:41
  • どうなるのでしょうか?時計が壊れてても壊れてなくても同じだけ秒針は動いているのでしょうか? -- 2014-09-15 (月) 06:02:12
  • どうも質問の意味がわからないのですが、「時計が壊れてたら秒針は動かない、壊れてなかったら秒針は動いている(壊れているけど秒針は動いている、みたいな中途半端は壊れ方は無視するとすれば)」というのは量子力学だろうが古典力学だろうが同じで、「壊れている」という言葉の定義からして当然のことです。シュレーディンガーの猫どうこうとは関係のない話しです。 -- 前野? 2014-09-15 (月) 13:20:13
  • シュレーディンガーの猫だって、死んでいれば猫の心臓は動いてない、生きていれば心臓は動いている、というのは量子力学でも古典力学でも同じです。量子力学による目新しい部分は、その二つの状態の重ねあわせを認めるかどうかという点です。 -- 前野? 2014-09-15 (月) 13:21:44
  • ネコが生きていると死んでいるが重なった状態ということでしょうか?箱を開けるまで -- 2014-09-15 (月) 15:21:55
  • 時計の場合壊れていたら箱を開けた瞬間壊れた時刻と壊れているという状態に収縮するということでしょうか? -- 2014-09-15 (月) 15:25:34
  • 時計だって(ありとあらゆる意味で)観測をしないで放置しておいたなら、「壊れている状態と壊れてない状態」の重ねあわせで存在するでしょうね。御質問の「壊れていたら」という前提は意味不明というか、「壊れていたら」という状態なら壊れているのが観測されるのは量子力学だろうが古典力学だろうが当たり前過ぎることです。 -- 前野? 2014-09-15 (月) 17:44:37
  • お答えいただきありがとうございます。箱を開けるまで壊れた状態と壊れていない状態が並行に存在し、開けた途端どちらかに収縮するということでよろしいでしょうか?壊れていた場合、時計の秒針は不確定性原理よりΔt>h/ΔEでしょうか? -- 2014-09-15 (月) 18:06:17
  • すみません。Δtは原子が崩壊するまでの時間間隔、hはプランク定数、ΔEは原子のエネルギー差のつもりです。 -- 2014-09-15 (月) 18:15:18
  • 時計が壊れる確率は、ΔtΔEみたいな単純な式では決まらないと思います。それは壊れる具合によるというか。 -- 前野? 2014-09-15 (月) 18:20:28
  • 原子が崩壊すると確実に壊れる仕組みの時計ではどうでしょう?例えば電池式で原子が崩壊すると液体が電池の電解液と中和するとか、素人考えですいません。 -- 2014-09-15 (月) 18:56:59
  • その場合は単純に、原子の崩壊確率と同じ確率になります。 -- 前野? 2014-09-15 (月) 20:28:11
  • お付き合いいただき感謝します。では崩壊までの時間は観測の度バラつくのでしょうか? -- 2014-09-15 (月) 20:49:41
  • 量子力学的な現象なんだから、当然ばらつきます(でなかったら確率計算する意味がない)。 -- 前野? 2014-09-15 (月) 20:56:51
  • 愚問にお付き合いいただき感激です。ありがとうございました -- 2014-09-15 (月) 22:09:57
  • クラインゴルドンの方程式を出す時にマイナスのエネルギーの解がでてしまう問題と水素原子でエネルギー固有値が負で出てくる話ってどう違う(なぜ水素原子の場合は許容される)のでしょうか?私は水素原子の場合はエネルギーに下限が存在するからエネルギーが負でも許容されると捉えているのですが -- 2015-06-07 (日) 18:22:35
  • そうです。正か負かが問題なのではなく、エネルギーの底(下限)があるかないかが大事です。 -- 前野? 2015-06-07 (日) 18:27:20
  • お答えいただきありがとうございます。私の知る限りで、場の量子論の本では負のエネルギーが出てくることの方を強調しているように感じるのですが、下限が存在しないというのは書くまでもないことだから書いてないということなんでしょうか? -- 2015-06-07 (日) 18:47:45
  • お答えいただきありがとうございます。私の知る限りで、場の量子論の本では負のエネルギーが出てくることの方を強調しているように感じるのですが、下限が存在しないというのは書くまでもないことだから書いてないということなんでしょうか? -- 2015-06-07 (日) 18:50:14
  • お答えいただきありがとうございます。私の知る限りで、場の量子論の本では負のエネルギーが出てくることの方を強調しているように感じるのですが、下限が存在しないというのは書くまでもないことだから書いてないということなんでしょうか? -- 2015-06-07 (日) 18:50:17
  • 連投すいませんなんかおかしなことが起きたみたいです -- 2015-06-07 (日) 18:51:05
  • う〜ん、「底がないのがダメ」と明記してある本もだいぶあると思います。書いてないのは「わかるでしょ」ってことかもしれません。 -- 前野? 2015-06-07 (日) 20:07:56
  • 質問に答えていただきありがとうございます。他の本も見てみます -- 2015-06-07 (日) 23:56:03
  • 縮退のある摂動について質問があります。無摂動時の状態ベクトルの線形結合を考えると なぜ解けるのですか? -- ちゃまろ? 2015-11-01 (日) 17:33:30
  • 無摂動の状態ベクトルの集合が、状態ベクトルとして完全(つまりそのセットでどんな状態でも表させる)だからですね。 -- 前野? 2015-11-01 (日) 23:15:18
  • どんな状態でも表せるから、うまく定数を決めれば(行列式を解けば)、摂動をかけても急激な変化を受けない状態(分母が0にならない状態)を作れるということですか? -- ちゃまろ? 2015-11-02 (月) 00:16:13
  • 行列式を解くとか分母が0とかの意味がわからないのですが、無摂動の状態ベクトルでも全てを持ってくればどんな状態でも表せます。摂動が小さい場合、「元の状態ベクトル」との差は小さいだろうと考えて近似解を出すのが摂動論です。 -- 前野? 2015-11-04 (水) 07:23:16
  • ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2015-11-04 (水) 22:05:21
  • 2つの質問をさせてください。―迷爐里△訐歹阿魏鬚際、固有値・固有ベクトルを求める(永年方程式を解く)というのが出てきます。式で書くならば、Ax=λx(Aは行列、xは固有ベクトル、λは固有値)となりますが、この行列Aがエルミートであることはどのようにして示せるのでしょうか?一次madeエネルギー固有値Eα、Eβ (Eα>Eβ)が解として出てきたとします。このとき、無摂動時のエネルギー固有値E0との大きさを比較すると、必ずEα≧E0≧Eβになるのでしょうか?また、そうならなぜなのでしょうか? -- ちゃまろ? 2015-11-04 (水) 22:34:59
  • •2つの質問をさせてください。―迷爐里△訐歹阿魏鬚際、固有値・固有ベクトルを求める(永年方程式を解く)というのが出てきます。式で書くならば、Ax=λx(Aは行列、xは固有ベクトル、λは固有値)となりますが、この行列Aがエルミートであることはどのようにして示せるのでしょうか?0次と1次を含めたエネルギー固有値Eα、Eβ (Eα>Eβ)が解として出てきたとします。このとき、無摂動時のエネルギー固有値E0との大きさを比較すると、必ずEα≧E0≧Eβになるのでしょうか?また、そうならなぜなのでしょうか? -- ちゃまろ? 2015-11-04 (水) 22:36:12
  • 経路積分について質問させてください。少し長くなりそうなので、文字の説明などは後に回します。質問:「ψ(x_F,t_F)=ψ(x_F,t_(N-1)+ε)=(1/2πℏ)∫dp_(N-1)dx_(N-1) exp(i/ℏ・p_(N-1) (x_F-x_(N-1)))・exp(-i/ℏ・εH(p_(N-1),x_(N-1),t_(N-1)))×ψ(x_(N-1),t(N-1))+ο(ε) ・・・ ,海劉ー阿砲いて、ハミルトニアンHの( )内が(p_(N-1),x_F,t_(N-1))でないのはなぜなのですか? (講談社 基礎物理学シリーズ7 量子力学 p.159)」 条件:時刻t_Iで波動関数ψ(x_I,t_I)が時間発展して、時刻t_Fで波動関数ψ(x_F,t_F)になることを考えます。時間間隔t_F - t_Iを十分細かい時間間隔εでN個に分割します。 N個のステップの内k番目のものをt_k =t_I +kε (k=0,1,・・・,N)とします。 また、シュレディンガー方程式は ψ(x, t+ε)=[1-i/ℏ/] -- ちゃまろ? 2015-12-13 (日) 07:47:40
  • •経路積分について質問させてください。少し長くなりそうなので、文字の説明などは後に回します。質問:「ψ(x_F,t_F)=ψ(x_F,t_(N-1)+ε)=(1/2πℏ)∫dp_(N-1)dx_(N-1) exp(i/ℏ・p_(N-1) (x_F-x_(N-1)))・exp(-i/ℏ・εH(p_(N-1),x_(N-1),t_(N-1)))×ψ(x_(N-1),t(N-1))+ο(ε) ・・・ ,海劉ー阿砲いて、ハミルトニアンHの( )内が(p_(N-1),x_F,t_(N-1))でないのはなぜなのですか? (講談社 基礎物理学シリーズ7 量子力学 p.159)」 条件:時刻t_Iで波動関数ψ(x_I,t_I)が時間発展して、時刻t_Fで波動関数ψ(x_F,t_F)になることを考えます。時間間隔t_F - t_Iを十分細かい時間間隔εでN個に分割します。 N個のステップの内k番目のものをt_k =t_I +kε (k=0,1,・・・,N)とします。 また、シュレディンガー方程式は ψ(x, t+ε)=[1-i/ℏ・εH(-iℏ∂/∂x,x,t)]ψ(x,t)+ο(ε)…△里茲Δ暴颪院▲奸璽螢変換により、△櫓(x, t+ε)=(1/2πℏ)∫dpdx' exp(i/ℏ・p (x-x'))・exp(-i/ℏ・εH(p,x,t))×ψ(x',t)+ο(ε)…となります。そして、ψ(x_F,t_F)=ψ(x_F,t_(N-1)+ε)に式を適用すると、「 」内に書いた積分が得られるそうなのですが、ハミルトニアンHの( )内に違和感があります。 -- ちゃまろ? 2015-12-13 (日) 07:56:44
  • 本来ハミルトニアンの中のxは今分割している時間間隔の中で「いつか」を選びます。選び方は経路積分をどう書くかで決まります(中点を選ぶ場合もある)。つまり、どの時刻のxを選ぶかは、その経路積分の定義の仕方に依存します。しかし、ハミルトニアンの中をx_fにしてしまうと、x_fは積分されない量なので、ちょっとおかしい計算になりそうです。 -- 前野? 2015-12-14 (月) 07:58:53
  • ディラック方程式を満たす波動関数ψについて、連続の式(確率保存則の式)が成立しますが、このとき確率流密度jはベクトルではなくスカラーに成るのですか? -- ちゃまろ? 2016-04-19 (火) 20:19:16
  • 流れという向きのある量がスカラーになるわけないので、ディラック場でもjはベクトルです。 -- 前野? 2016-04-20 (水) 08:49:36
  • Heisenberg描像で instantaneous eigenstate というものは物理的にどういう意味なのでしょうか?ちなみに instantaneous eigenstate =|q,t>=exp(+iHt)|q>です。|q>はqの固有状態。 また、日本語訳はどのようになるのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-05-10 (火) 21:53:07
  • 何を読んでの質問だかわからないので私が思ってるのと違うかもしれませんが(記号の定義もよくわかりませんし)。おそらくはハイゼンベルク表示での演算子q(t)の固有状態という事かと思います(違うかもしれません)。定義はその言葉が出てきた文献を見るのが確実です。訳は知りませんが瞬時固有値とかになるのでしょうか。 -- 前野? 2016-05-11 (水) 03:05:02
  • ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-11 (水) 10:44:20
  • ワイル順序とはどういったものなのか教えていただけませんか? -- ちゃまろ? 2016-05-24 (火) 11:59:13

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Last-modified: 2017-07-05 (水) 09:35:35 (469d)