今日の講義の内容
最初はまず「示量変数／示強変数となんぞや？」って話。気体の状態量と呼べるものを上げてもらって、示量変数と示強変数に分けた。
- 示量変数の例：体積$V$、質量$m$、物質量$N$、
- 示強変数の例：圧力$P$、温度$T$、密度$\rho$、
たとえば$m$と$N$は関係するし、$\rho V=m$だったりするから、これらは独立変数にはなってない。
熱力学ではこれらの変数を変化させたときにエネルギーがどう変化するかを考えていく。とくに示量変数を外界から「動かした」（例えば「体積を増やした」）ときのエネルギーの変化（それは主に仕事で計算される）を考えていく。
力学に戻って考えると、バネ定数$k$のバネの持つエネルギー$U={1\over2}kx^2$は、力$kx$を積分することで得られる。逆に考えると、 $$ F=-{\mathrm dU\over \mathrm dx} $$ である。
この符号は力の向きを同時に説明している。
図を描いてみるとわかるように、「$F$が$U$を減らす方向に働く」ということをこのマイナス符号は示している（右側つまり$x > 0$では$F=-kx < 0$）。
$F=-{\mathrm dU\over \mathrm dx}$は少し変形すると、 $$ \mathrm dU= -F\mathrm dx $$ となる。
同様に、万有引力なら$U=-{GMm\over r}$で、力は$F=-{GMm\over r^2}$となる。これは全ての位置エネルギーでこうなっている（位置エネルギーの定義のようなもので、こう定義しているからうまくいく）。
熱力学でもこの形の式がどんどん出てくる。この$x$に対応する変数は熱力学の状態量のどれかになるけど、一番直感しやすいのは体積$V$で、$V$が変わることによって他に大して仕事がされる。具体的には $$ \mathrm dU= -P\mathrm dV $$ が成り立つ。
$P$は気体などの系では正なので、気体は膨張（$\mathrm dV > 0$）すると内部エネルギーを減らすことになる。逆に圧縮すると内部エネルギーが上がる。$P$が負になる（圧力ではなく張力を示す）ゴムでは縮めると温度が下がる。
このことを示すためにピストンで圧縮発火を見せようとしたが成功せず(;_;)。ゴムは準備してなかったが、興味のある人はやってみて。
$P$は示強変数、$V$は示量変数なので、この場合は（示強変数）$\times \mathrm d$（示量変数）という形（後でこの逆の組合せも出てくる）。示量変数には、こんなふうにペアになってエネルギーの変化量を表す「相棒」がいる。
理想気体で、しかも気体の温度が変化しないという特別な場合について、気体のする仕事からエネルギーにあたるもの（ここでは$F$とする）を計算してみよう。仕事$P\mathrm dV$は、状態方程式$PV=NRT$を使うと${NRT\over V}\mathrm dV$になり、温度が変化しないという仮定から$NRT$は定数なので、 $$ \mathrm dF=-{NRT\over V}\mathrm dV $$ は $$ F=-NRT \log V +C $$ と積分できる。この$F$が「温度が変化しない」という仮定のもとでの「エネルギーに対応するもの」である。
と、以上の話にはいくつか『嘘』というか「現実に適用しようとするとそのままではまずい点」がある。
まず、現実的な気体などの系においては「有限個の変数で状態が記述」というわけにはいかない。特に、系の状態が激しく動いているときなどは、圧力や温度は系において一様ではない。
というわけで、のアニメーションを動かして「ゆっくり動かさないと圧力や温度は『系の状態量』にならない」ということを納得してもらった。
現実ではありえないほどに「ゆっくり動かした」場合に限り、系の状態量が変化の途中でも有限個に決まる。そのような「現実にはありえない理想的変化」を「準静的過程」と呼ぶ。
理想的状況であって実現はしないが、まずはこの準静的な場合を考えることでいろんなことがわかる（どうわかるかは、来週）。