部分積分と置換積分
部分積分
微分のライプニッツ則$\ddx \left(f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}}\right)=\left(\ddx f\kakko{\xcol{x}}\right)g\kakko{\xcol{x}}+f\kakko{\xcol{x}}\ddx g\kakko{\xcol{x}}$の逆を考えるのが「部分積分」である。
まず上の式を不定積分し（左辺は微分する前に戻る）、 \begin{equation} \begin{array}{rll} \intdx \ddx \left(f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}}\right) =&\intdx \left(\ddx f\kakko{\xcol{x}}\right)g\kakko{\xcol{x}} +\intdx f\kakko{\xcol{x}}\ddx g\kakko{\xcol{x}}\\[3mm] f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}} =&\underbrace{\intdx \left(\ddx f\kakko{\xcol{x}}\right)g\kakko{\xcol{x}}}_{←移項する} +{\intdx f\kakko{\xcol{x}}\ddx g\kakko{\xcol{x}}}\\ f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}}-\intdx\left( \ddx f\kakko{\xcol{x}}\right)g\kakko{\xcol{x}} =&\intdx f\kakko{\xcol{x}}\ddx g\kakko{\xcol{x}} \end{array} \end{equation} となる1行目から2行目に行く時の左辺の積分で積分定数がないが、右辺にまだ不定積分が残っていてそちらからも積分定数が出てくるので、そちらに吸収させる。。ここで、左右を取り替えて、
部分積分の公式（不定積分）
\begin{equation} \intdx f\kakko{\xcol{x}}\ddx g\kakko{\xcol{x}} =- \intdx \left( \ddx f\kakko{\xcol{x}}\right)g\kakko{\xcol{x}} +f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}}\label{pidint} \end{equation}
という公式ができる。
ここで行っているのは
という操作だと考えてもよい。
例として、$\intdx \xcol{x} \cos \xcol{x}$をあげよう。この場合、$\ddx g\kakko{\xcol{x}}=\cos\xcol{x},f\kakko{\xcol{x}}=\xcol{x}$という代入を行っていけば、 \begin{equation} \intdx \underbrace{\xcol{x}}_{f\kakko{\xcol{x}}}\underbrace{\cos \xcol{x}}_{g'\kakko{\xcol{x}}} = - \intdx \underbrace{1}_{f'\kakko{\xcol{x}}}\underbrace{\sin \xcol{x}}_{g\kakko{\xcol{x}}} +\underbrace{\xcol{x}}_{f\kakko{\xcol{x}}}\underbrace{\sin \xcol{x}}_{g\kakko{\xcol{x}}} =\underbrace{\cos \xcol{x}+C}_{\tiny -\intdx \sin \xcol{x}} +\xcol{x}\sin \xcol{x} \end{equation} のようにして積分ができる。
ここでは
という操作を行っている。
「部分積分」はある意味「微分演算子$\ddx$を右から左へ付け替える」という計算でもある。「微分演算子を掛ける」という操作は通常の掛算とは違う。通常の数の掛算なら$a\times (b\times c)=(b\times a)\times c$という「付け替え操作」ができるが、微分演算子の「付替え」には、符号を変えたり最後に「おつり」を付けたりという手順が必要であるこういう手順を踏まなくてはいけないことを単に「押し付けられたルール」と受け取ると「面倒だ」と思うかもしれないが、それは数学の勉強方法として正しくない。ここでやっている計算の意味をちゃんと把握していればこの手順は必然的なものであることがわかる。計算の中身と意義を確認し納得した上で使っていこう。。
部分積分という計算は積の片方を微分してもう片方を積分するという計算になっているから、$\log$や$\arctan$のように「微分すると簡単になるんだけどなぁ」と言いたくなる関数と簡単に積分できる関数の積が出てきた時は、部分積分が有効ではないかと試してみるとよいだろう。
定積分の場合も同様に計算ができて、
部分積分の公式（定積分）
\begin{equation} \int_a^b f\kakko{\xcol{x}}\ddx g\kakko{\xcol{x}}\coldx =- \int_a^b \left(\ddx f\kakko{\xcol{x}}\right)g\kakko{\xcol{x}}\coldx +\underbrace{\left[ f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}}\right]_a^b}_{表面項} \end{equation} となる。
最後の部分は$\left[f\kakko{\xcol{x}}g\kakko{\xcol{x}}\right]_a^b=f\kakko{b}g\kakko{b}-f\kakko{a}g\kakko{a}$となって、積分の「表面」である$\xcol{x}=a$と$\xcol{x}=b$での値だけになるので、「表面項(surface term)」と呼ばれる表面項は「表面」が問題にならないような場合（たとえば積分範囲が$-\infty<\xcol{x}<\infty$で、無限に遠いところは考えなくてもよいような場合など）は無視される。しかし、無視してはいけない場合も、もちろんある。。
置換積分
置換積分の手順
$\xcol{x}$を独立変数としたある積分$\int f\kakko{\xcol{x}}\coldx$という積分を考える。ここで、$\tcol{t}$という別の変数（$\xcol{x}$とは$\xcol{x}=g\kakko{\tcol{t}}$という関係で繋がっている）へと独立変数を変えた時に、積分がどう変わるかを考えてみる。まず、$f\kakko{\xcol{x}}$という関数は$f\kakko{g\kakko{\tcol{t}}}$という$\tcol{t}$の関数へと変えなくてはいけない。と同時に、積分要素も変わるが、この時、$\coldx={\coldx\over\coldt}\coldt$という関係を使って変換するのが置換積分である。具体的にはこうなる。
置換積分の公式 \begin{equation} \int f\kakko{\xcol{x}}\coldx = \int f\kakko{x\kakko{\tcol{t}}}{\coldx\over \coldt}\coldt\label{tikankousiki} \end{equation}
この式は合成関数の微分則（chain rule）の逆をやっていると思えばよい。
$f\kakko{\xcol{x}}$の原始関数を$F\kakko{\xcol{x}}$とする。ここでこの$\xcol{x}$は$\tcol{t}$の関数なので、$x\kakko{\tcol{t}}$と書くことにする（$F\kakko{x\kakko{\tcol{t}}}$）。この式を$\tcol{t}$で微分すると、 \begin{equation} {\ddt}\left(F\kakko{x\kakko{\tcol{t}}}\right) =\underbrace{\left( \ddx F\kakko{\xcol{x}}\biggr|_{\xcol{x}=x\kakko{\tcol{t}}}\right)}_{f\kakko{x\kakko{\tcol{t}}}}\left( {\ddt}x\kakko{\tcol{t}} \right) \end{equation} であるが、これをもう一回$\tcol{t}$で不定積分すれば、 \begin{equation} F\kakko{x\kakko{\tcol{t}}} =\int f\kakko{x\kakko{\tcol{t}}} \left( {\ddt}x\kakko{\tcol{t}} \right)\coldt \end{equation} となる。
FAQ:$\coldx={\coldx\over \coldt}\coldt$なんてやっていいのか？
いい。$\coldx$や$\coldt$がどのような意味を持つかを考えよう。${\coldx \over \coldt}$とは微小変化$\coldx$と$\coldt$の比と考えることができるのだから、まさにこの式が成り立つ（ただし、積分変数が変わったときは定積分の積分区間も一緒に変わることには注意）。積分の式$\int f\kakko{\xcol{x}}\coldx$というのは単なる記号ではなく、$f\kakko{\xcol{x}}$に微小変化$\coldx$を掛けて``足算''するという意味を持っている。置換積分はその足算のやり方を変えている。次の節で詳しく説明しよう。
たとえば \begin{equation} \int \xcol{x}\sin \xcol{x}^2\coldx \end{equation} において、$\xcol{x}^2=\tcol{t}$とおくと、$2\xcol{x}\coldx =\coldt$となるから、 \begin{equation} \int \xcol{x}\sin \xcol{x}^2\coldx={1\over 2} \int \sin \tcol{t}\coldt=-{1\over 2}\cos \tcol{t}+C=-{1\over 2}\cos \xcol{x}^2+C \end{equation} と書きなおしてよい（逆に微分すれば元に戻ることは確かめられる）。
置換積分でやっていること
置換積分を使うとできる積分の例として、 \begin{equation} \int_0^1 \sqrt{1-\xcol{x}^2}\coldx = {\pi\over 4} \end{equation} を取り上げる。この計算がどのような意味を持つかを右のグラフに示した。これは高さ${\sqrt{1-\xcol{x}^2}}$で横幅が\coldx である微小な長方形を$\xcol{x}=0$から$\xcol{x}=1$まで変化させながら足していった結果である。グラフを見ればわかるように、それは半径が1の${1\over 4}$円の面積である。そう考えれば答えが${\pi\over 4}$なのは当然と言える。
定積分を使ってこれを計算するために、まず$\xcol{x}=\cos \thetacol{\theta}$と置いてみる。このような「置き換え」は多くの場合、試行錯誤「$\sqrt{1-x^2}$は0から1の範囲で変化する関数だから、$\cos$とかどうかな？」のようにいろいろやってみる。で見つける。ここで考えているように、グラフを描いて図形的に考えてみると、どういう変換を行っているのかが見えてきて、計算の見通しがよくなることもある。
実際、$\thetacol{\theta}$には下に描いたような意味がある。
$\xcol{x}=\cos\thetacol{\theta}$なのだから、$\sqrt{1-\xcol{x}^2}=\sin\thetacol{\theta}$である$\cos ^2\thetacol{\theta}+\sin^2\thetacol{\theta}=1$という式で考えると$\sqrt{1-\xcol{x}^2}=\pm\sin \thetacol{\theta}$となるが、図でわかるように$\thetacol{\theta}$は0から${\pi\over2}$までだから、$\sin\thetacol{\theta}$の前に符号は必要ない。が、それは図に示した長方形の高さである。$\xcol{x}=\cos\thetacol{\theta}$の微分は$\coldx = -\sin\thetacol{\theta} \coldtheta$であるから、$\sqrt{1-\xcol{x}^2}\coldx = -\sin^2\thetacol{\theta} \coldtheta$と置換こういう置換も、「やっていいの？」と悩む人が時々いるが、少し前のFAQで書いたように、どんどんやっていい。する。$\xcol{x}=0$のとき$\thetacol{\theta}={\pi\over 2}$、$\xcol{x}=1$のとき$\thetacol{\theta}=0$だから、積分変数を$\xcol{x}\to \thetacol{\theta}$と変える時に積分範囲は$\int_0^1$から$\int_{\pi\over 2}^0$に変わり、さらに反転させて$-\int_0^{\pi\over 2}$となる。
$\xcol{x}=\cos\thetacol{\theta}$という置き換えにより、$\int_0^1 \sqrt{1-\xcol{x}^2}\coldx$$\to$$\int^{\pi\over 2}_0 \sin^2\thetacol{\theta}\coldtheta$、あるいは$\sqrt{1-\xcol{x}^2}=\sin\thetacol{\theta}$の部分を除けば、$\int_0^1 \coldx$$\to$$\int^{\pi\over 2}_0 \sin\thetacol{\theta}\coldtheta$という置き換えがなされたことになる。これ（あるいはこの逆）はよく使う置換の方法である。同様に、$\int_{-1}^1 \coldx$$\to$$\int^{\pi}_0 \sin\thetacol{\theta}\coldtheta$もよく出てくる。
今回の場合、計算すべきは$\int_0^{\pi\over 2}\sin^2\thetacol{\theta} \coldtheta$で、$\sin^2\thetacol{\theta}={1-\cos 2\thetacol{\theta}\over 2}$より、
\begin{equation} \int_0^{\pi\over 2}{1-\cos 2\thetacol{\theta}\over 2}\coldtheta = \left[ {\thetacol{\theta}-{1\over 2}\sin2\thetacol{\theta}\over 2} \right]^{\pi\over 2}_0 ={{\pi\over 2}-{1\over 2}\sin \pi\over 2}-{0-{1\over 2}\sin 0\over 2} ={\pi\over 4} \end{equation} のように積分できる。計算ではなく右のようなグラフを使って求めることもできる。被積分関数のうち${-\cos2\thetacol{\theta}\over2}$の部分は「谷→山」へと振動する関数で、この部分は結果に寄与しないだろう（図で塗りつぶした部分がちょうど消える）と考え、「横幅${\pi\over 2}$で高さが${1\over 2}$の長方形の面積」と同じだと考えて、${\pi\over 4}$という答えを出してもよい。
さて、以上の手順を図解しておこう。
${\sqrt{1-\xcol{x}^2}}\coldx$というのは、右の図の色付けされた長方形の面積であり、積分とはこの長方形を足していくことである。$\xcol{x}=\cos\thetacol{\theta}$と置くことは、図のように角度$\thetacol{\theta}$を設定していることであり、$\coldtheta$という量は、図の弧の部分の長さでもある（単位円であることに注意）。
この部分の拡大図を見ると、$\xcol{x}=\cos\thetacol{\theta}$の微分である$\coldx=-\sin\thetacol{\theta} \coldtheta$が図の関係として表現されていることがわかる。特に、$\coldx$と$\coldtheta$の符号が逆である（$\xcol{x}$が増えれば$\thetacol{\theta}$が減る）ことが図でも表現されている点に注目しよう。
$\thetacol{\theta}$を変化させていった時のそれぞれの微小長方形を描いたのが次の図である。
「高さ$\sin\thetacol{\theta}$、幅$\coldtheta\sin\thetacol{\theta}$の長方形」を足していくという計算になっている（$\xcol{x}$の積分の時は「高さ$\sqrt{1-\xcol{x}^2}$で幅$\coldx$」だった）。これが$\sqrt{1-\xcol{x}^2}\coldx=-\sin^2\thetacol{\theta}\coldtheta$という置き換えの意味なのだ（マイナス符号の意味は先で説明した通り）。
置換積分すべてに、このような図形的対応があるわけではない。もちろんこういう図形的解釈ができなくても積分は手順どおりにやっていけばできる（それが数式というものの有り難さだとも言える）が、図形的解釈ができれば理解しやすくなる面はある。
次に、$\int_0^\infty{1\over 1+\xcol{x}^2}\coldx$という積分を考えよう。この積分は、$\xcol{x}=\tan\thetacol{\theta}$（$\thetacol{\theta}$の意味は次の図を見よ）
と置き換えて、$\coldx={\coldtheta\over \cos^2\thetacol{\theta}}$を使い、 \begin{equation} \int_0^{\pi\over 2}{1\over 1+\tan^2\thetacol{\theta}}\overbrace{{\coldtheta\over \cos ^2\thetacol{\theta}}}^{\coldx} = \int_0^{\pi\over 2}\coldtheta={\pi\over 2} \end{equation} のように計算できる（$1+\tan^2 \theta={1\over \cos^2\theta}$に注意）。図で、$\xcol{x}$を0から$\infty$まで動かしたら$\thetacol{\theta}$がどう変化するかをみれば、積分区間「$\xcol{x}=0$から$\xcol{x}=\infty$」が「$\thetacol{\theta}=0$から$\thetacol{\theta}={\pi\over 2}$」と変わることがわかる。
結果として、${1\over 1+\xcol{x}^2}\coldx=\coldtheta$という置換がされた。この置き換えの意味を図形で理解しておこう。
上の図に、底辺1、高さ$\xcol{x}$の直角三角形の高さを$\coldx$だけ大きくしたときの変化を示した。
図に描き込まれた円の半径は$\sqrt{1+\xcol{x}^2}$であり、円の一部である中心角$\coldtheta$の扇型を考えると、その扇型の弧の長さは$\sqrt{1+\xcol{x}^2}\times \coldtheta$である（扇型の弧の長さ）$=$（半径）$\times$（中心角）。。
一方、直角三角形の相似を使うと、 \begin{equation} （弧の長さ）:\coldx = 1:\sqrt{1+\xcol{x}^2} \end{equation} が成り立つから、（弧の長さ）$={\coldx\over \sqrt{1+\xcol{x}^2}}$である。以上から、$\sqrt{1+\xcol{x}^2}\times \coldtheta={\coldx\over \sqrt{1+\xcol{x}^2}}$が言えて、これからこの積分は角度の積分に書き直すことができて、 \begin{equation} \int_0^\infty {1\over 1+\xcol{x}^2}\coldx=\int_0^{\pi\over 2} \coldtheta={\pi\over 2} \end{equation} と答えが出る。
上で${\coldx\over 1+\xcol{x}^2}=\coldtheta$と置き換える部分の説明は、図で描くよりも「微分」という計算をした方がわかりやすい人も多いだろう。そう思った人は式の計算で理解しておけばよい。どっちであろうと、自分にわかりやすい方で理解すればよいのはもちろんである。
問題により、そして（思考方法は人それぞれなので）個人により、「どう考えれば理解しやすいか」は違う。では「式で計算できればそれでよい」（または「図解できればそれでよい」）かというと、次に現れる問題があなたにとってどちらで理解しやすいかはわからないわけだから、いろんな方法で理解することを（少なくとも``数学修行''をしている間は）心がけておいた方がいいだろう。
ときどき「たくさん教えられてもわかんなくなるから、教える方法は一つにしてください」という人がいるのだが、一つしか武器がない状態では太刀打ちできない強敵に出会う時のために、修行はしておこう。
立ち向かう相手（自然現象）は強大なのだから持っている武器は多い方がよい。