授業の最初で、復習を兼ねて練習問題をいくつかやった。というわけで今日はあまり進んでいない。
練習問題：以下の関数の全微分を求めよ。
答えは
である。
これは関数に$(x+\diff x,y+\diff y)$を代入したものと$(x,y)$を代入したものの差を計算しても良い（たとえば$(x+\diff x)^3(y+\diff y)^2 - x^3y^2$）が、 $$ \diff U(x,y)=\PDC{U(x,y)}{x}{y}\diff x+\PDC{U(x,y)}{y}{x}\diff y $$ という式（つまり$x$方向の偏微分と$y$方向の偏微分を計算し、各々$\diff x,\diff y$を掛けて足す）を計算しても良い。
また、$U=\sqrt{x+y^2}$の全微分を計算するときは、まず$U^2 = x+y^2$と直してから微分して、 $$ 2U\diff U= \diff x +2y \diff y $$ としてから $$ \diff U= {1\over 2U}\diff x +{y\over U} \diff y $$ と計算してもOK。
最後の$\cos(xy)$を微分するときは、まず$xy$を一文字かのとごく扱って $$ -\sin(xy)\diff(xy) $$ としてから$\diff(xy)=y\diff x +x\diff y$を代入するという手もある（こういうのは計算方法はいくらでもあるので、自分で工夫して求めていこう）。
先週やったのは積分可能条件で、
式$P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx+Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy$は、何かの式の全微分だろうか？
を考えるとき、
積分可能条件
\begin{equation} \PDC{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}= \PDC{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}~~~または~~~ \PDC{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}- \PDC{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=0\label{sekibunkanou} \end{equation} は$\diff\left(U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\right)=P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx+Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy$となる$U$が存在するための必要十分条件である。
を手がかりにすればよい。
上でやった全微分の結果は当然、積分可能条件を満たしている。確認しよう、という問題をここでやった。
たとえば、 $$ y\diff x - x\diff y $$ という式は全微分になってない。ところが、この式に${1\over y^2}$を掛けるとはさっきやった問題の $$ {1\over y}\diff x -{x\over y^2}\diff y $$ になる。つまり「全微分じゃない」と思っても「何かを掛けると全微分になるかもしれない」というチャンスがまだ残っている。
たとえば$P\coldx+Q\coldy=0$の右辺が0なので、両辺にある関数$\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$を掛けて \begin{equation} \lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldx +\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}\coldy=0 \end{equation} として、 \begin{equation} \PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}=\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}, ~~~ \PDC{U\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} \end{equation} を満たすことができれば全微分形ではなかった微分方程式を全微分形に直せる。掛算した$\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$のことを「積分因子(integrating factor)」と呼ぶ。積分因子は \begin{equation} \PDC{\left( \lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} \right)}{\xcol{x}}{\ycol{y}}- \PDC{\left( \lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} \right)}{\ycol{y}}{\xcol{x}}=0 \end{equation} すなわち \begin{equation} \PDC{\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}} Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} - \PDC{\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} }{\ycol{y}}{\xcol{x}} P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} = -\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} \left( \PDC{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}{\ycol{y}}-\PDC{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}}{\xcol{x}}\right) \label{lambdakettei} \end{equation} という方程式を満たせばよい。しかし、この式から$\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$の形を求めるのは一般には簡単ではない（また、この方程式の解$\lambda\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}$は一意ではない。たまたま、$\lambda$が$\xcol{x}$のみの関数になるような場合はこの式が \begin{equation} \opcol{\diff \kuro{\lambda\,\kakko{\xcol{x}}} \over \diff x} Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}} = -\lambda\,\kakko{\xcol{x}} \left( \PD{Q\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\xcol{x}}- \PD{P\,\kakko{\xcol{x},\ycol{y}}}{\ycol{y}} \right)\label{lambdaketteij} \end{equation} という形になるので、少し解きやすくなる。実際に解くときには、いろいろな場合を想定して試行錯誤を行う。
ここで具体的な計算問題をいくつかやりました。
物理における応用としては力学的エネルギーの導出がある。運動方程式$m{\xcol{\diff v}\over\coldt}=-{\ycol{\diff U}\over\coldx}$は$\zcol{v},\ycol{U}$を独立変数にして書くと \begin{equation} m\xcol{\diff v} = -\ycol{\diff U} \times \goverbrace{{1\over \zcol{v}}}^{{{\coldt\over\coldx}}} \end{equation} と書くことができる。両辺に積分因子$\zcol{v}$を掛けると$m\zcol{v}\xcol{\diff v} =-\ycol{\diff U}$と全微分形となり \begin{equation} {1\over2}m\zcol{v}^2 +\ycol{U}=一定 \end{equation} と積分できる。これが力学的エネルギーの保存則である。
青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。