ヘルムホルツ自由エネルギーと変分原理

ここまでで使った「変数」のまとめ

 ここまでで、熱力学を記述するための独立変数(正確には、この中から独立変数を選ぶことになる、独立変数候補)は、

温度$T$,エントロピー$S$,圧力$P$,体積$V$,物質量(モル数)$N$

である。そしてこれらにより表現される従属変数が内部エネルギー$U(T;V,N)$とヘルムホルツの自由エネルギー$F[T;V,N]$である。

 これらの独立変数・従属変数の間の関係を考えると、まず(本書においてはこの式でエントロピーを定義した)、

$$F[T;V,N]=U(T;V,N)-TS(T;V,N)$$

がある。また、微分を使った関係として、

$${\partial U(T;V,N)\over \partial T}=T{\partial S(T;V,N)\over \partial T}$$

もあった。

 ヘルムホルツ自由エネルギーの定義(等温準静操作で仕事をすると、その仕事の分だけ$F$が減る)を式で表現すると$\Delta F=-P\Delta V$($P\Delta V$が系のする仕事)であり、これを偏微分を使って表現すれば、

$${\partial F[T;V,N]\over\partial V}=-P(T;V,N)$$

である。

 一方、断熱準静操作での仕事は$\Delta U=-P\Delta V$となる。ただしこの時は温度は一定ではないから、${\partial U(T;V,N)\over\partial V}=-P(T;V,N)$ではない(←違う関数だから当たり前と言えば当たり前だが、この違いは重要)。

 断熱準静操作を考えるならば、$T$を固定するのではなく、$S$を固定する微分を行いたいところである(つまり後で出てくるように、${\partial U[S,V,N]\over\partial V}=-P(T;V,N)$なのである)。次にヘルムホルツ自由エネルギーの微分についてもう少し考えよう。

ヘルムホルツ自由エネルギーの微分

ヘルムホルツの自由エネルギー$F[T;V,N]=U(T;V,N)-TS(T;V,N)$を$T$で微分してみる。

$$ {\partial F[T;V,N]\over\partial T}={\partial U(T,V,N)\over\partial T}-S(T;V,N)-T{\partial S(T;V,N)\over \partial T} $$

となる。

 ここで行っている微分($V,N$を一定として$T$で偏微分)は$V,N$を固定して(系を動かさないようにして)、環境の温度を変えることを意味している。

 すでに示したように、${\partial U(T,V,N)\over\partial T}=T{\partial S(T;V,N)\over \partial T}$だから、

$$ {\partial F[T;V,N]\over\partial T}=-S(T;V,N) $$

である。つまり、$F$を$T$で微分すると$S$が求められる。

 ということは、$U(T;V,N)$は

$$ U(T;V,N)=F[T;V,N]-TS(T;V,N)=F[T;V,N]+T{\partial F[T;V,N]\over \partial T}=-{1\over T^2}{\partial\over \partial T}\left({F[T;V,N]\over T}\right) $$

という計算で$F$から求めることができる(ところが、逆はできない!)。

 ここで、$F$に対しては「$T$で微分すると$-S$」「$V$で微分すると$-P$」という関係ができている。これはいわば、$T\leftrightarrow S$と$P\leftrightarrow V$という「相棒関係」があるということである(では$N$には相棒はいないのかというと、後で出てくる)。

 以下で少し話を具体的にしよう。

理想気体の場合

 理想気体の場合の内部エネルギーとヘルムホルツ自由エネルギーは、

$$ U(T;V,N)=cNRT+Nu,~~~~F[T;V,N]=-NRT\log\left({T^cV\over (T^*)^c v^*N}\right)+Nu $$

となった。ここで先週$V^*$と書いた部分は、$V^*=v^*N$と書きなおしている($N$依存性をはっきりさせるため)。

 ここまで書いてきた$U$は本来$T,V,N$の関数だったが、理想気体の場合は$V$によらない(よって上の式は$U(T;N)=cNRT+Nu$と書き直すべきかもしれない)。

 さっき、$F[T;V,N]\to U(T;V,N)$はできるが$U(T;V,N)\to F[T;V,N]$はできない、と述べたが、この例ではそれが非常にわかりやすい($U(T;N)=cNRT+Nu$という式から$V$の情報は得られそうにない)。

 つまり、$U(T;V,N)=cNRT+Nu$という表現は「大事な物理量である$V,P$がどこにもない」という困った式なのである。
それは$P$とか別の変数で表すとどうなるんですか?
それそれ。まさに今からそれ(別の変数で表してみたらどうか?)を考えようという話に持っていくつもりでした。具体的にはエントロピー$S$を独立変数にしてみるといいのでは?という考えを進めてみます。

 ここでエントロピーはどうなっているかを考えてみよう。

$$ S=cNR+NR\log\left({T^cV\over (T^*)^c v^*N}\right) $$

から、

$$ \begin{array}{rl} {S\over cNR}-1=&\log\left({TV^{1\over c}\over T^*(v^*N)^{1\over c}}\right)\\ \exp\left({S\over cNR}-1\right)=&{TV^{1\over c}\over T^*(v^*N)^{1\over c}}\\ \end{array} $$

ゆえに、$T={T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{1\over c}}\exp\left({S\over cNR}-1\right)$となる。これを使うと$U$は

$$ U[S,V,N]=cNR\times{T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{1\over c}}\exp\left({S\over cNR}-1\right)+Nu $$

と表現される。$T,V,N$でなく$S,V,N$で表したわけだが、こうすることには意味がある。

 なぜこうすることに意味があるかというと、もともとヘルムホルツ自由エネルギーは等温準静操作という$T$が一定になる操作を使って定義されて、内部エネルギーは断熱準静操作という、$S$が一定になる操作を使って定義されているからなのである。つまり、「断熱して仕事をさせる」という状況は${\partial U[S,V,N]\over \partial V}$に表現されている。
 というわけで、ここで${\partial U[S,V,N]\over \partial V}$と${\partial F[T;V,N]\over\partial V}$を計算してみよう。

というのを今日の小テスト問題にしてみた。微分の練習問題である。

$$ {\partial U[S,V,N]\over \partial V}={\partial \over \partial V}\left(cNR\times{T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{1\over c}}\exp\left({S\over cNR}-1\right)+Nu\right) $$

という式を見るとややこしそうだが、よく見ると$V$は一箇所しかないので、それ以外の足算になっている部分は微分すると消え、掛算になっている部分は素通りさせて外に出し、結果は

$$ {\partial U[S,V,N]\over \partial V}=cNR\times{T^*(v^*N)^{1\over c}}\exp\left({S\over cNR}-1\right){\partial \over \partial V}\left({1\over T^{1\over c}}\right) $$ となり、この微分は${\partial \over \partial V}\left({1\over T^{1\over c}}\right)=-{1\over c}{1\over V^{{1\over c}+1}}$と実行され、 $$ {\partial U[S,V,N]\over \partial V}=-NR\times\underbrace{{T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{1\over c}}\exp\left({S\over cNR}-1\right){\partial \over \partial V}\left({1\over T^{1\over c}}\right)}_T\times{1\over V} $$

となり、ちゃんと$P={NRT\over V}$が出る。

 一方、${\partial U[S,V,N]\over \partial V}$の方も一見ややこしそうだが、微分すべき相手は本質的に$\log V$だけなので、

$$ {\partial U[S,V,N]\over \partial V}={\partial \over \partial V}\left(-NRT\log\left({T^cV\over (T^*)^c v^*N}\right)+Nu\right)=-NRT {\partial (\log V)\over \partial V}=-{NRT\over V}=-P $$

という結果になる。

 こうして、違う関数を微分しているのに、結果が同じになった(これはもちろん、偶然ではない)。

完全な熱力学関数

 $F[T;V,N]$は「完全な熱力学関数」だが、$U(T;V,N)$はそうではない。$F[T;V,N]$があれば他の量は作れるが、$U(T,V,N)$からはそうはいかないのである。

 圧力$P$は$P(T;V,N)=-{\partial F[T;V,N]\over \partial V}$で出せて、理想気体なら結果は$-{NRT\over V}=-P$となり、状態方程式$PV=NRT$が出てくる($U$は$V$を含んでないから${\partial U\over\partial V}$のような計算をしても$P$を出すことは不可能である)。

 ここで$P=-{\partial F\over \partial V}$となるのは、$F$の定義によって決まることで、いわば「当たり前」である。

また、

$$ S(T;V,N)=-{\partial F[T;V,N]\over \partial T}=NR\log\left({T^cV\over (T^*)^c v^*N}\right)+NRT \times {c\over T}=cNR+NR\log\left({T^cV\over (T^*)^c v^*N}\right) $$

のようにしてエントロピーも出てくる。

 これを一つの式にまとめて書くと、

$$ F[T+\mathrm dT;V+\mathrm dV,N]=F[T;V,N]-\underbrace{\left(-{\partial F[T;V,N]\over \partial T}\right)}_S\mathrm dT-\underbrace{\left(-{\partial F[T;V,N]\over \partial V}\right)}_P\mathrm dV $$

となる。

 こうなると${\partial F[T;V;N]\over\partial N}$の項も付け加えたくなるから、
$$ F[T+\mathrm dT;V+\mathrm dV,N+\mathrm dN]=F[T;V,N]-\underbrace{\left(-{\partial F[T;V,N]\over \partial T}\right)}_S\mathrm dT-\underbrace{\left(-{\partial F[T;V,N]\over \partial V}\right)}_P\mathrm dV+\underbrace{\left({\partial F[T;V,N]\over \partial N}\right)}_\mu\mathrm dN $$

としよう。$\mu$は化学ポテンシャルと呼ばれる量で、物質量を増やした時の$F$の増加率になる(←今週はまだここまで話せてない)。これを縮めて、

$$ \mathrm dF[T;V;N]=-S\mathrm dT-P\mathrm dV+\mu\mathrm dN $$

と書く(最後だけ符号がプラスだが、それぞれの偏微分係数の物理的意味に合わせているのでこうなってもしかたない。

完全な熱力学関数としての$U[S,V,N]$

$U(T;V,N)=cNRT+Nu$はこれから圧力を導いたりできないから完全な熱力学関数になってない。では

$$ U[S,V,N]=cNR\times{T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{1\over c}}\exp\left({S\over cNR}-1\right)+Nu $$

はどうか(こっちは完全な熱力学関数なので、括弧を「(」ではなく「[」にする)。これを$V$で微分してマイナスをつけると圧力になることはすでに見つけた(微分のとき、$S,N$を固定して微分していることに注意)。

 では温度$T$は出てくるのか、ということでこれを$S$で微分してみると、

$$ {\partial U[S,V,N]\over \partial S}=cNR\times{T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{{1\over c}}}\times{1\over cNR}\exp\left({S\over cNR}-1\right)={T^*(v^*N)^{1\over c}\over V^{{1\over c}}}\exp\left({S\over cNR}-1\right)=T $$

となって、ちゃんと$T$が出てくる。

 これは、前に計算した、${\partial U(T,V,N)\over \partial T}=T{\partial S(T,V,N)\over \partial T}$という式を考えてもわかる。これは$\mathrm dV=0,\mathrm dN=0$という状況下において${\mathrm dU\over \mathrm dT}=T{\mathrm dS\over\mathrm dT}$と言っているのだから、$T={\mathrm dU\over\mathrm dS}$(ただし、$V,N$が一定という条件において)である。

 つまり、

$$ U[S+\mathrm dS,V+\mathrm dV,N+\mathrm dN]=U[S,V,N]+\underbrace{\left({\partial U[S,V,N]\over \partial S}\right)}_T\mathrm dS-\underbrace{\left(-{\partial U[S,V,N]\over \partial V}\right)}_P\mathrm dV+\underbrace{\left({\partial U[S,V,N]\over \partial N}\right)}_\mu\mathrm dN $$

のようになっている。略記するなら、

$$ \mathrm dU[S,V,N]=T\mathrm dS-P\mathrm dV+\mu\mathrm dN $$

である。

 ここで、$-{\partial F[T;V,N]\over \partial V}$も$-{\partial U[S,V,N]\over \partial V}$もどちらも同じ$P$となった。$U$と$F$は$F=U-TS$という関係だから違う関数である。違う関数を、違う方法(一方は$T,N$を固定して、もう一方は$S,N$を固定して)で微分した結果が同じになっている。これは「保証」されていることなのだろうか(今は理想気体の例でそうだったが、いつでもそう言えるのだろうか)、ということを考えてみる。

 そのため、まず$T,V,N$を独立変数として、

$$ F[T;V,N]=U[S(T;V,N),V,N]-T\times S(T;V,N) $$

と書いてみて、これを$V$で微分してみると、

$$ {\partial F[T;V,N]\over \partial V}= \underbrace{{\partial U(S(T;V,N),V,N)\over \partial S}}_T{\partial S\over \partial V} +{\partial U(S(T;V,N),V,N)\over \partial V} -T\times {\partial S(T;V,N)\over \partial V}={\partial U(S(T;V,N),V,N)\over \partial V} $$

となる。つまり、$-TS$の項のおかげで、$-{\partial F[T;V,N]\over \partial V}$と$-{\partial U[S,V,N]\over \partial V}$が同じになる。

 同じ式を、独立変数が$S,V,N$だと思って書けば

$$ F[T(S,V,N);V,N]=U[S,V,N]-T(S,V,N)\times S $$

となるが、これを$V$で微分すると、

$$ \underbrace{{\partial F[T(S,V,N);V,N]\over \partial T}}_S{\partial T(S,V,N)\over \partial V} +{\partial F[T(S,V,N);V,N]\over \partial V} ={\partial U[S,V,N]\over \partial V}-{\partial T(S,V,N)\over \partial V}\times S $$

となってやはり一致する。

このように、変数を$T$から$S=-{\partial F\over\partial T}$へ、もしくは$S$から${\partial U\over \partial S}$へとのように変えることを「ルジャンドル変換」と呼ぶ(ルジャンドル変換をちゃんとしないと、完全な熱力学にならなくて困る)。

 $U$と$F$の間のルジャンドル変換は

$$ U[S(T;V,N),V,N]=F[T;V,N]-T\overbrace{\partial F[T,V,N]\over \partial T}^{-S} $$

または

$$ F[T(S,V,N);V,N]=U[S,V,N]-S\overbrace{\partial U[S,V,N]\over \partial S}^T $$

のように対称な形に書ける(これが、$T\leftrightarrow S$が「相棒」だということ)。

 なお、ルジャンドル変換は解析力学でもラグランジアンとハミルトニアンの関係

$$ H(p(\dot x,x),x)=\overbrace{\partial L(\dot x,x)\over \partial \dot x}^p\dot x -L(\dot x,x) $$

として現れた(定義が少し違って、引き算の方向が逆であるが、やっていることは本質的に同じである)。

 この後ルジャンドル変換の一般論をやる予定だったが、そこまで行かなかった。この後話す予定だった内容は、このページにある。
受講者の感想・コメント

受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

ルジャンドル変換と感動の再会を果たした。来週は$N$の相棒に出会えるでしょうか(意味深)。
出会うのは出会えると思います。ただ、有効活用するところまでは行けない。

エントロピーが内部エネルギーとヘルムホルツ自由エネルギーを関係づけるものであるということで大切な量だとわかりました。
うん、その点でも大切です。

ルジャンドル変換がきた。数学を使う量が増えてきた。
まぁ、物理ですから数学は使ってなんぼです。

ビブンがんばります!
微分は物理のための基本技能です。

$U\leftrightarrow F$、$T\leftrightarrow S$が入れ替えできるルジャンドル変換のすばらしさを実感した。うまく関数が作られていると感動した。
うまくできてます。

実際に計算して${\partial U\over \partial V}={\partial F\over \partial V}$になることを確認した。
そうなるように工夫されていた、という点が大事です。

$v^*$はどんな定数ですか、どんな意味を持ちますか。
$v^*N=V$なのですから、「1モルあたりの体積」ですね。

とりあえず微分ができてよかった。今まで出てきた要素をうまく組み合わせて$F$と$U$の関係性に新しい見方が出てきたのはすごいと思った。ちょこちょこ出てくる解析力学も復習しなければと切に感じた。
解析力学は量子力学や、この後の統計力学でも基礎の1つですから。

熱力学のルジャンドル変換。微分は見返しておきます。
計算は一度は自分でもやってみましょう。

意味がわからずにやっていた数学が物理できちんと使われるって素敵ですね。復習したいと思います。
いやそこはやはり最初から「意味がわかって」数学しましょう。

よく分かりました!
それはよかった。

前回かぜで休んだので小テストがあると思った時あせったけど、計算もなんとかなった。
今日のテストは今日やったところがわかっていれば、大丈夫だったはず。

$F,U,S$を表す式は複雑であったが、案外それぞれの関係から計算で値を出すことはすんなり言った。
理想気体の場合の計算なので、わりと素直です。

講義が進むについれて、熱力学で使う関数がきれいに見えてきます。$F,U$の偏微分をしっかり復習する。
見えてきているのはよいことです。いろいろ計算練習してみてください。

なるほどと思いました。いろいろつながってきてとても面白いです。偏微分復習します。
ここが「なるほど」と思えれば熱力学はもう一息です。計算練習はやっておきましょう。

$F$と$U$の関係について理解できた。
自分なりにまとめておきましょう。

小テスト、計算ミスしました。冷静に考えればできていたのでつらいです。本当につらいです。期末テストが怖いです。
どんまい。まだまだ機会はある。

授業の最後らへんの${\partial U\over\partial V}=-P,{\partial F\over \partial V}=-P$の証明のとき、何を独立変数とするか考えながら計算しないといけないのがややこしいと思いました。
ややこしいです。でもそのややこしいことをちゃんとやらないと、正しい計算にならないからややこしくてもがんばるしかない。

微分にあわてていた自分がいました。反省です。もう一度確認しときます。
物理の学生は息を吸うように微分すべし。

微分と解析力学の復習をしておきます。$F$と$U$と$V$の関係が今後どのように役立ってくるかが気になる。
今日の話だと、ルジャンドル変換が次あたりでも出てきます。

微分をがんばろうと感じました。
もちろん、がんばろう。がんばって「呼吸するように自然に微分ができる」ようになろう。

今日も小テストはないだろうと気がゆるんできたところに小テストをやる先生は策士だと思いました。そして小テストはT=〜の式を見落としていたのでできませんでした。復習します。
別に策を弄したわけではなく、適当にやっているんだけなんですが…。

微分の練習の問題ができなくてくやしかった。終わってノートを見てみたら$U[S,V,N]$を写し間違っていたのでもっとくやしかった。
それは残念でした。どんまい。

計算が多くて大変だった。テクニックを身につけたい。
そのためにはとにかく練習することです。

今回の計算、やり方をみたら簡単だったけど、難しく考えてしまった。
素直な気持ちで数式に向かってください。

$F$の関数も$U$の関数も変数によって便利さが変わるのが面白かった。
この後もいろんな関数でてきますが、やはり独立変数の選び方が重要です。

$F$と$U$の関係性がよくわかった。
頭に入れて、整理しておいてください。

計算力の低さを反省して微積分を学び直そうと思った。
こういうのは単純に訓練の問題です。がんばろう。

$F$が決まるとほとんどの値が決まるが、変数を変えると$U$の方が便利だと知った。そして熱力学演習で出てきたルジャンドル変換が出てきた。
どう変数を変えていくか、というときにルジャンドル変換のテクニックが大事です。

途中でルジャンドル変換の形になっていることに気づけて少し嬉しかったです。同時に解析力学をまたやりなおしたいと思いました。
熱力学はもちろん、量子力学や統計力学をやった後で解析力学をやると、また新たな発見がありますよ。

変数を変えるだけで、自由エネルギーと内部エネルギーのどちらが主役かが変わるのは面白いと思った。
同じ物理現象を、どういう切り口から見るかによって使う変数が変わるのです。

微分ができなかったのがショックでした。もう一度復習したいです。
微分はこれからも使うので、何度でも復習しておきましょう。

${\partial U\over \partial V}={\partial F\over \partial V}$ この式の導出が面白かった。
この式の意味をじっくり考えてみてください。ルジャンドル変換は、熱力学だけでなく、一般的に使える計算方法です。

後半ついていけなかった。復習します。
計算式をじっくり見てみてください。

${\partial U\over\partial V}=-P$まで変形できなかった。復習がんばる。
「なんだ、この計算簡単じゃん」と思えるようになるまで、がんばってください。

$P$と$V$、$S$と$T$がセットであることが微分を通して理解できました。それぞれが単独ではなく関係が必ずある($U$と$F$)ということが面白かったです。
変数相互の関係を理解しておきましょう。

微分の問題でかなり焦ってしまった。冷静になれば簡単だった。呼吸のように微分せねば(積分も)。いままで気になっていた()と[]の違いがわかった。
何が「完全な熱力学関数」なのか、は大事なところです。

今回の授業では、独立変数に着目して、$V$で偏微分するときに何を固定するかが大事であることを学んだ。今日はタブレットを使わなかったので、講義録を楽しみにしたい。
ルジャンドル変換のプログラムがあるんですが、それは次回やりましょう。

演習でやったルジャンドル変換がやっと出てきた。
演習でやったのと合わせて、理解できましたか。

エントロピーの性質