$\def\coldr{\rcol{\mathrm dr}}\def\coldvecx{\xcol{\mathrm d\vec x}}\def\intdx{\opcol{\int \mathrm dx}}\def\E{\mathrm e}\def\I{\mathrm i}\definecolor{opcol}{RGB}{149,139,0}\definecolor{hai}{RGB}{137,137,137}\definecolor{tcol}{RGB}{166,54,109}\definecolor{kuro}{RGB}{0,0,0}\definecolor{xcol}{RGB}{169,103,49}\def\opcol#1{{\color{opcol}#1}}\def\ddx{\opcol{{\mathrm d\over \mathrm dx}}}\def\ddt{\opcol{{\mathrm d\over \mathrm dt}}}\def\xcol#1{{\color{xcol}#1}}\definecolor{ycol}{RGB}{217,61,137}\def\ycol#1{{\color{ycol}#1}}\def\haiiro#1{{\color{hai}#1}}\def\kuro#1{{\color{kuro}#1}}\def\kakko#1{\haiiro{\left(\kuro{#1}\right)}}\def\coldx{{\color{xcol}\mathrm dx}}\def\Odr{{\cal O}}\definecolor{ncol}{RGB}{217,51,43}\def\ncol#1{{\color{ncol}#1}}\definecolor{zcol}{RGB}{196,77,132}\def\zcol#1{{\color{zcol}#1}}\definecolor{thetacol}{RGB}{230,0,39}\def\thetacol#1{{\color{thetacol}#1}}\def\diff{\mathrm d}\def\kidb{\opcol{\mathrm db}}\def\kidx{\opcol{\mathrm dx}}\def\coldy{\ycol{\mathrm dy}}\def\coldtheta{\thetacol{\mathrm d\theta}}\def\ddtheta{\opcol{{\mathrm d\over\mathrm d\theta}}}\def\tcol#1{{\color{tcol}#1}}\def\coldt{\tcol{\mathrm dt}}\def\kidtheta{\opcol{\mathrm d\theta}}\def\dtwodx{\opcol{\diff^2\over\diff x^2}}\def\kokode#1{~~~~~~~{↓#1}}\def\goverbrace{\overbrace}\def\coldz{\zcol{\mathrm dz}}\def\kidt{\opcol{\mathrm dt}}\definecolor{rcol}{RGB}{206,114,108}\def\rcol#1{{\color{rcol}#1}}\def\coldtwox{\xcol{\mathrm d^2x}}\def\PDC#1#2#3{{\opcol{\left(\opcol{{\partial \kuro{#1}\over \partial #2}}\right)}}_{#3}}\def\PDIC#1#2#3{{\opcol{\left(\opcol{\partial \over \partial #2}\kuro{#1}\right)}}_{#3}}\def\PD#1#2{{\opcol{\partial \kuro{#1}\over \partial #2}}}\def\PPDC#1#2#3{{\opcol{\left(\opcol{\partial^2 \kuro{#1}\over \partial #2^2}\right)}}_{#3}}\def\PPDD#1#2#3{{\opcol{{\partial^2 \kuro{#1}\over \partial #2\partial #3}}}}\def\PPD#1#2{{\opcol{{\partial^2 \kuro{#1}\over \partial #2^2}}}}\def\kidy{\opcol{\diff y}}\def\ve{\vec{\mathbf e}}\def\colvecx{\xcol{\vec x}}\definecolor{usuopcolor}{RGB}{237,234,203}\def\usuopcol#1{\color{usuopcolor}#1}\def\vgrad#1{{\usuopcol{\overrightarrow{\opcol{\rm grad}~\kuro{#1}}}}}\def\dX{\rcol{\mathrm dX}}\def\dY{\thetacol{\mathrm dY}}\def\opdf{\opcol{\mathrm df}}\def\coldf{\tcol{\mathrm df}}\def\dtwof{\opcol{\mathrm d^2f}}\def\murasakidb{\zcol{\mathrm d b}}\def\ao{\ycol}\def\aodV{\ycol{\diff V}}\def\aka{\xcol}\def\akadm{\xcol{\diff m}}\def\gunderbrace{\underbrace}$
今日はまず「線形」「線形非斉次」「線形斉次」「重ね合わせの原理」などの復習をしたのち、線形非斉次な微分方程式を解く時の常套手段について話した。
重ね合わせの原理は別に難しい話ではなく、たとえば
$$
\left({\diff\over\mathrm dx}-3\right)y_1=c_1
$$
という方程式と
$$
\left({\diff\over\mathrm dx}-3\right)y_2=c_2
$$
という方程式があれば、
$$
\left({\diff\over\mathrm dx}-3\right)(\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=\alpha_1c_1+\alpha_2c_2
$$
という式が出て来るよね、ということ。いわば、単なる足算である。
これのおかげで「$n$階線形斉次常微分方程式の解を$n$個見つけたら、それ以上探さなくてよい」となることに注意。
特に、この後使うのは、
$C_1\kakko{\xcol{x}}$を源とする非斉次方程式の解$+$斉次方程式の解$=$$C_1\kakko{\xcol{x}}$を源とする非斉次方程式の解
である。つまり、線形非斉次微分方程式の一般解を求めるという問題は、
- 「線形斉次微分方程式の一般解」を求める。
- 「線形非斉次微分方程式の特解」を求める。
の二段階に分けられるのである。
簡単な例をやってみよう。
速度に比例する空気抵抗$ -K\ddt\xcol{x}$と重力$-mg$を受けて落下していく物体の運動方程式は
\begin{equation}
m\left(\ddt\right)^2 \xcol{x}= -K\ddt\xcol{x}-mg\label{Fkvmg}
\end{equation}
である。この式では時間$\tcol{t}$が独立変数で、物体の位置座標$\xcol{x}$が従属変数になっている。非斉次方程式である\式{Fkvmg}の解は\fukidasi{非斉次方程式の特解}にこの\fukidasi{斉次方程式の一般解}を足せば作ることができる。この方程式が非斉次になっているのは$-mg$という項のせいだから、これを消して
% この方程式を非斉次にしている$-mg$を消せば斉次な方程式
\begin{equation}
m\left(\ddt\right)^2 \xcol{x}= -K\ddt\xcol{x}\label{Fkv}
\end{equation}
という斉次方程式を作ってこれを解くことにする。この解はすぐにわかる。というのは$v\,\kakko{\tcol{t}}=\ddt\xcol{x}$とおけばこの式は
\begin{equation}
\ddt v\,\kakko{\tcol{t}}= -{K\over m}v\,\kakko{\tcol{t}}
\end{equation}
となる。この式の答えを得るには「微分したらもとの$-{K\over m}$倍になる関数」を探せばよく、
\begin{equation}
v\,\kakko{\tcol{t}}= C\E^{-{K\over m}\tcol{t}}~~~~（Cは任意定数）
\end{equation}
が解である。$v\,\kakko{\tcol{t}}=\ddt\xcol{x}$だからもう一回積分して、
\begin{equation}
x\kakko{\tcol{t}}= -{m\over K}C\E^{-{K\over m}\tcol{t}}+C_1~~~~（C_1は任意定数）
\end{equation}
となる。$-{m\over K}C$を$C_2$と置いて、これも未定のパラメータとすれば、
斉次方程式の一般解$x\kakko{\tcol{t}}= C_1+C_2\E^{-{K\over m}\tcol{t}}$
となる。よって、後は元の方程式の特解を見つければよい。
ここで、求めた解のアニメーション
を動かした。
簡単な関数を代入して試行錯誤する方法で特解を探そう。まず$\xcol{x}=(定数)$だと$\ddt\xcol{x}$も$\left(\ddt\right)^2\xcol{x}$も0になってしまうから、$0=0-mg$となって成立しない。そこで次に簡単な、$\xcol{x}=v_0\tcol{t}$（$v_0$は定数）を試すと、$0= -Kv_0 -mg$となるから$v_0=-{mg\over K}$とすれば$\xcol{x}=-{mg\over K}\tcol{t}$という特解を得る。
特解を考える方法として、物理的に「極端な状況」を考えるという手もある。たとえばこの場合、「等速運動になるのはどんなときだろう？」と考えてみる。それはつまり$\left(\ddt\right)^2 \xcol{x}=0$になるということ。
この二つの和が非斉次方程式の一般解である。
ここで、求めた解のアニメーション
を動かした。
残りの時間は以下の問題をやった。
重力を受けているバネ振子の運動方程式は
\begin{equation}
m\left(\ddt\right)^2\xcol{x}= -k\xcol{x}-mg
\end{equation}
である。この微分方程式を以下の手順で解け。
- 「線形斉次微分方程式$m\left(\ddt\right)^2\xcol{x}= -k\xcol{x}$の一般解」を求める。
- 「線形非斉次微分方程式$m\left(\ddt\right)^2\xcol{x}= -k\xcol{x}-mg$の特解」を求める。
- 以上二つを足す。