面積分
2次元面上の面積分
直交座標での面積
2次元平面上で行う積分として、ここまでで出てきた「線積分」の他に「面積分（または面積積分）」というものもある。
面積分の一番簡単な例は面積そのものの計算である。直交座標であれば、面積分は「微小面積$\coldx \coldy$を積分する（足す）」というが面積分の意味するところである。
線積分が「一般の線」で表現されたように、面積分も「一般の領域」で計算できるように書き方と計算法を整備したい。
円の面積を計算するには、微小面積$\coldx\coldy$を積分（足算）する。どのような範囲で積分するかが重要で、右のように円を設定すると、ある一つの$\ycol{y}$の値に対して$\xcol{x}=-\sqrt{R^2-\ycol{y}^2}$から$\xcol{x}=\sqrt{R^2-\ycol{y}^2}$までの範囲で足算し、次に$\ycol{y}=-R$から$\ycol{y}=R$までという足算をすればよい。
具体的な積分は以下の通りである。 \begin{equation} \begin{array}{rl} S=&\int_{-R}^R\coldy\int_{-\sqrt{R^2-\ycol{y}^2}}^{\sqrt{R^2-\ycol{y}^2}}\coldx\kokode{\xcol{x}で積分} \\ =&\int_{-R}^R\coldy 2\sqrt{R^2-\ycol{y}^2}~~ \kokode{\ycol{y}=R\cos\thetacol{\theta}と置換し、積分の上端と下端を入れ替える}\\ =&\int_{0}^\pi \coldtheta R\sin\thetacol{\theta}\times 2R\sqrt{1-\cos ^2\thetacol{\theta}}\\ =&2R^2\int_{0}^\pi \coldtheta \sin^2\thetacol{\theta}=2R^2\int_{0}^\pi \coldtheta {1-\cos2\thetacol{\theta}\over 2}= \pi R^2 \end{array} \end{equation}
次に、円の面積を極座標を使って計算してみよう。この場合、積分すべき「微小面積」は$\rcol{r}\coldr \coldtheta$となる。図に示した領域は「長方形」に見えないかもしれないが、$\coldr,\coldtheta$が微小量であることを考えると、これを長方形とみなして計算してよい。積分範囲は$\rcol{r}$を$0$から$R$まで、$\thetacol{\theta}$を$0$から$2\pi$までであるから \begin{equation} S= \int_0^R\coldr \int_0^{2\pi}\coldtheta \rcol{r}=\left[{\rcol{r}^2\over 2}\right]^R_0\left[\thetacol{\theta}\right]_0^{2\pi}={R^2\over 2}\times 2\pi=\pi R^2 \end{equation} が答えである（当然、直交座標による計算と一致する）。
面積は外積であるを失念して、単純に「掛算」を行うと \begin{equation} \begin{array}{rl} &\left(\cos\thetacol{\theta}\coldr-\rcol{r}\sin \thetacol{\theta}\coldtheta\right) \left(\sin\thetacol{\theta}\coldr+\rcol{r}\cos\thetacol{\theta}\coldtheta\right)\\ =&\coldr^2\cos\thetacol{\theta}\sin \thetacol{\theta} +\rcol{r}\coldr\coldtheta \left(\cos ^2\thetacol{\theta}-\sin ^2\thetacol{\theta}\right) -\rcol{r}^2\coldtheta^2\cos\thetacol{\theta}\sin \thetacol{\theta} \end{array} \label{machigaidrdtheta} \end{equation} となって$\rcol{r}\coldr\coldtheta$にはたどりつかない。ちゃんと面積として考えるには、次項に示すようにベクトルの外積の計算を行う。
面積分とヤコビアン
ここまでで直交座標と極座標の場合で面積積分を考えたが、より一般的な変数を使うときのために、この項では座標系を変換したときの面積積分の変化を考えよう。
2次元の面積要素は、二つの微小ベクトルを使って$\coldvecx_{(1)}\times\coldvecx_{(2)}$と書くことができる（今は2次元を考えているので、外積はスカラーである）。
ここで使う記号の意味を確認しておく。単に$\coldvecx$と書いたときは「向きを指定せず、微小な変位を表現するベクトル」を意味する。これに（$\coldvecx_{(1)}$のように）$(1)$などの指定がついていると、特定の方向を向いたベクトルを表す。たとえば直交座標であれば$\coldvecx_{(1)}=\coldx \ve_x,\coldvecx_{(2)}=\coldy\ve_y$が、それぞれ$\xcol{x}$軸の向きと$\ycol{y}$軸の向きに向きが指定されたベクトルである。このように指定した場合の$\coldvecx_{(1)}\times\coldvecx_{(2)}$は$\coldx\ve_x\times\coldy\ve_y=\coldx\coldy$となる。
2次元極座標では「$\rcol{r}$方向」と向きを指定した$\coldr\ve_r$と「$\thetacol{\theta}$方向」と向きを指定した$\rcol{r}\coldtheta\ve_\theta$の外積をとって$\rcol{r}\coldr\coldtheta$となる。つまり面積要素は直交座標なら$\coldx\coldy$を、極座標なら$\rcol{r}\coldr\coldtheta$を取る（積分の仕方で変わる）。上で述べたように 、$\coldx\coldy=\rcol{r}\coldr\coldtheta$という式を文字通りに（$\coldx,\coldy$を個々に代入すると成り立つという意味で）解釈してはいけない。
この二つの式を結びつけるために、まず一般的な（向きを指定していない）変位ベクトル$\coldvecx=\coldx\ve_x+\coldy\ve_y$を考える。これに$\coldx=\cos\thetacol{\theta}\coldr-\rcol{r}\sin \thetacol{\theta}\coldtheta$と$\coldy=\sin\thetacol{\theta}\coldr+\rcol{r}\cos\thetacol{\theta}\coldtheta$を代入すると \begin{equation} \begin{array}{rl} \coldvecx=&(\coldr\cos \thetacol{\theta}-\rcol{r}\coldtheta \sin \thetacol{\theta})\ve_x +(\coldr\sin \thetacol{\theta}+\rcol{r}\coldtheta \cos \thetacol{\theta})\ve_y\label{dvecxrt} \end{array} \end{equation} を得る。この一般の方向を向いた$\coldvecx$は$\coldx,\coldy$の比を選択することで特定の方向を向かせることができる。ベクトル$\coldvecx$を$\rcol{r}$方向に向かせるために$\coldtheta$に依存する部分を0にし、$\coldr$に比例する部分を取り出す。その結果は$(\coldr \cos \thetacol{\theta}\ve_x+\coldr\sin \thetacol{\theta}\ve_y)$で、$\coldr\gunderbrace{(\cos\thetacol{\theta}\ve_x+\sin\thetacol{\theta}\ve_y)}_{\ve_r}$、つまり極座標での$\rcol{r}$方向への微小移動ベクトル$\coldr\ve_r$そのものとなる。
同じく、$\thetacol{\theta}$方向を向かせるために$\coldr$に依存する部分を0にして$\coldtheta$に比例する部分を取り出す。こちらの結果である$(-\rcol{r}\coldtheta \sin \thetacol{\theta}\ve_x+\rcol{r}\coldtheta\cos \thetacol{\theta}\ve_y)$は$\rcol{r}\coldtheta\gunderbrace{(-\sin \thetacol{\theta}\ve_x+\cos \thetacol{\theta}\ve_y)}_{\ve_{\theta}}$、つまり$\thetacol{\theta}$方向への微小移動ベクトル$\rcol{r}\coldtheta\ve_{\theta}$そのものである。
上の図に$\coldr\ve_r$ベクトルと$\rcol{r}\coldtheta\ve_\theta$ベクトルを示した。どちらも向きは$\thetacol{\theta}$に依存する。$\rcol{r}\coldtheta\ve_\theta$ベクトルの方は長さも$\rcol{r}$に依存する。これらのベクトルを直交座標で表すと$\coldr\ve_r=\coldr \cos \thetacol{\theta}\ve_x+\coldr\sin \thetacol{\theta}\ve_y$と$\rcol{r}\coldtheta\ve_\theta=-\rcol{r}\coldtheta \sin \thetacol{\theta}\ve_x+\rcol{r}\coldtheta\cos \thetacol{\theta}\ve_y$となる。これら二つのベクトルの外積を取ると、 \begin{equation} \begin{array}{rll} & \goverbrace{(\coldr \cos \thetacol{\theta}\ve_x+\coldr\sin \thetacol{\theta}\ve_y)}^{\small \coldtheta=0 にしたもの} \times \goverbrace{(-\rcol{r}\coldtheta \sin \thetacol{\theta}\ve_x+\rcol{r}\coldtheta\cos\thetacol{\theta}\ve_y)}^{\small\coldr=0 にしたもの}&\kokode{\ve_x\times\ve_x=\ve_y\times\ve_y=0} \\ =&\coldr \cos \thetacol{\theta}\ve_x\times \rcol{r}\coldtheta\cos \thetacol{\theta}\ve_y -\coldr\sin \thetacol{\theta}\ve_y\times \rcol{r}\coldtheta \sin \thetacol{\theta}\ve_x&\kokode{\ve_x\times\ve_y=1,\ve_y\times\ve_x=-1} \\ =&\coldr \rcol{r}\coldtheta\left( \cos\!^2 \thetacol{\theta}+\sin\!^2 \thetacol{\theta}\right) =\rcol{r}\coldr\coldtheta \end{array} \end{equation} となる（今2次元で考えているので、$\ve_x\times\ve_y=1,\ve_y\times\ve_x=-1$であるが、3次元のときは結果もベクトルとなる）。$\coldr\ve_r\times \rcol{r}\coldtheta\ve_{\theta}$という計算をして$\rcol{r}\coldr\coldtheta$を得ている間違った計算は外積にしなかったので$\coldr^2,\coldtheta^2$の項が消えないし$\coldr\coldtheta$の項も符号が合わない。ことになる（こう考えると$\rcol{r}\coldr\coldtheta$という答えになるのは当然である）。
積分の変換を略記して、$\coldx\coldy=\rcol{r}\coldr\coldtheta$のように書くことがよくあるが、これは \begin{equation} (\coldvecx の\xcol{x}方向)\times(\coldvecx の\ycol{y}方向) =(\coldvecx の\rcol{r}方向)\times(\coldvecx の\thetacol{\theta} 方向) \end{equation} という「外積の計算」の結果なのだと解釈すべきであるこの$\coldvecx$の$x$方向を単に$\coldx$（以下同様に$\coldy$や$\coldr$や$\rcol{r}\coldtheta$も）と書いて、$\diff \left(なんとか\right))$という表記は全てこのようなベクトルのようなものを表しているものとする表記方法もある。その表記方法では、$\coldx \coldy$ のような掛算が現れたら暗黙のうちに外積になっていると考えることにしている（その表記方法をとっているなら、$\coldx\coldy=\rcol{r}\coldr\coldtheta$は正しい）。簡便でよいのだが、本書では採用してない。。外積の結果であったことを忘れて計算してしまうと、間違った答えが出る。
一般的に$(\xcol{x},\ycol{y})$から$(\zcol{X},\thetacol{Y})$へと座標変換を行ったとき、 \begin{equation} ~\!\coldvecx =\gunderbrace{\left( \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}\coldX + \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}\coldY \right)}_{\coldx} \ve_x +\gunderbrace{\left( \PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}\coldX + \PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\thetacol{Y}}\coldY \right)}_{\coldy}\ve_y\label{xXyYvec} \end{equation} が成り立つから、$(\coldvecx の\zcol{X}方向)\times(\coldvecx のY方向)$を計算すれば \begin{align} & \gunderbrace{(\PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \zcol{X}}\coldX \ve_x +\PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}}\coldX \ve_y)}_{\coldX に比例する部分}\times \gunderbrace{(\PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ Y}\dY \ve_x + \PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}}\dY\ve_y)}_{\dY に比例する部分}\nonumber\\[4mm] =&\gunderbrace{\PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \zcol{X}}\coldX \ve_x \times \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}}\dY\ve_x }_0 + \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \zcol{X}}\coldX \ve_x \times\PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}}\dY\ve_y\nonumber\\ &+\PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \zcol{X}}\coldX \ve_y\times \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}}\dY \ve_x +\gunderbrace{\PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \zcol{X}}\coldX \ve_y\times \PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}}\dY\ve_y}_0\nonumber\\ =&\left( \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{\zcol{X}} \PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}} -\PD{y\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \zcol{X}} \PD{x\,\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}}{ \thetacol{Y}}\right) \coldX\dY\ve_x \times \ve_y \end{align} となって、面積要素が \begin{equation} \left( \PD{x}{ \zcol{X}}\PD{y}{ \thetacol{Y}}- \PD{y}{ \zcol{X}} \PD{x}{ \thetacol{Y}} \right)\coldX\dY \end{equation} であることが導かれる（以下では$\kakko{\zcol{X},\thetacol{Y}}$を省略する）。ここで出てきた量$\left(\PD{x}{\zcol{X}}\PD{y}{\thetacol{Y}}-\PD{y}{\zcol{X}}\PD{x}{\thetacol{Y}}\right)$を$(\zcol{X},\thetacol{Y})$から$(\xcol{x},\ycol{y})$へという変数変換における「ヤコビアン(Jacobian)」と名付ける。
\begin{equation} \PD{x}{\zcol{X}}\PD{ y}{ \thetacol{Y}}-\PD{ x}{ \thetacol{Y}} \PD{ y}{ \zcol{X}} =\gunderbrace{ \det \left( \begin{array}{cc} \PD{ x}{ \zcol{X}} & \PD{ x}{ \thetacol{Y}}\\[3mm] \PD{ y}{ \zcol{X}} & \PD{ y}{ \thetacol{Y}} \end{array} \right) = \left| \begin{array}{cc} \PD{ x}{ \zcol{X}} & \PD{ x}{ \thetacol{Y}}\\[3mm] \PD{ y}{ \zcol{X}} & \PD{ y}{ \thetacol{Y}} \end{array} \right|}_{これらの記号はどちらも行列式を表す。} \end{equation}
上では行列式を使って表したが、行列をまだよく知らない人は、これを$\left(\PD{ x}{ \zcol{X}},\PD{ y}{ \zcol{X}}\right)$と$\left( \PD{ x}{ \thetacol{Y}},\PD{ y}{ \thetacol{Y}}\right)$という二つのベクトルの外積（もしくはこの二つのベクトルを辺とする平行四辺形の面積）と考えておこう。
ヤコビアンは$\coldx$と$\coldy$の積と、$\coldX$と$\coldY$の積の「比」であるヤコビアンは、$\ve_x\to\ve_y$の回転と$\ve_{\scriptscriptstyle X}\to\ve_{\scriptscriptstyle Y}$の回転が逆回転になったときにはマイナスになる。。$(\xcol{x},\ycol{y})$が直交座標系であれば前者の面積は$\coldx\coldy$なので、後者の面積は（ヤコビアン）$\times\coldX\coldY$である。
$\xcol{x}=a\zcol{X}+b\thetacol{Y},\ycol{y}=c\zcol{X}+d\thetacol{Y}$のような座標変換の場合、ヤコビアンは$ad-bc$となる。これは\二段{$(\xcol{x},\ycol{y})$座標でのベクトル$(a,c)$とベクトル$(b,d)$}{$(\zcol{X},\thetacol{Y})$座標でのベクトル$(1,0)$とベクトル$(0,1)$}の作る平行四辺形の面積であるベクトル$(a,b)$とベクトル$(c,d)$の作る平行四辺形の面積は、この二つのベクトルの外積で計算される。。
$(\xcol{x},\ycol{y})$座標は通常の直交座標なので$(1,0)$と$(0,1)$は長さが1のベクトルであり、互いに直交している。ゆえに、この二つのベクトルによって作られる平行四辺形（この場合は正方形）の面積は1である。
一方、$(\zcol{X},\thetacol{Y})$座標でのベクトル$(1,0)$とベクトル$(0,1)$（この二つは長さは1ではないし、直交もしていない$\zcol{X}$軸と$\thetacol{Y}$軸が直交していないし、座標軸の目盛りが$(\xcol{x},\ycol{y})$座標系とは違うので、こうなるのは当然のことである。}）が作る平行四辺形の面積は1ではなく、$ad-bc$となる。右の図は$a=2,b=1,c=1,d=3$の場合の図である。ここで考えた例は線形な座標変換だが、曲線座標への変換でも同様に面積を変換していくことができる。
面積積分の応用：ガウス積分
面積積分を使う計算の応用の変わった例として、ガウス積分 \begin{equation} I= \int_{-\infty}^\infty \coldx \E^{-\xcol{x}^2} \end{equation} を取り上げよう。これは1次元積分で、面積分ではないが、面積分の手法を使うことでこの積分が計算できるのである。逆に、1次元のままで$\E^{-\xcol{x}^2}$の原始関数を求めることはできないまさかと思う人は実際試してみること。$\xcol{x}\E^{-\xcol{x}^2}$ならできる。。ではどうするかというと、あえてこの式の自乗を考えてみる。 \begin{equation} I^2= \int_{-\infty}^\infty \coldx \E^{-\xcol{x}^2}\times \int_{-\infty}^\infty \coldy \E^{-\ycol{y}^2} \end{equation} 二つの$I$を掛算しているが、後ろの方は積分変数を$\ycol{y}$にした（$\xcol{x}$のままでは積分変数が「被って」しまう）。ここでこの$I^2$を$\xcol{x}$-$\ycol{y}$平面上の面積分と考え直す。すると、この積分$\int_{-\infty}^\infty \coldx \int_{-\infty}^\infty \coldy $を極座標の積分$ \int_{0}^\infty \coldr \rcol{r}\int_0^{2\pi}\coldtheta $に置換することができる。
こうして計算すべき量は \begin{equation} I^2= \int_{0}^\infty \coldr \rcol{r}\int_0^{2\pi}\coldtheta \E^{-\rcol{r}^2} \end{equation} となる（$\xcol{x}^2+\ycol{y}^2=\rcol{r}^2$に注意）。するとまず$\thetacol{\theta}$積分（前頁の図の右のグラフを見るとわかるように、この積分は等高線に沿っての積分になっている）が$\int_0^{2\pi}\coldtheta=2\pi$と実行できて、 \begin{equation} I^2= 2\pi\int_{0}^\infty \coldr \rcol{r} \E^{-\rcol{r}^2} \end{equation} となるが、$\rcol{r} \E^{-\rcol{r}^2}$には原始関数$-{1\over 2}\E^{-\rcol{r}^2}$があるので、 \begin{equation} I^2= 2\pi\left[-{1\over 2}\E^{-\rcol{r}^2}\right]_{0}^\infty=2\pi\left(0-\left(-{1\over 2}\right)\right)=\pi \end{equation} となる。$I$は明らかに正だから$I=\sqrt{\pi}$という答が出る。1次元ではできない積分が自乗して2次元積分すると可能になるという面白い例になっている。
少し話を一般的にして、$\exp$の肩の$\xcol{x}^2$の前に係数$a$が付いている場合について計算すると以下の式を得る。
\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \coldx \E^{-a\xcol{x}^2}=\sqrt{\pi\over a}\label{gaussinta} \end{equation} ただし$a>0$。$a\leq0$では積分は発散する。
$\int_{-\infty}^\infty \coldx \E^{-\xcol{x}^2}=\sqrt{\pi}$から$\int_{-\infty}^\infty \coldx \E^{-a\xcol{x}^2}=\sqrt{\pi\over a}$を導くには、$\sqrt{a}x=t$という変数変換を行えばよい。
この式を$a$で微分して$-$をつけることで、 \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \coldx \xcol{x}^2\E^{-a\xcol{x}^2}={1\over2}\sqrt{\pi\over a^3} \end{equation} という式を作ることもできる。