xも演算子?

時々聞かれる質問。


p=-i\hbar{\partial\over \partial x}Arrayを演算子扱いするのはわかるが、xは単に数だとして扱ってもいいのではないのか。なぜ演算子だと思わなくてはいけないのか?


 

こう思うのは我々が波動関数をψ(x,t)のようにxの関数として表しているため、xに関しては順序をどう入れ換えても問題ないからである。しかし、例えば、ψをフーリエ変換*1

Array

して、pの関数ψ(p,t)を「波動関数」と考える立場もとれる。ψ(x,t)が決まればψ(p,t)は決まるし、この逆も真だから、この二つは同等なのである。

このような書き直しをすると、たとえばある演算子A(x)の期待値<A>は

A>=\int \psi^*(x,t)A\left(x\right)\psi(x,t) dx ={1\over2\pi\hbar}\int \left(\int \psi^*(p',t)e^{-{i\over\hbar}p'x}dp'\right)A\left(x\right)\left(\int \psi(p,t)e^{{i\over\hbar}px}dp\right)

のようにしてψ(p,t)を使った式に書き換えていくことができる。さらに後ろにe^{{i\over\hbar}px}がある時には

-i\hbar{\partial\over \partial p} e^{{i\over\hbar}px}= x e^{{i\over\hbar}px}

となることを使って、A\left(x\right)\to A\left( -i{\partial\over \partial p}\right)と置き換える。ただし、ここの微分はe^{{i\over \hbar }px}にかかっている。つまり、

\int\psi(p,t) \left[A\left(-i\hbar {\partial \over \partial p}\right)e^{{i\over\hbar}px}\right]dp

という形になっている。ここで部分積分をして、微分がψ(p,t)の方にかかるようにする。こうすると部分積分のおかげでマイナス符号が一個出て、さらに-i\hbar{\partial\over \partial p}\to i\hbar{\partial\over \partial p}と置き換わる。これでe^{{i\over \hbar }px}には微分がかからなくなったから前にもっていくことができて、

Array

となり、

={1\over2\pi\hbar}\int \int \underbrace{\left(\int e^{{i\over\hbar}(p-p')x} dx\right)}_{=2\pi\hbar\delta(p-p')}\psi^*(p',t)A\left(i\hbar{\partial \over\partial p}\right)\psi(p,t)dpdp'

とxに関係する部分をまとめてδ関数に直すと、

=\int\psi^*(p,t)A\left(i\hbar {\partial \over \partial p}\right)\psi(p,t)dp

とまとまる。このようにx積分を実行して、pを変数とする表示に書き直すことができる。こうなってしまうと今度はxの方がpを微分する演算子となり、むしろpの方が「数」に見えてくる。ψ(x,t)を使うのはx-表示、ψ(p,t)を使うのはp-表示などと言うが、これ以外にも他の表示もあり、その時その時で便利な表現を使って問題を解くのがよい。一般的には(x-表示以外では)xも立派な演算子なのである。



*1 ここで前についている係数にArrayがついているのは、e^{{i\over\hbar}px}の方にもArrayがついているため。

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Last-modified: 2007-03-19 (月) 10:01:05 (4649d)