電磁気学2007年度第8回
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CENTER:←[[第7回へ>電磁気学2007年度第7回]] [[目次に戻る>...
#hr
#contents
***2.4.3 極座標でのdiv [#y6a737be]
直交座標では${\partial V_x\over \partial x}+{\partial V_y...
----
CENTER:これは大間違いだから覚えるな！！
$$ {\rm div} \vec V={\partial V_r\over \partial r}+{\part...
----
などとやってはいけない（そもそもこの式は次元すらあってな...
#ref(bishouV.png)
正しい極座標のdivを求めるために、左図のように微小体積を設...
図の床にあたる部分は面積$r^2 \sin\theta \Delta \theta\Del...
図の天井の部分は、$(r+\Delta r)^2 \sin\theta \Delta\theta...
\phi$という面積を持っていることに注意しよう（つまり、直方...
----
&color(Red){【よくある質問】''$(r+\Delta r)^2$と$r^2$の違...
だめです。なぜなら、今やろうとしている計算は「流れ出しを...
----
以上から、天井から抜け出るfluxは$(r+\Delta r)^2 V(r+\Delt...
よって、天井と床からの湧き出しは、
$$\begin{array}{rl}&(r+\Delta r)^2 V_r(r+\Delta r,\theta,...
となる。
#ref(spV2.png,,75%)
最後に体積$r^2 \sin\theta \Delta r \Delta \theta\Delta \p...
$$ {1\over r^2}{ (r+\Delta r)^2 V_r(r+\Delta r,\theta,\ph...
である。
この答はナイーブな予想の${\partial\over\partial r}V_r$と...
北の壁と南の壁も面積が違う。その違いは$\sin\theta$に比例...
$$\begin{array}{rl}{1\over r^2 \sin\theta\Delta r\Delta \...
となる。
&color(Red){北の壁と南の壁の面積の違いについては、地球儀...
最後に東西については、
$$\begin{array}{rl}{1\over r^2 \sin\theta\Delta r\Delta \...
となる。まとめると、極座標でのdivの式は
----
CENTER:覚えるならこっちを覚えよう！！
$$ {\rm div} \vec V={1\over r^2}{\partial\over \partial ...
RIGHT:(正しい極座標のdiv)&aname(tadasiidivV);
----
である。
----
&color(Red){以下の2.4.4節は授業では話しませんでした。読ん...
***2.4.4 ∇を使った記法に関する注意 [#mc0838b1]
divは、「ナブラ」と呼ばれる記号$\vec \nabla$を使って$ {\r...
直交座標の場合、$\vec\nabla=\vec e_x {\partial \over \par...
$$ \vec\nabla \cdot \vec V=\left(\vec e_x {\partial \over...
となり、これが${\rm div}\vec V$と同じであることがわかる。...
$\vec\nabla$の一般的定義は、任意の方向を向いた単位ベクト...
$$\vec e\cdot \vec \nabla F(\vec x)= \lim_{h\to0}{F(\vec ...
である。つまり、ある任意の方向に距離hだけ移動した時の関数...
#ref(nablaF.png)
そもそも、１次元での微分は
$${d\over dx}F(x)= \lim_{h\to0}{F(x +h)-F(x)\over h}$$
であった。つまり位置座標xをhだけ変化させた時のF(x)の変化...
$$ \vec\nabla F=\vec e_x {\partial F\over \partial x}+\ve...
ということになる。
この式からFを外して書いた物が
----
CENTER:$\vec \nabla$の定義
$$ \vec\nabla =\vec e_x {\partial \over \partial x}+\vec ...
----
である。本来微分記号というのは後ろに何か関数があって意味...
$\vec\nabla$などをつかって、微分をベクトルのように扱う理...
極座標ではどうかというと、$\vec e$がr方向に向いている時す...
$$ \vec e_\theta\cdot \vec\nabla F(r,\theta,\phi)=\lim_{h...
RIGHT:(ナブラのθ成分)&aname(nablatheta);
という計算を行わなくてはいけないのである。
$$ F(r,\theta+{h\over r},\phi) = F(r,\theta,\phi)+{h\over...
のようになることを考えれば、([[ナブラのθ成分>#nablatheta]...
同様に、φ方向に距離h進むとφは${h\over r\sin\theta}$だけ増...
$$ \vec\nabla F=\vec e_r {\partial F\over \partial r}+\ve...
となる。この式から逆に$\vec e_r\cdot\vec\nabla={\partial ...
ここでよくある間違いを指摘しておこう。極座標で表したベク...
----
CENTER:これも間違い！！
$$\begin{array}{rl} \vec \nabla\cdot \vec V =&\left(\vec...
----
とやってしまうことである。なんとなく、上の式は正しそうに...
なお、実際に微分してみると、
$$\begin{array}{rlrlrl} {\partial \over \partial r}\vec e...
RIGHT:(極座標基底ベクトルの微分)&aname(deler);
となる。この公式を使って正しい計算を行うと、
$$ \begin{array}{rl} \vec \nabla\cdot \vec V =&\left(\ve...
となる。これは([[正しい極座標のdiv>#tadasiidivV]])に等し...
このように極座標などの曲線座標を使った$\vec \nabla$の計算...
***2.4.5 極座標のdivを使って電場を求める [#mec526ca]
さて、極座標のdivの便利さを実感しておこう。極座標のdivの...
また逆に、「球対称な電荷分布がある時、電荷の外側ではどん...
$${1\over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\ri...
$${\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\right)=0$$
$$r^2 E_r=C$$
$$E_r={C\over r^2}$$
となって、逆自乗の法則が導けることになる（Cは積分定数であ...
$${1\over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\ri...
$${\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\right)={\rho\o...
$$r^2 E_r={\rho\over 3\varepsilon_0}r^3 + C'$$
$$E_r={\rho\over 3\varepsilon_0}r + {C'\over r^2}$$
となる。ここで積分定数C'は実は0である。なぜなら、そうでな...
----
&color(Red){【よくある質問】''逆自乗則の式$E_r={Q\over 4\...
逆自乗の式はあくまで「電荷の存在しない範囲」で成立した式...
----
積分定数Cの方は、球の表面（r=Rとしよう）で外部の解$E={C\o...
$$ {C\over R^2}={\rho\over 3\varepsilon_0}R \to C={\rh...
となる。一様な電荷分布を仮定したから、${4\pi\over 3}R^3 \...
$$ E={\rho R^3 \over 3\varepsilon_0 r^2}={{4\pi \over 3}\...
というおなじみの形になる。
こうして、一様帯電した球の内部での電場を求めることができ...
もう一度まとめておくと、
----
CENTER:真空中の静電気学の基本方程式
$$ {\rm div} \vec E={\rho\over \varepsilon_0}$$
----
という１本の式で、ここまでの物理法則を表してしまうことが...
この式は物質中では少しだけ変更される。その変更された方程...
**2.5 章末演習問題 [#y1d61ecd]
''[演習問題2-1]''
円筒座標系$(r,\phi,z)$では、divは
----
CENTER:円筒座標のdiv
$$ {\rm div}\vec V= {1\over r}{\partial \over \partial r}...
----
という形を取る。なぜこうなるのか、図解して説明せよ。
''[演習問題2-2]''球対称な電荷分布があり、電場を測定したと...
物理的に許されるnの範囲を考察せよ。
''[演習問題2-3]''$\vec E = x\vec e_x -y \vec e_y $という...
（註：この問題ではz方向は無視して考えよう）
+ どのような電気力線で表される電場か、図を描け。
+ 電気力線の方程式（一本の電気力線の上で成立する方程式）...
+$\vec E = y\vec e_x -x \vec e_y $という電場も${\rm div} ...
''[演習問題2-4]''
#ref(entou2.png)
図のように、一様に帯電した円筒があり、円筒の内径は$r_1$、...
''[演習問題2-5]''([[極座標基底ベクトルの微分>#deler]])を...
ヒント：方法は二つある。
+ 図を描いてベクトルがどう変化するかを考える。
+ 定ベクトルである$\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$を使って表...
$$\begin{array}{rcl} \vec e_r &=& \sin\theta \cos\phi \ve...
である。これを微分する。
#ref(coord.png,,75%)
''[演習問題2-6]''円筒座標に関して、([[極座標基底ベクトル...
&color(Red){&size(20){発表課題です！};２章の演習問題のう...
*第３章 静電気力の位置エネルギーと電位 [#f109c192]
この章では、電場を記述するもう一つの便利な方法、電位の考...
**3.1 力学的エネルギーの復習（１次元） [#s36aefd9]
#ref(work.png)
そもそも位置エネルギーとは何か？---もう一度考えておこう。...
$$ m\int_{x_1}^{x_2} {d^2 x\over dt^2}dx =\int_{x_1}^{x_2...
右辺はF(x)がちゃんとわかっていれば、後は積分するだけであ...
$$ {d\over dt}\left(\left({dx\over dt}\right)^2\right)= ...
であることを使うと、
$${1\over2} m\int_{t_1}^{t_2} {d\over dt}\left(\left({dx...
となる。左辺の積分範囲は$t_1$から$t_2$までになる。積分の...
$$ {1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2|_{t=t_2}-{1\over...
となる。左辺に場所$x_1$、時刻$t_1$での値が来て、右辺には...
$$ {1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2|_{t=t_1}-\int F(...
と変わる。$\int F(x')dx' |_{x}=-U(x)$と置くと、
$$ {1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2|_{t=t_1}+U(x_1)=...
となる。この式を見ると、左辺は時刻$t_1$、場所$x_1$での値...
$ U(x)=-\int F(x)dx$ または $F(x)=-{d\over dx}U(x)$
である。
*学生の感想・コメントから [#c2ce1d8c]
&color(Green){微分や積分を使ったら難しい話になるので、も...
&color(Red){あなたは何のために大学で勉強しているんでしょ...
&color(Green){$E_\theta$ってイメージすると、};
#ref(ImageEtheta.png);
&color(Green){こんな感じですか？};
&color(Red){うん、それに近い。[[第3回>電磁気学2007年度第3...
&color(Green){やばい、いろんなこと忘れすぎ（似たようなの...
&color(Red){力学のエネルギーまで忘れている人もいたようで(...
&color(Green){やっぱり電磁気より力学の方が面白いと復習し...
&color(Red){うーん、どっちも面白いんだけどなぁ。};
&color(Green){極座標の${\rm div}\vec E$の計算で、向かい合...
&color(Red){大丈夫です。ああいう計算をやる時は、自分が微...
&color(Green){１回目の課題があることを知りませんでした。...
&color(Red){もちろんいいので、必ずやってください。};
&color(Green){極座標のdivで、θ微分で、sinθで割るのはとも...
&color(Red){最後に体積で割るという計算をやるとああなりま...
&color(Green){$E_z(x,y,z+\Delta z)-E_z(x,y,z)$≒${\partial...
&color(Red){この場合の≒は、Δzの２次以上は無視しますよ、と...
&color(Green){まだエネルギーがわかってない気がする（多数...
&color(Red){うーん、力学の先生が聞いたら嘆くぞ。来週、電...
&color(Green){極座標のdivでいろんなもので割るところが納得...
&color(Red){一度、ちゃんと計算をおっかけてみてください。...
&color(Green){${1\over2}mv^2| _{t=t_1}$の縦棒の意味はなん...
&color(Red){$t=t_1$になっている時の値だよ、という限定を意...
&color(Green){$F(x)=-{d\over dx}U(x)$のように、マイナス符...
&color(Red){移項した後で、${1\over2}mv^2+U(x)=$一定、とい...
&color(Green){divを計算する時、直交座標と極座標はどっちが...
&color(Red){それは場合によるので、「こっちが楽」とは決ま...
&color(Green){2.4.5節で、$E_\theta,E_\phi=0$となるのはな...
&color(Red){問題が球対称だからです。だから電場は常にr方向...
&color(Green){円筒座標のイメージがわきません。};
&color(Red){こんな感じです。};
#ref(entou3.png)
&color(Red){zは高さ、rはz軸からの距離、φは中心軸から見た...
終了行:
#mathjax
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CENTER:←[[第7回へ>電磁気学2007年度第7回]] [[目次に戻る>...
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***2.4.3 極座標でのdiv [#y6a737be]
直交座標では${\partial V_x\over \partial x}+{\partial V_y...
----
CENTER:これは大間違いだから覚えるな！！
$$ {\rm div} \vec V={\partial V_r\over \partial r}+{\part...
----
などとやってはいけない（そもそもこの式は次元すらあってな...
#ref(bishouV.png)
正しい極座標のdivを求めるために、左図のように微小体積を設...
図の床にあたる部分は面積$r^2 \sin\theta \Delta \theta\Del...
図の天井の部分は、$(r+\Delta r)^2 \sin\theta \Delta\theta...
\phi$という面積を持っていることに注意しよう（つまり、直方...
----
&color(Red){【よくある質問】''$(r+\Delta r)^2$と$r^2$の違...
だめです。なぜなら、今やろうとしている計算は「流れ出しを...
----
以上から、天井から抜け出るfluxは$(r+\Delta r)^2 V(r+\Delt...
よって、天井と床からの湧き出しは、
$$\begin{array}{rl}&(r+\Delta r)^2 V_r(r+\Delta r,\theta,...
となる。
#ref(spV2.png,,75%)
最後に体積$r^2 \sin\theta \Delta r \Delta \theta\Delta \p...
$$ {1\over r^2}{ (r+\Delta r)^2 V_r(r+\Delta r,\theta,\ph...
である。
この答はナイーブな予想の${\partial\over\partial r}V_r$と...
北の壁と南の壁も面積が違う。その違いは$\sin\theta$に比例...
$$\begin{array}{rl}{1\over r^2 \sin\theta\Delta r\Delta \...
となる。
&color(Red){北の壁と南の壁の面積の違いについては、地球儀...
最後に東西については、
$$\begin{array}{rl}{1\over r^2 \sin\theta\Delta r\Delta \...
となる。まとめると、極座標でのdivの式は
----
CENTER:覚えるならこっちを覚えよう！！
$$ {\rm div} \vec V={1\over r^2}{\partial\over \partial ...
RIGHT:(正しい極座標のdiv)&aname(tadasiidivV);
----
である。
----
&color(Red){以下の2.4.4節は授業では話しませんでした。読ん...
***2.4.4 ∇を使った記法に関する注意 [#mc0838b1]
divは、「ナブラ」と呼ばれる記号$\vec \nabla$を使って$ {\r...
直交座標の場合、$\vec\nabla=\vec e_x {\partial \over \par...
$$ \vec\nabla \cdot \vec V=\left(\vec e_x {\partial \over...
となり、これが${\rm div}\vec V$と同じであることがわかる。...
$\vec\nabla$の一般的定義は、任意の方向を向いた単位ベクト...
$$\vec e\cdot \vec \nabla F(\vec x)= \lim_{h\to0}{F(\vec ...
である。つまり、ある任意の方向に距離hだけ移動した時の関数...
#ref(nablaF.png)
そもそも、１次元での微分は
$${d\over dx}F(x)= \lim_{h\to0}{F(x +h)-F(x)\over h}$$
であった。つまり位置座標xをhだけ変化させた時のF(x)の変化...
$$ \vec\nabla F=\vec e_x {\partial F\over \partial x}+\ve...
ということになる。
この式からFを外して書いた物が
----
CENTER:$\vec \nabla$の定義
$$ \vec\nabla =\vec e_x {\partial \over \partial x}+\vec ...
----
である。本来微分記号というのは後ろに何か関数があって意味...
$\vec\nabla$などをつかって、微分をベクトルのように扱う理...
極座標ではどうかというと、$\vec e$がr方向に向いている時す...
$$ \vec e_\theta\cdot \vec\nabla F(r,\theta,\phi)=\lim_{h...
RIGHT:(ナブラのθ成分)&aname(nablatheta);
という計算を行わなくてはいけないのである。
$$ F(r,\theta+{h\over r},\phi) = F(r,\theta,\phi)+{h\over...
のようになることを考えれば、([[ナブラのθ成分>#nablatheta]...
同様に、φ方向に距離h進むとφは${h\over r\sin\theta}$だけ増...
$$ \vec\nabla F=\vec e_r {\partial F\over \partial r}+\ve...
となる。この式から逆に$\vec e_r\cdot\vec\nabla={\partial ...
ここでよくある間違いを指摘しておこう。極座標で表したベク...
----
CENTER:これも間違い！！
$$\begin{array}{rl} \vec \nabla\cdot \vec V =&\left(\vec...
----
とやってしまうことである。なんとなく、上の式は正しそうに...
なお、実際に微分してみると、
$$\begin{array}{rlrlrl} {\partial \over \partial r}\vec e...
RIGHT:(極座標基底ベクトルの微分)&aname(deler);
となる。この公式を使って正しい計算を行うと、
$$ \begin{array}{rl} \vec \nabla\cdot \vec V =&\left(\ve...
となる。これは([[正しい極座標のdiv>#tadasiidivV]])に等し...
このように極座標などの曲線座標を使った$\vec \nabla$の計算...
***2.4.5 極座標のdivを使って電場を求める [#mec526ca]
さて、極座標のdivの便利さを実感しておこう。極座標のdivの...
また逆に、「球対称な電荷分布がある時、電荷の外側ではどん...
$${1\over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\ri...
$${\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\right)=0$$
$$r^2 E_r=C$$
$$E_r={C\over r^2}$$
となって、逆自乗の法則が導けることになる（Cは積分定数であ...
$${1\over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\ri...
$${\partial \over \partial r}\left(r^2 E_r\right)={\rho\o...
$$r^2 E_r={\rho\over 3\varepsilon_0}r^3 + C'$$
$$E_r={\rho\over 3\varepsilon_0}r + {C'\over r^2}$$
となる。ここで積分定数C'は実は0である。なぜなら、そうでな...
----
&color(Red){【よくある質問】''逆自乗則の式$E_r={Q\over 4\...
逆自乗の式はあくまで「電荷の存在しない範囲」で成立した式...
----
積分定数Cの方は、球の表面（r=Rとしよう）で外部の解$E={C\o...
$$ {C\over R^2}={\rho\over 3\varepsilon_0}R \to C={\rh...
となる。一様な電荷分布を仮定したから、${4\pi\over 3}R^3 \...
$$ E={\rho R^3 \over 3\varepsilon_0 r^2}={{4\pi \over 3}\...
というおなじみの形になる。
こうして、一様帯電した球の内部での電場を求めることができ...
もう一度まとめておくと、
----
CENTER:真空中の静電気学の基本方程式
$$ {\rm div} \vec E={\rho\over \varepsilon_0}$$
----
という１本の式で、ここまでの物理法則を表してしまうことが...
この式は物質中では少しだけ変更される。その変更された方程...
**2.5 章末演習問題 [#y1d61ecd]
''[演習問題2-1]''
円筒座標系$(r,\phi,z)$では、divは
----
CENTER:円筒座標のdiv
$$ {\rm div}\vec V= {1\over r}{\partial \over \partial r}...
----
という形を取る。なぜこうなるのか、図解して説明せよ。
''[演習問題2-2]''球対称な電荷分布があり、電場を測定したと...
物理的に許されるnの範囲を考察せよ。
''[演習問題2-3]''$\vec E = x\vec e_x -y \vec e_y $という...
（註：この問題ではz方向は無視して考えよう）
+ どのような電気力線で表される電場か、図を描け。
+ 電気力線の方程式（一本の電気力線の上で成立する方程式）...
+$\vec E = y\vec e_x -x \vec e_y $という電場も${\rm div} ...
''[演習問題2-4]''
#ref(entou2.png)
図のように、一様に帯電した円筒があり、円筒の内径は$r_1$、...
''[演習問題2-5]''([[極座標基底ベクトルの微分>#deler]])を...
ヒント：方法は二つある。
+ 図を描いてベクトルがどう変化するかを考える。
+ 定ベクトルである$\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$を使って表...
$$\begin{array}{rcl} \vec e_r &=& \sin\theta \cos\phi \ve...
である。これを微分する。
#ref(coord.png,,75%)
''[演習問題2-6]''円筒座標に関して、([[極座標基底ベクトル...
&color(Red){&size(20){発表課題です！};２章の演習問題のう...
*第３章 静電気力の位置エネルギーと電位 [#f109c192]
この章では、電場を記述するもう一つの便利な方法、電位の考...
**3.1 力学的エネルギーの復習（１次元） [#s36aefd9]
#ref(work.png)
そもそも位置エネルギーとは何か？---もう一度考えておこう。...
$$ m\int_{x_1}^{x_2} {d^2 x\over dt^2}dx =\int_{x_1}^{x_2...
右辺はF(x)がちゃんとわかっていれば、後は積分するだけであ...
$$ {d\over dt}\left(\left({dx\over dt}\right)^2\right)= ...
であることを使うと、
$${1\over2} m\int_{t_1}^{t_2} {d\over dt}\left(\left({dx...
となる。左辺の積分範囲は$t_1$から$t_2$までになる。積分の...
$$ {1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2|_{t=t_2}-{1\over...
となる。左辺に場所$x_1$、時刻$t_1$での値が来て、右辺には...
$$ {1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2|_{t=t_1}-\int F(...
と変わる。$\int F(x')dx' |_{x}=-U(x)$と置くと、
$$ {1\over2}m\left({dx\over dt}\right)^2|_{t=t_1}+U(x_1)=...
となる。この式を見ると、左辺は時刻$t_1$、場所$x_1$での値...
$ U(x)=-\int F(x)dx$ または $F(x)=-{d\over dx}U(x)$
である。
*学生の感想・コメントから [#c2ce1d8c]
&color(Green){微分や積分を使ったら難しい話になるので、も...
&color(Red){あなたは何のために大学で勉強しているんでしょ...
&color(Green){$E_\theta$ってイメージすると、};
#ref(ImageEtheta.png);
&color(Green){こんな感じですか？};
&color(Red){うん、それに近い。[[第3回>電磁気学2007年度第3...
&color(Green){やばい、いろんなこと忘れすぎ（似たようなの...
&color(Red){力学のエネルギーまで忘れている人もいたようで(...
&color(Green){やっぱり電磁気より力学の方が面白いと復習し...
&color(Red){うーん、どっちも面白いんだけどなぁ。};
&color(Green){極座標の${\rm div}\vec E$の計算で、向かい合...
&color(Red){大丈夫です。ああいう計算をやる時は、自分が微...
&color(Green){１回目の課題があることを知りませんでした。...
&color(Red){もちろんいいので、必ずやってください。};
&color(Green){極座標のdivで、θ微分で、sinθで割るのはとも...
&color(Red){最後に体積で割るという計算をやるとああなりま...
&color(Green){$E_z(x,y,z+\Delta z)-E_z(x,y,z)$≒${\partial...
&color(Red){この場合の≒は、Δzの２次以上は無視しますよ、と...
&color(Green){まだエネルギーがわかってない気がする（多数...
&color(Red){うーん、力学の先生が聞いたら嘆くぞ。来週、電...
&color(Green){極座標のdivでいろんなもので割るところが納得...
&color(Red){一度、ちゃんと計算をおっかけてみてください。...
&color(Green){${1\over2}mv^2| _{t=t_1}$の縦棒の意味はなん...
&color(Red){$t=t_1$になっている時の値だよ、という限定を意...
&color(Green){$F(x)=-{d\over dx}U(x)$のように、マイナス符...
&color(Red){移項した後で、${1\over2}mv^2+U(x)=$一定、とい...
&color(Green){divを計算する時、直交座標と極座標はどっちが...
&color(Red){それは場合によるので、「こっちが楽」とは決ま...
&color(Green){2.4.5節で、$E_\theta,E_\phi=0$となるのはな...
&color(Red){問題が球対称だからです。だから電場は常にr方向...
&color(Green){円筒座標のイメージがわきません。};
&color(Red){こんな感じです。};
#ref(entou3.png)
&color(Red){zは高さ、rはz軸からの距離、φは中心軸から見た...
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