関数とは

$\def\coldr{\rcol{\mathrm dr}}\def\coldvecx{\xcol{\mathrm d\vec x}}\def\intdx{\opcol{\int \mathrm dx}}\def\E{\mathrm e}\def\I{\mathrm i}\definecolor{opcol}{RGB}{149,139,0}\definecolor{hai}{RGB}{137,137,137}\definecolor{tcol}{RGB}{166,54,109}\definecolor{kuro}{RGB}{0,0,0}\definecolor{xcol}{RGB}{169,103,49}\def\opcol#1{{\color{opcol}#1}}\def\ddx{\opcol{{\mathrm d\over \mathrm dx}}}\def\ddt{\opcol{{\mathrm d\over \mathrm dt}}}\def\xcol#1{{\color{xcol}#1}}\definecolor{ycol}{RGB}{217,61,137}\def\ycol#1{{\color{ycol}#1}}\def\haiiro#1{{\color{hai}#1}}\def\kuro#1{{\color{kuro}#1}}\def\kakko#1{\haiiro{\left(\kuro{#1}\right)}}\def\coldx{{\color{xcol}\mathrm dx}}\def\Odr{{\cal O}}\definecolor{ncol}{RGB}{217,51,43}\def\ncol#1{{\color{ncol}#1}}\definecolor{zcol}{RGB}{196,77,132}\def\zcol#1{{\color{zcol}#1}}\definecolor{thetacol}{RGB}{230,0,39}\def\thetacol#1{{\color{thetacol}#1}}\def\diff{\mathrm d}\def\kidb{\opcol{\mathrm db}}\def\kidx{\opcol{\mathrm dx}}\def\coldy{\ycol{\mathrm dy}}\def\coldtheta{\thetacol{\mathrm d\theta}}\def\ddtheta{\opcol{{\mathrm d\over\mathrm d\theta}}}\def\tcol#1{{\color{tcol}#1}}\def\coldt{\tcol{\mathrm dt}}\def\kidtheta{\opcol{\mathrm d\theta}}\def\dtwodx{\opcol{\diff^2\over\diff x^2}}\def\kokode#1{~~~~~~~{↓#1}}\def\goverbrace{\overbrace}\def\coldz{\zcol{\mathrm dz}}\def\kidt{\opcol{\mathrm dt}}\definecolor{rcol}{RGB}{206,114,108}\def\rcol#1{{\color{rcol}#1}}\def\coldtwox{\xcol{\mathrm d^2x}}\def\PDC#1#2#3{{\opcol{\left(\opcol{{\partial \kuro{#1}\over \partial #2}}\right)}}_{#3}}\def\PDIC#1#2#3{{\opcol{\left(\opcol{\partial \over \partial #2}\kuro{#1}\right)}}_{#3}}\def\PD#1#2{{\opcol{\partial \kuro{#1}\over \partial #2}}}\def\PPDC#1#2#3{{\opcol{\left(\opcol{\partial^2 \kuro{#1}\over \partial #2^2}\right)}}_{#3}}\def\PPDD#1#2#3{{\opcol{{\partial^2 \kuro{#1}\over \partial #2\partial #3}}}}\def\PPD#1#2{{\opcol{{\partial^2 \kuro{#1}\over \partial #2^2}}}}\def\kidy{\opcol{\diff y}}\def\ve{\vec{\mathbf e}}\def\colvecx{\xcol{\vec x}}\definecolor{usuopcolor}{RGB}{237,234,203}\def\usuopcol#1{\color{usuopcolor}#1}\def\vgrad#1{{\usuopcol{\overrightarrow{\opcol{\rm grad}~\kuro{#1}}}}}\def\dX{\rcol{\mathrm dX}}\def\dY{\thetacol{\mathrm dY}}$

 物理などの自然科学を探求していくとき、

ある量$\xcol{A}$を変化させた時に、それとは別のある量$\ycol{B}$がそれに応じてどう変化するか?

を調べていかなくてはいけないことがよくある。この$\xcol{A}$から$\ycol{B}$への関係}($\xcol{A}\to \ycol{B}$)のことを「関数(function)」と呼ぶ。「数」に限らず「何かを入力(インプット)したら何かが出力(アウトプット)される」働きを持っていればそれは「function(関数)」と呼んでも良い。数学的な意味で「関数」と言うときは数(もしくは数で表現できる量)を相手にしていることが多いが、数学だからと言って「数」を扱っているとは限らない。

 関数のインプットとアウトプットにあたる量を「変数(variable)」}と呼ぼう。まず最初に変化させるある量$\xcol{A}$は「独立変数(independent variable)」、それに応じて変化するある量$\ycol{B}$は「従属変数(dependent variable)」と呼ぶ。

 互いに関係のある量を計測する実験を何度も行うことによってそれぞれの量の間にどのような法則があるかを求めていこうとすることが自然科学の始まりだ。計測するものは数であることが多いので、ある数$\to$また別のある数という対応関係(「関数」)を調べていくことが多くなる。

関数をグラフで表現する

 $\xcol{x}$と$\ycol{y}$に$\xcol{x}$を1つ決めれば$\ycol{y}$が1つ決まるという関係があるとき、「$\ycol{y}$は$\xcol{x}$の関数だ」と言う。関数の対応関係は式で表してもよいが、次のグラフのように表現してもよい。たとえばこの関数が$\ycol{y}=f\kakko{\xcol{x}}$という式で表現されるものであったならば、グラフの線の上では$\ycol{y}=f\kakko{\xcol{x}}$が成り立ち、それ以外の場所では成り立たない。

  つまりグラフが表現している「線」は「$\ycol{y}=f\kakko{\xcol{x}}$が成り立つ点」の集合だ。多くの場合、これはある線になるが、関数が変な関数であれば、「線」になるとは限らない。線になるかどうかは、関数が連続性を持つかどうかによる。連続性があればある点の「隣」に点があるから、関数の式を満たす点の集合が「線」になる。実験などで測定値をグラフに「点」でプロットして、最後に「えいやっ」と線を引くが、それは考えている関数が連続であることを仮定(期待)しているからだ。なお、図でもそうだが逆の$\ycol{y}$を1つ決めれば$\xcol{x}$が1つ決まるの方は成立しなくてもよい。

双曲線は関数ですか?
双曲線って、のこと? これは関数だけど。
いえ、です。
 ああ、それは$\xcol{x}$一つに$\ycol{y}$が二つあるから関数じゃないね。
 実はも、$\xcol{x}=0$の点では対応する$\ycol{y}$がない(定義されてない)から、そこ以外では関数という、制限付きの関数です。
 ちょうどいい質問が来たので定義域と値域について説明しておこう。

 状況により$\xcol{x}$はなんでもよいわけではなく、「定義域(domain of definition)」と呼ばれる範囲に入っていなくてはいけない。この範囲で関数が定義されているという意味で「定義域」と呼ぶ。定義域は考えている量(物理量だったり測定値だったり)がそもそもどういう量であるかということから決まる場合もあるし、数式の構造から決まる場合もある。たとえば{$\ycol{y}=\sqrt{\xcol{x}}$}という関数は(実数の範囲なら)$\xcol{x}\geq 0$でないと意味がないから、定義域は(もっとも広い場合でも)$\xcol{x}\geq0$である。

 $\xcol{x}$が定義域の全体を変化する間に$\ycol{y}$の取り得る値の範囲を「値域(range of values)」と呼ぶ。たとえば上の例$\ycol{y}=\sqrt{\xcol{x}}$の場合、値域は$\ycol{y}\geq0$である。

いろんな関数のグラフ

 いろんな関数の場合で、を動かしてxを変化させると、それに応じてつまりyが動く。yの方は動かせない。「従属」変数だから。
 関数と定数aの値はいろいろ変化させることができるので、試してみること。

y=

a=1.0

 ここで、いろんな関数の場合で「$x$を変えると$y$がどう変わるか」ということと、「パラメータ$a$を変化させると関数がどう変わるか」を実感して欲しい。

 たとえば、$y=ax$で$a$を変えると傾きが変わる。$y=ax^2$で$a$を変えると曲がり具合が変わる。このようなパラメータと「線の形」の関係は、この後でも重要。

冪乗関数

 このページでは、$y=x^n$の形(冪乗)の関数のグラフを見よう。

 このグラフはxもyも-2から2までの範囲で描かれている。nは下のボタンで変えることができるので、いろんな値で関数がどのようなグラフになるのかを実感しよう。

n=1
しばらく遊んでもらった後で、「このグラフを見て気づくことはないかな?」と聞いてみた。以下、何人かの人からのコメント。
$n$を大きくしていくと、$n$が偶数のときは線がに近づき、$n$が奇数のときに近づく。
$n$が大きくなると$x=0$付近ではほぼ、$y=0$
$n$が負のときは逆に$x > 1$と$x < -1$でほぼ$y=0$になる。
第4象限には決して線が来ない。
$n$が奇数ではグラフは原点に関し点対称、$n$が偶数ではグラフは$y$軸に関し線対称。

などが出てきた。

 このことから、変数$x$が1より小さい範囲では、$n$が大きい項は重要度が低い(計算に大きく寄与しない可能性が高い)ということになる。これはいろんな量を考える時、とても大事。

 というのは、自然法則を考えるとき、我々は「中央の値」とその付近の小さなずれをまず考える。つまり$n=0,1,2$あたりをまず考えて自然法則を見出していく。ありがたいことに、自然法則は$n=2$ぐらいまででほとんど記述できている。後でわかるけど、これは実は微分が大事、ということを示している。

$n=3$以上っていらないんですか??
全く出てこないとは言わないけど、ほとんどの法則ではいらない。力学で言うと運動方程式は二階微分方程式なんだけど、これは$n=2$まででその方程式は十分、ってこと。自然がそんなに単純だというのは驚きではあるけど。

1次関数

 y=ax+b(a,bは定数)の形、すなわち1次の多項式の形の関数を「1次関数」と呼ぶ。ここで、bは0でも構わないが、a≠0である(でないと、1次式でなくなってしまう)。aを「傾き」、bを「切片(またはy切片)」と呼ぶ。1次関数のグラフは正比例同様「直線」となる。

 下の動くグラフでa,bを変化させた時のグラフの変化を実感しよう。
a,bは下のボタンで変えることができるので、いろんな値で関数がどのようなグラフになるのかを実感しよう。

y=
x
+1

 bの意味がx=0のときのyであることは式を見てもわかる。一方aは増加率すなわち~xが1増えたとき、yがどれだけ増えるかという意味を持つ。この「1次の項の係数が増加率を表す」という点は後々重要になるだろう。

 図では、aはまさに「線の傾き」を表現している。

2次関数

 y=ax2+bx+cの形、すなわち2次の多項式の形の関数を「2次関数」と呼ぶ。そのグラフは「放物線(parabola)」と呼ばれるこの線は物体を放り投げた時の軌跡なので「放物」と名付けられている。。このページでは、y=ax2+bx+cの形の関数(2次関数)のグラフを見よう。

 a,b,cは下のボタンで変えることができるので、いろんな値で関数がどのようなグラフになるのかを実感しよう。

y=
x2
+x
+1

 これでわかるように$b,c$は放物線の位置を決めるパラメータ関数の独立変数とは別の「変化できる量」をパラメータ(媒介変数)と呼ぶ。であり、$b,c$を変えても形は変わらず、平行移動するだけである。一方、$a$が変化すると放物線の形が変わる。

 この「2次の係数はとりあえず忘れて、1次の係数を見れば傾きがわかる」と「2次の係数はグラフの曲がり具合を表す」ということは、後で出てくる微分の考え方にもつながるので、重要である。
1次関数へ

受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

「公式覚えるな!」という先生の言葉がすっごく新鮮でした。
公式覚えるのは大事でもなんでもないのです。

正直、高校では公式を暗記してました。大学では理解することから始めたいです。
理解して、自分のものとして使えるようになる、それが勉強です。

タブレットを使ってどの値を変えればどういう風に動くのかを視覚的に感じれて、とっても分かりやすかった。
数学もまずはイメージ作りが大事です。

今までは何気なく関数を見ていたけど、数を変えたときのグラフの変化の規則がわかると関数は深いなと思うことができた。
変化によるグラフの動きをイメージしながら関数を理解していってください。

関数という言葉が数だけではなくもっと広い範囲で使えることがわかった。
一番よく使うのは「数」ですが、そうでない場合もたくさんあります。

$n=2$までで自然法則を説明できる話もびっくりです。
この先で少しずつやっていきます。

みんなの意見も自分が気づかないところで面白い!
いろんな人の話を聞くと「おっ、そんな視点があったか」ってのが出てきて楽しいですね。

自然を考えるときに$n=0,1,2$ぐらいまでが重要だということがわかりました。グラフをタブレットで見ることにより係数による違いが鮮明に確認できました。
自然がどうして$n=2$までを知ればいいのか、ってのはなかなか面白いし、不思議ですね。

先生がとても楽しそうで、これからの授業が楽しみである。
数学は楽しいですよ(物理もその他の科学も)。

いろいろ質問します。よろしくお願いします。
どんどん質問してください。よろしく。

教科書をまだ持っていなくて不自由を感じたので、次回までに購入します。
教科書は持っておいて、末永く使ってください。

関数をより感覚的に理解できました。半年後に今より数学を好きになれるように頑張ります。
是非、好きになってください。

今日の授業で自分には考える力と気づく力が足りないと思った。もっと頭を使って次の授業を受けたいです。
使いましょう使いましょう。頭は使い倒しましょう。

このiPad便利。
えっと、iPadはアップルの製品で、これはandroidの方です。

双曲線などの一つのxに二つのyがあるものは関数とはいわないということを初めて知った。
二つ値がある場合は「二価関数」とか名前をつけて、関数とは別に扱います。

数学は苦手で覚える科目だと思っていたので、まだ理解するという感覚がわからないので、これから理解できるようになりたいです。
「覚える」つもりで勉強すると、むしろ覚えること多すぎて大変だと思います。「理解」をしていきましょう。

科学のために必要な数学を使えるようになるという意識が大事だとわかった。
そうです。「自分の使える道具にする」というつもりで数学を勉強しましょう。

眠くなった。
うーむ。次からもっとみんなに質問して寝る暇ないようにするかな。

先生が元気だった。
みんなも元気出していこう!