全微分と偏微分

　「関数$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の微小変化」を表す量は、以下の式のように書ける。

関数$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の全微分

\begin{equation} \mathrm df\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy\label{koregazenbibun} \end{equation}

　この$\diff$？という形の式を「？の全微分(exact differential)」と呼ぶ。前に「偏微分には方向がある」と述べたが、上の式は「$\xcol{x}$方向の偏微分係数$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}$」と「$\ycol{y}$方向の偏微分係数$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}$」の二つの情報を含む。さらに全微分から「$\xcol{x}$方向でも$\ycol{y}$方向でもない斜め方向の微分」も含むすべての偏微分を考えることができる。

　全微分の式は（常微分のとき\文中式{$f\kakko{\xcol{x}}$の変化が$f'\kakko{\xcol{x}}\coldx$と書けた}のと同様に）

　$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$に起こる変化のうち、 $\xcol{x}$の変化によって起こる変化は$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx$と書け、$\ycol{y}$の変化によって起こる変化は$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$と書ける。

というふうに「読む」べきである。その全部（今は2変数関数を考えているから、これで「全部」）、つまり$\xcol{x}$の変化と$\ycol{y}$の変化の両方の影響を考えた結果なので「全微分」と呼ぶ。

　$\xcol{x}$軸方向の$\coldx$だけの移動による関数の変化量が$\PD{f}{\xcol{x}}$で、同様に$\ycol{y}$軸方向の$\coldy$だけの移動による関数の変化量が$\PD{f}{\ycol{y}}$で表せる。ここではより一般的な$(\coldx,\coldy)$で表せる移動を、次の図のように考えよう。

　このときの関数の変化量こそが全微分の式の意味するところである。全微分の式\式引用{$\mathrm df\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$において、$\coldy=0$にしてから${\mathrm df\over \coldx}$を計算したもの、すなわち \begin{equation} \begin{array}{rll} \mathrm df\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=&\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx \end{array}\label{henbibunzeronisuru} \end{equation} として両辺を$\coldx$で割って${\mathrm df\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\over \coldx}$を計算した結果が$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}$であり、同様に、$\coldx=0$にしてから${\mathrm df\over \coldy}$を計算したものが$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}$である、と考えてもよい。

　$\diff $ではなく$\partial$という記号を使っている場合は「独立変数の微小変化（$\diff$なんとか）のうち一つ以外は消したよ」という宣言がされていると思えばよい。

　たとえば横$\xcol{x}$で縦$\ycol{y}$の長方形の面積$\rcol{S}=\xcol{x}\ycol{y}$の全微分はライプニッツ則により \begin{equation} \diff S=\gunderbrace{\coldx \ycol{y}}_{\xcol{x}を微分した項}+ \gunderbrace{\xcol{x}\coldy}_{\ycol{y}を微分した項} \end{equation} となる。面積は、$\xcol{x}$が$\coldx$増加すれば、$\ycol{y}\coldx$だけ、$\ycol{y}$が$\coldy$増加すれば、$\xcol{x}\coldy$だけ増加することを上の式は表している。これを数式で表現すれば、$\PDC{(\xcol{x}\ycol{y})}{\xcol{x}}{\ycol{y}}=\ycol{y}$と、$\PDC{(\xcol{x}\ycol{y})}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=\xcol{x}$になる。図で示せば次の通り。

　$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の全微分のうち$\coldx$の係数である$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}$を取り出したもの（$\ycol{y}$方向も同様）が「偏微分」である。

以上で行ったことを、

　$\mathrm df$という「任意の方向」で定義されているものから、「$\xcol{x}$方向で計算されるもの」である$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}$と、「$\ycol{y}$方向で計算されるもの」である$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}$の二つを取り出した。

と考えると、それは「ベクトル$\vec A=A_x\ve_x+A_y\ve_y$から$\xcol{x}$成分$A_x$と$\ycol{y}$成分$A_y$を取り出す」過程に似ている。

　$\mathrm df=\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$と$\vec A=A_x\ve_x+A_y\ve_y$を見比べると、その係数を見れば「その方向の成分」がわかるという意味で、$\coldx$や$\coldy$が$\ve_x$や$\ve_y$のような基底ベクトルの役割を果たしていることがわかる。

　全微分を考えることの意義の一つとして、「全微分は変数の取り方に依らない」ことがある。偏微分$\PD{f}{\xcol{x}},\PD{f}{\ycol{y}}$は我々がどのように座標（たとえば$\xcol{x},\ycol{y}$）を選んだかによって変わる量であるが、全微分として組み合わされた$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$は座標を変えても変わらない量になる（もともと、$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の変化量という意味のある量だから）。物理量が座標を変えても変わらない量、すなわち「座標系の取り方に依存しない量」であるかどうかは、しばしば重要な性質となる。

　このことを使って変数変換をしたときの偏微分の関係を導くこともできる。$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$と$g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}$という「使っている変数が違うが代入すれば同じになる関数」を考える。この二つは値は等しいので、当然全微分 \begin{equation} \begin{array}{rl} \mathrm df=&\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy\\[4mm] \diff g=&\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}{\thetacol{Y}}\coldX+\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}{\zcol{X}}\coldY \end{array}\label{zenbibundeldeldeldel} \end{equation} は等しい（$\mathrm df=\diff g$）。$\diff g$の式に、$\coldX=\PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$と$\coldY=\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$を代入すると \begin{equation} \PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}{\thetacol{Y}}\goverbrace{\left(\PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy \right)}^{\coldX} + \PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}{\zcol{X}}\goverbrace{\left(\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy\right)}^{\coldY} \end{equation} になるから、 \begin{equation} \begin{array}{rl} \PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy = &\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}{\thetacol{Y}} \PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx +\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}{\thetacol{Y}} \PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy \\ +&\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}{\zcol{X}} \PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx +\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}{\zcol{X}}\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy \end{array} \end{equation} を得る。

　左辺と右辺の$\coldx,\coldy$の係数を各々比較することにより$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}=\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}{\thetacol{Y}}\PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}+\PDC{g\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}{ \zcol{X}}\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}$と$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=\PDC{g\,\kakko{{\zcol{X}},{\thetacol{Y}}}}{\zcol{X}}{\thetacol{Y}}\PDC{X\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}+\PDC{g\,\kakko{{\zcol{X}},{\thetacol{Y}}}}{\thetacol{Y}}{\zcol{X}}\PDC{Y\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}$を得る。

全微分が0になる条件

例１：$S=\xcol{x}\ycol{y}$

　$\rcol{S}=\xcol{x}\ycol{y}$を再び考えよう。$\rcol{S}$の全微分を0にすることは、条件「$\rcol{S}$が一定」をつけることである。右図の2次元の面（曲面）は$\xcol{x},\ycol{y},\rcol{S}$という3次元座標（自由度3）に$\rcol{S}=\xcol{x}\ycol{y}$という制限がついたもので、$\rcol{S}$は自由な値を取る（自由度2）。$\rcol{S}$が$S(定数)=\xcol{x}\ycol{y}$のようにして一つの値$S$に固定されると、自由度がさらに一つ減り1となった結果が右図の1次元的な線（曲線）である。変数$\rcol{S}$に対する$\rcol{S}=\xcol{x}\ycol{y}$が「山の地表面」を表すと考えると、定数$S$に対する$S=\xcol{x}\ycol{y}$が表現するのはいわば「等高線」である。それも図に示した。

　$\rcol{S}$を一定にしたことにより、1変数関数（$\xcol{x}$と$\ycol{y}$のどちらかが独立変数で、もう片方が従属変数）となっている。 面積を一定に$\rcol{S}=\xcol{x}\ycol{y}=C(定数)$を保ちつつ、すなわち$\rcol{ S}$の全微分を0（$\diff S=0$）にしつつ$\xcol{x}$と$\ycol{y}$を変化させる様子を図示すれば右の図のようになる。このときの$\coldx$と$\coldy$は0ではないが、$\coldx \ycol{y}+\xcol{x}\coldy=0$という関係を持つ。この式は${\coldy\over \coldx}=-{\ycol{y}\over \xcol{x}}$または$\coldx:\coldy=\xcol{x}:(-\ycol{y})$と書き直すこともできる。

　$\ycol{y}\coldx + \xcol{x}\coldy=0$をグラフで表現したのが右の図である。定数$S$を一つ指定することで線（この場合は双曲線）が引ける。ここでは$\xcol{x}\ycol{y}=1$のグラフのみを描いた。グラフ上に表現したように、$\coldx:\coldy=\xcol{x}:(-\ycol{y})$となっていて、$(\xcol{x},\ycol{y})$を斜辺とする直角三角形と$(\coldx,\coldy)$を斜辺とする直角三角形は、上下をひっくり返した相似形である。

　$\ycol{y}\coldx + \xcol{x}\coldy=0$から$\xcol{x}\ycol{y}=一定$を求めるのは、各点における接線の傾きからこの双曲線を導き出す計算であり、逆に「全微分を求める」というのは双曲線から接線の傾きを（$\coldx$と$\coldy$の比の形で）求める計算だったと思ってもよい。

例２：$R=\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}$

　$\xcol{x}$と$\ycol{y}$が$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}$が一定であるという関係を持っている場合、$\xcol{x}$と$\ycol{y}$それぞれの変化量である$\coldx$と$\coldy$も独立ではない。$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}=R（一定）$を保ちつつ（グラフ上では、原点を中心とする半径$R$の円の上に乗りつつ）変化させた様子を描いたのが右の図である。

　右の相似な三角形に注意すると、ベクトル$(\xcol{x},\ycol{y})$とベクトル$(\coldx,\coldy)$の向きが${\pi\over 2}$（\ang{90}）違うことが図からわかり、$\xcol{x}:\ycol{y}=-\coldy:\coldx$であるから \begin{equation} \xcol{x}\coldx+\ycol{y}\coldy=0\label{xdxydyzero} \end{equation} という式が出る。一方、$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }$の全微分が0である元々の$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}=R$の右辺が定数$R$で、定数の全微分は0だから。という条件は \begin{equation} {\PD{\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }}{\xcol{x}}}\coldx +{\PD{\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }}{\ycol{y}}}\coldy ={\xcol{x}\over\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }}\coldx + {\ycol{y}\over\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }}\coldy=0 \label{enzenbibun} \end{equation} という、本質的に（両辺に$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }$を掛ければ）同じ式になる。

　この$\xcol{x}\coldx+\ycol{y}\coldy=0$という式は、$(\xcol{x},\ycol{y})\cdot \left(\coldx,\coldy\right)=0 $のように$\left(\coldx,\coldy\right)$というベクトル（図の$\overrightarrow{\rm PP'}$）と$\left(\xcol{x},\ycol{y}\right)$というベクトル（図の$\overrightarrow{\rm OP}$）の内積が0（垂直）という式だと解釈することもできる。これは「円の接線」の性質に合致している。つまりこの$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}$を一定としての全微分は「$\thetacol{\theta}$方向の微分」になる。 ここで「円の上」を表す式は$\xcol{x}^2+\ycol{y}^2=R^2$でもよいが、これの全微分は$2\xcol{x}\coldx+2\ycol{y}\coldy=0$という式になり、本質的には同じ式である（両辺に${1\over 2\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2 }}$を掛ければ戻る）。

全微分形

　以上、二つの例を示したが、全微分$=0$の条件は「$\xcol{x}$と$\ycol{y}$の間にある関係式が成り立つ」ことであり、「$\xcol{x}$-$\ycol{y}$グラフの上の曲線で表現される」ことでもある。つまり2変数を含む式に対する全微分$=0$の条件は関数を一つ決めているのであり、これも一種の微分方程式である。 解ける形の常微分方程式として「全微分形になる場合」があるので、その場合の解き方と、全微分形でない場合に全微分形に直していく方法について考えよう。

　ある常微分方程式${\coldy\over \coldx}=f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$を$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx + Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy =0$と変形して、なんらかの計算の後に$\diff$なんとか=0の形にまとめ直すことができれば（すなわち、\文中式{全微分$=0$}の形に書き直すことができれば）、なんとか=定数と積分ができる。

　つまり、$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx + Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy$を$\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}\coldx+\PDC{f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\coldy$の形に直す、という方針で微分方程式を解くのである。たとえば、${\coldy\over \coldx}={\xcol{x}^2+2\xcol{x}\ycol{y}\over -\xcol{x}^2+\ycol{y}}$は、 \begin{equation} (\xcol{x}^2+2\xcol{x}\ycol{y})\coldx + (\xcol{x}^2-\ycol{y})\coldy=0 \end{equation} と直した後に、 \begin{equation} \diff \left({1\over 3}\xcol{x}^3 + \xcol{x}^2\ycol{y}-{1\over 2}\ycol{y}^2\right)=0 \end{equation} とまとめられるこのまとめ方をさっと思いつくのは難しいが、逆に微分を計算すると上の式に戻ることを確かめるのは易しい。ので、 \begin{equation} {1\over 3}\xcol{x}^3 + \xcol{x}^2\ycol{y}-{1\over 2}\ycol{y}^2=C（一定） \end{equation} が解である。このような手順で、全微分形なら「全微分じゃない場合ってあるの？」という疑問が湧くかもしれないが、その点は後で説明しよう。常微分方程式が簡単に解ける。

全微分形でない微分方程式を全微分形にする

　微分方程式を変数分離して積分することで解を求め、これから一定になる量がわかる。

というのが変数分離を使って解く微分方程式の解法だが、

微分方程式を何かの全微分の形に直して、それから一定になる量を導く。

という微分方程式の解法も有り得るこの場合、変数分離不可能でも解ける可能性が出てくる。。

　たとえば、 \begin{equation} f'\kakko{\xcol{x}}\ycol{y}\coldx+f\kakko{\xcol{x}}\coldy=0 \end{equation} のような微分方程式があったならば、 \begin{equation} \diff \left(f\kakko{\xcol{x}}{\ycol{y}}\right)=0 \end{equation} という形にまとめることで解いていくことができそうだ。

　解ける微分方程式であっても、単に$P\coldx+Q\coldy=0$の形にしただけでは全微分形にはなっていないこともある。元の式が全微分でなくとも、何らかの関数を掛けてやることで全微分形に直していくことができる場合もある。

積分可能条件と積分因子

積分可能条件

　以下のような問題を考えよう。

式$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx+Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy$は、何かの式の全微分だろうか？

　たとえば我々はすでに$\ycol{y}\coldx+\xcol{x}\coldy$は$\xcol{x}\ycol{y}$の全微分であることや、${\xcol{x}\over \sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}}\coldx+{\ycol{y}\over \sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}}\coldy$が$\sqrt{\xcol{x}^2+\ycol{y}^2}$の全微分であることを知っている。では今ここで$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx+Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy$という式を見せられて、「これは○○の全微分である」とわかるだろうか？---たとえば$\xcol{x}\ycol{y}\coldx+\xcol{x}^2\coldy$という式は、何かの全微分になっているだろうか？

　今から微分方程式を解こうとしているとき、この式が全微分に直せるかどうかがすぐに判定できれば、たいへん有利である。そこで、上の問題に答えるキーとなる、ある条件を以下で求めたい。

　ある関数$U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$があったとすると、その全微分は$\gunderbrace{ \PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}}_{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}？}\coldx +\gunderbrace{ \PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}}_{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}？}\coldy$だから、 \begin{equation} \PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}=P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}},~~~ \PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} \end{equation} となるような$U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$を見つけることができればよい。問題は、$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}},Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の形によっては解が見つからないことである。

　そこで、$U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$が見つかるための必要条件を求めておこう（これがあれば「あ、この場合は全微分にできない」がすぐわかる）。微分可能な関数$f\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の偏微分が持つべき性質として、「偏微分の交換可能性」があった。その式から、 \begin{equation} Uが存在する。\Rightarrow \opcol{\biggl(\opcol{\partial \over \partial \xcol{x}}\gunderbrace{\PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}}_{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}\biggr)_{\!\!\ycol{y}}}= \opcol{\biggl(\opcol{\partial \over \partial \ycol{y}}\gunderbrace{\PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}}_{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}\biggr)_{\!\!\xcol{x}}} \end{equation} がわかる。よってこの対偶「$A\Rightarrow B$」に対して「$Bでない\Rightarrow Aでない$」をその対偶と呼ぶ。ある命題が正しければその対偶も正しい。を取れば、$\PDC{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}- \PDC{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\neq0$$\Rightarrow U$は存在しないとなる。すぐ後で示すようにこの逆も成り立つので、

積分可能条件

\begin{equation} \PDC{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}= \PDC{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}~~~または~~~ \PDC{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}- \PDC{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=0\label{sekibunkanou} \end{equation} は$\diff\left(U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\right)=P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx+Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy$となる$U$が存在するための必要十分条件である。

がわかる。

　たとえば$\xcol{x}\ycol{y}\coldx+\xcol{x}^2\coldy$は、$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=\xcol{x}\ycol{y},Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=\xcol{x}^2$であり$\gunderbrace{\PD{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}}_{\xcol{x}}-\gunderbrace{\PD{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}}_{2\xcol{x}}\neq0$なので、積分可能条件は満たされず、全微分ではない。

　この逆「積分可能条件が満たされる$\Rightarrow U$が存在する」を示そう。そのためには実際に$U$を作ってみせればよい。結論を書くと \begin{equation} U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=\int_{x_0}^{\xcol{x}}\coldt P\,\kakko{\tcol{t},\ycol{y}} +\int_{y_0}^{\ycol{y}} \coldt Q\,\kakko{x_0,\tcol{t}}+U\kakko{x_0,y_0}\label{Uintone} \end{equation} となる。

　確認するには、これを$\xcol{x}$で微分してみると確かに$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$が、$\ycol{y}$で微分してみるとたしかに$Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$が出て来る。

　なお、ここでやった計算で$\xcol{x}$と$\ycol{y}$の役割を逆転させれば、 \begin{equation} U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}=\int_{x_0}^{\xcol{x}}\coldt P\,\kakko{\tcol{t},y_0} +\int_{y_0}^{\ycol{y}} \coldt Q\,\kakko{\xcol{x},\tcol{t}}+U\kakko{x_0,y_0}\label{Uinttwo} \end{equation} という式が作られる。これも正しい$U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$である。

　この二つの積分が「どの場所の何を積分しているか」を図で表したものが上のグラフである。場所$(\xcol{x},\ycol{y})$における$U$を求めるために、場所$(x_0,y_0)$から出発する。まず右へ$(\xcol{x},y_0)$まで進んでから上へ$(\xcol{x},\ycol{y})$まで進む積分とまず上へ$(x_0,\ycol{y})$まで進んでから右へ$(\xcol{x},\ycol{y})$まで進む積分がある。この二つの積分結果が同じになることが積分可能条件そのものなのだ。