$\def\intdx{\opcol{\int \mathrm dx}}\def\E{\mathrm e}\def\I{\mathrm i}\definecolor{opcol}{RGB}{149,139,0}\definecolor{hai}{RGB}{137,137,137}\definecolor{tcol}{RGB}{166,54,109}\definecolor{kuro}{RGB}{0,0,0}\definecolor{xcol}{RGB}{169,103,49}\def\opcol#1{{\color{opcol}#1}}\def\ddx{\opcol{{\mathrm d\over \mathrm dx}}}\def\ddt{\opcol{{\mathrm d\over \mathrm dt}}}\def\xcol#1{{\color{xcol}#1}}\definecolor{ycol}{RGB}{217,61,137}\def\ycol#1{{\color{ycol}#1}}\def\haiiro#1{{\color{hai}#1}}\def\kuro#1{{\color{kuro}#1}}\def\kakko#1{\haiiro{\left(\kuro{#1}\right)}}\def\coldx{{\color{xcol}\mathrm dx}}\def\Odr{{\cal O}}\definecolor{ncol}{RGB}{217,51,43}\def\ncol#1{{\color{ncol}#1}}\definecolor{zcol}{RGB}{196,77,132}\def\zcol#1{{\color{zcol}#1}}\definecolor{thetacol}{RGB}{230,0,39}\def\thetacol#1{{\color{thetacol}#1}}\def\diff{\mathrm d}\def\kidb{\opcol{\mathrm db}}\def\kidx{\opcol{\mathrm dx}}\def\coldy{\ycol{\mathrm dy}}\def\coldtheta{\thetacol{\mathrm d\theta}}\def\ddtheta{\opcol{{\mathrm d\over\mathrm d\theta}}}\def\tcol#1{{\color{tcol}#1}}\def\coldt{\tcol{\mathrm dt}}\def\kidtheta{\opcol{\mathrm d\theta}}\def\dtwodx{\opcol{\diff^2\over\diff x^2}}\def\kokode#1{{↓#1}}$
今日は変数分離の話のまとめから。前に例として上げた${\coldy\over \coldx}=\ycol{y}$は変数分離できる微分方程式の例であり、前節でやったように、「変数分離した後で積分」という方法で解くことができた。
変数分離はいつでもできるとは限らない。たとえば${\coldy\over \coldx}=\xcol{x}+\ycol{y}$という簡単な場合でも左辺に$\ycol{y}$だけを集めることはできない（この微分方程式は解ける。つまり変数分離できなくても解ける時は解ける）。以下では「変数分離できる場合」に限って話をする。
もう一つ、簡単な例を示そう。${\coldy\over \coldx}=-{\xcol{x}\over \ycol{y}}$という式（前に図で考えた微分方程式で、答は円であった）は書き直すと$\ycol{y}\coldy = -\xcol{x} \coldx $と変数分離でき、$\int \ycol{y}\coldy = -\int\xcol{x} \coldx$と積分すれば
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
{\ycol{y}^2\over 2}=&-{\xcol{x}^2\over 2}+C
\end{array}
\end{equation}
が出る（$C$は積分定数）。結果を整理すると、$\xcol{x}^2 +\ycol{y}^2 = 2C$という半径$\sqrt{2C}$の円の式が出てくる。
その$2C$の「2」はなくてもいいんでは？
うん、なくてもいい。$C$は任意だからね。
以下は、三つの実例をアニメーションと式で示した。
実例：ロケットの到達速度
の話をした。
噴射した後、ロケットの質量が$m+\mathrm dm$、噴射された燃料の質量が$-\mathrm dm$としていましたが、ロケットの質量を$m-\mathrm dm$、燃料の質量を$\mathrm dm$としちゃいけないんですか？
いけません。$\mathrm dm$は「$m$の変化量」という意味を持つ記号ですから、変化後は$m+\mathrm dm$でないとダメ。実際、計算してみるとちゃんと$\mathrm dm < 0$になったでしょう。つまり「増えるか減るか」という部分の情報も、ちゃんと$\mathrm dm$の中に含まれているわけです。ここで「減っているから」と$m-\mathrm dm$などとしてしまうと、積分すると増えることになってしまいます。
実例：兵力自乗の法則
の話をした。
実例：流行の方程式
の話をした。
★テストに関するお知らせ
来週がテストですが、テストではA4１枚（裏使ってよし）の「自作カンニングペーパー」のみ、持ち込みを認めます。「自作」は友人との合作を含めます（コピーはダメ）。復習して勉強しつつ、まとめを作成して持ってきてください。