κ-scheme   Van Leer (1977)

(Subscript[(Overscript[w, n + 1]), j]) = (Subscript[(Overscript[w, n]), j]) + [Terms Below]

(*  ν  >  
        0 for up stream  *) 

(Subscript[F, j + 1/2])  = 
        (h/τ) ν ((1/2) ((Subscript[w, j]) + 
                    (Subscript[w, j + 1])) + ((κ - 
                      1)/4) ((Subscript[w, j + 1]) - 2  (Subscript[w, j]) + 
                    (Subscript[w, j - 1])));
(Subscript[F, j - 1/2])  = (h/τ) ν ((1/2) ((Subscript[w, j]) + 
                    (Subscript[w, j - 1])) + ((κ - 1)/4) ((Subscript[w, j]) - 
                    2  (Subscript[w, j - 1]) + 
                    (Subscript[w, j - 2])));
-((τ/h) (Subscript[F, j + 1/2])  - (τ/h) 
                  (Subscript[F, j - 1/2])) + (1/2) (ν^2) (μ ((Subscript[w, j + 1]) - 2  (Subscript[w, j]) + (Subscript[w, j - 1])) + (1 - μ) ((Subscript[w, j]) - 
                      2  (Subscript[w, j - 1]) + (Subscript[w, j - 2]))) // 
        Expand;
Collect[%, {(Subscript[w, j + 2]), (Subscript[w, j + 1]), (Subscript[w, j]), (Subscript[w, j - 1]), 
        (Subscript[w, j - 2])}, Simplify]

(*  Substitute μ = 
        (1/2) + (3/2) κ - κ | ν |   *) 
Collect[% /. μ -> 
          (1/2) + (3/2) κ - κ ν, {(Subscript[w, j + 2]), 
        (Subscript[w, j + 1]), (Subscript[w, j]), (Subscript[w, j - 1]), (Subscript[w, j - 2])}, 
      Simplify]

(*  ν  <  
        0 down stream  *) 

(Subscript[F, j + 1/2])  = 
        (h/τ) ν ((1/2) ((Subscript[w, j]) + 
                    (Subscript[w, j + 1])) + ((κ - 
                      1)/4) ((Subscript[w, j + 2]) - 2  (Subscript[w, j + 1]) + 
                    (Subscript[w, j])));
(Subscript[F, j - 1/2])  = (h/τ) ν ((1/2) ((Subscript[w, j]) + 
                    (Subscript[w, j - 1])) + ((κ - 
                      1)/4) ((Subscript[w, j + 1]) - 2  (Subscript[w, j]) + 
                    (Subscript[w, j - 1])));
-((τ/h) (Subscript[F, j + 1/2])  - (τ/h) 
                  (Subscript[F, j - 1/2])) + (1/2) (ν^2) (μ ((Subscript[w, j + 1]) - 2  (Subscript[w, j]) + (Subscript[w, j - 1])) + (1 - μ) ((Subscript[w, j + 2]) - 
                      2  (Subscript[w, j + 1]) + (Subscript[w, j]))) // 
        Expand;
Collect[%, {(Subscript[w, j + 2]), (Subscript[w, j + 1]), (Subscript[w, j]), (Subscript[w, j - 1]), 
        (Subscript[w, j - 2])}, Simplify]

(*  Substitute μ = 
        (1/2) + (3/2) κ - κ | ν |   *) 
Collect[% /. μ -> 
          (1/2) + (3/2) κ + κ ν, {(Subscript[w, j + 2]), 
        (Subscript[w, j + 1]), (Subscript[w, j]), (Subscript[w, j - 1]), (Subscript[w, j - 2])}, 
      Simplify]