今日のチェックテスト

【問い3-1】　以下の文章中の選択肢のうち、正しいものを選べ。

1. 作用反作用の法則は
   (a) 他の法則からは証明できない「原理」である。
   (b) これまでの実験と観測から成立していると期待される「経験則」である。
   (c) 力学の原理から証明できる「定理」である。
2. 力学的エネルギー保存則は
   (a) 他の法則からは証明できない「原理」である。
   (b) これまでの実験と観測から成立していると期待される「経験則」である。
   (c) 力学の原理から証明できる「定理」である。
3. 運動量保存則は
   (a) 他の法則からは証明できない「原理」である。
   (b) これまでの実験と観測から成立していると期待される「経験則」である。
   (c) 力学の原理から証明できる「定理」である。

【問い3-2】あなたの家族が「エネルギー保存則を破る永久機関」を買おうとしています。どう対応しますか？？

【問い3-3】以下の文章は正しく「物理用語としての『エネルギー』」を表現しているか、論じよ。

1. 一晩よく眠ればエネルギーは回復する。
2. あなたの言葉には私を勇気づけるエネルギーがある。
3. 相対性理論によれば、エネルギーは物質に転換される。

チェックテストの答

【問い3-1】正解は、作用反作用については(a)または(b)（実はこの二つはきれいにどちら、と判断できるものではない）。他の二つの保存則については(c)である。

　だいたいの人は正解していたが、3割ぐらいずつ間違った方を選んでいる人もいた。

【問い3-2】これは別に正解と呼べる物はない。どんな反応が返ってくるかをみたかっただけ。反応としては「とめます」というのが多かったが、「どうやって止めるか？」という部分も考えると（非常に難しいので）面白いと思う。

　特に単に「エネルギー保存則があるから」というだけの説得は、まず効かない。「おまえは教科書を信じているが、教科書が正しいとは限らんぞ。科学者は頭が固いなぁ」とか言われてしまう。そう言われたりしないような説得力を身につけて欲しい（つまり、あなたたち自身が「教科書に書いてあったから」というレベルでしかエネルギー保存則を理解してなかったら、まず説得なんて不可能なのだ）。

【問い3-3】1.については「エネルギーというのは自然に回復するような量ではない」という点が指摘できていればよい。2.についても同様。

　ここまでを回答したところで、

と聞いてみた。

　「概念」など、抽象的な答えが多いのはちょっと困る。それに「力」と「エネルギー」は明確に区別できる量である。

　また、「熱」という答えがあったが、当然熱とエネルギーは全く別（このあたりは熱力学についての授業でまたやろう）。

　理科の教科書的なエネルギーの説明は「仕事に変わることのできる物理量」である。あるいはもっと明確に述べるなら「仕事をするとその分だけ減り、仕事をされるとその分増えるような物理量」ということになる。これなら「仕事」が計算できれば計算できる。

　と、このように仕事が「物質（物体）の状態に応じて決まる物理量」であるという定義を考えると、問題の3.の文章「相対性理論によれば、エネルギーは物質に転換される。」は物理的によくない文章であることがわかる。エネルギーは物質もしくは物体の持っている属性であり、物体なしにエネルギーがあるなんてことはないのだから、「エネルギーが物質に」という転換は起こらない（実際に相対論で起こるこれに似たことは「光が質量を持った物質に変わる」であり、そのときにエネルギーはもちろん保存している。

　そもそもエネルギーはどのように定義される量であるか、という部分が曖昧だとこのあたりを間違えてしまう。そこで、今日の授業の残りではエネルギーの定義を厳密にした。

エネルギーの導出

　エネルギーは仕事によって定義されるので、まず仕事を定義する。中学理科の範囲でなら、

（仕事）＝（力）×（力の方向への移動距離）

である。大学物理なら、 $$ W=\vec F\cdot \mathrm d\vec x $$ と書きたい（移動は微小変位ベクトル$\mathrm E\vec x$で表現したいし、単なる掛算ではなく$\vec F$というベクトルとの内積で定義したい）。

　このように定義した仕事が「エネルギーの変化」に等しくなるのは、そうなるようにエネルギーを定義するからである。

　その計算の前に、なぜここで「仕事」を持ち出すのか？を考えて欲しい。例えば『力』で同様のことをしてはいけないのか？（ちなみに力を使って同様のことを行なうと、また別の保存量が出るが、それはまた違う状況を考えることになる）。

　それは実は小学校の理科で習った「道具を使うと力は増幅できる」ということに関係している。

　力を増幅する例は上の図（シーソーだったり動滑車だったり）である。しかし、どちらの場合も力は増やせても、仕事は増やせない。

　昔の物理学者たちは、道具を使って仕事を増やすことを期待した（究極の願望が、エネルギー源なしに仕事をし続ける機械である永久機関である）。

　永久機関が動かないのは、仕事は機械では増やせず、さらに「仕事をするとその分だけ減少する物理量」であるエネルギーが定義できるからである（仕事をするとエネルギーが減るのだから、エネルギーがこれ以上減らせなくなるともう仕事はできない）。

　もっとも簡単な、今考えている力$\vec F$以外には何の力も（重力も空気抵抗も）働いてない場合で仕事によって増える量を計算してみよう。大学物理のレベルなら、 $$ W=\vec F\cdot \mathrm d\vec x $$ に運動方程式$\vec F=m{\mathrm d\vec v\over\mathrm dt}$を代入して、 $$ \begin{array}{rl} W=&m{\mathrm d\vec v\over\mathrm dt}\cdot \mathrm d\vec x\\ =&m\mathrm d\vec v\cdot \underbrace{{\mathrm d\vec x\over\mathrm dt}}_{\vec v} \end{array} $$ と計算すると、この式の右辺が${1\over2}m|\vec v|^2$の微分であることがわかる。つまり$W$は運動エネルギー${1\over2}m|\vec v|^2$の変化に等しい（というより、そうなるように定義された物理量が運動エネルギーなのだ）。

　大学生だからこれぐらいは平気でわかってほしいのだが、微分や積分が出て来るとやっぱり怯む人が多いようである。

　なお高校物理の範囲で説明するなら、等加速度運動の公式 $$ v^2 -(v_0)^2 = 2a\Delta x $$ の両辺に${1\over2}m$を掛けて $$ {1\over2}mv^2 -{1\over2}m(v_0)^2 = \underbrace{ma}_F\Delta x $$ とすれば、やはり運動エネルギーの変化が仕事に等しいとわかる。

　大事なことは、エネルギーというのは人間が物理現象を記述するためにある意味「発明」したものであって、それが保存するのはむしろ「保存するような量を探して、そうなるように仕事やエネルギーの定義を作ったから」とも言える。

受講者の感想・コメント

　青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

　主なもの、代表的なもののみについて記し、回答しています。