½éÅùÎÌ»ÒÎϳعֵÁÏ¿2005ǯÂè13²ó


¢«Âè12²ó¤Ø¡¡½éÅùÎÌ»ÒÎϳء¦ÎÌ»ÒÎϳØ(2005ǯ)¤ÎÌܼ¡¤ËÌá¤ë¡¡Âè14²ó¤Ø¢ª

8.2  ºÂɸ¤Î´üÂÔÃÍ

ÇÈÆ°´Ø¿ô¤È¡ã£ø¡ä
¡¡ÇÈÆ°´Ø¿ô¤Ï¾ï¤Ë¤¢¤ëÄøÅ٤ι­¤¬¤ê¤ò»ý¤Á¤Ê¤¬¤é»þ´ÖȯŸ¤·¤Æ¤¤¤¯¡£¤½¤ÎÇÈÆ°´Ø¿ô¤Î»þ´ÖÊѲ½¤³¤½¤¬¡¢¤¤¤ï¤Ð¡Ö±¿Æ°¡×¤Ê¤Î¤Ç¤¢¤ë¤¬¡¢¸ÅŵŪ¤Ê¡Öγ»Ò¤Î±¿Æ°¡×¤ÈÈæ ³Ó¤¹¤ë¤¿¤á¤Ë¡¢¡ÖÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬¤¢¤ë´Ø¿ô¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë»þ¡¢Î³»Ò¤Ï¤É¤Î¤¢¤¿¤ê¤Ë¤¤¤ë¤È¹Í¤¨¤ì¤Ð¤è¤¤¤Î¤«¡×¤È¤¤¤¦¤³¤È¤ò¼¨¤¹Î̤¬É¬ÍפǤ¢¤ë¡£
¡¡¤½¤Î¤è¤¦¤Ê»Øɸ¤È¤·¤Æ¡¢´üÂÔÃ͡ʵ­¹æ¤Ç¤Ï < x > ¡Ë¤ò»È¤¦¤³¤È¤¬Â¿¤¤¡£ÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬°ì¤Ä¤Î»³¤Î²ô(ÇÈ«)¤ò»ý¤Ä¤è¤¦¤Ê»þ¡¢ < x > ¤Ï¤Þ¤µ¤Ë¤½¤Î»³¤ÎÃæ¿´¤ò»Ø¤·¼¨¤¹¤³¤È¤Ë¤Ê¤ë(Ê£¿ô¸Ä¤Î²ô¤¬¤¢¤ë¤Ê¤é¤Ð¤½¤ÎÊ¿¶Ñ¤Î¤È¤³¤í¤Ë¤¯¤ë)¡£
¡¡¶ñÂÎŪ¤Ë¤Ï¡¢´üÂÔÃͤϰʲ¼¤Î¤è¤¦¤Ë·×»»¤µ¤ì¤ë¡£¤Þ¤º°ìÈÌŪ¤Ê¡Ö´üÂÔÃ͡פÎÄêµÁ¤ò½Ò¤Ù¤è¤¦¡£
¡¡¤¢¤ëʪÍýÎÌA¤¬¤¢¤ëÃÍAi¤ò¼è¤ë³ÎΨ¤¬fi(i¤Ï¤¤¤í¤ó¤Ê¸½¾Ý¤ò¶èÊ̤¹¤ëź»ú¤Ç¤¢¤ë¤È¤¹¤ë)¤Ç¤¢¤ë»þ¡¢
< A > =
­ô
i 
fi Ai
(8.9)
¤¬¡ÖA¤Î´üÂÔÃ͡פǤ¢¤ë¡£¤¿¤È¤¨¤Ð100ʬ¤Î1¤Î³ÎΨ¤Ç1000±ß¤¢¤¿¤ê¡¢10ʬ¤Î1¤Î³ÎΨ¤Ç100±ß¤¢¤¿¤ë¥¯¥¸¤Ç¤¢¤ì¤Ð¡¢¤â¤é¤¨¤ë¾Þ¶â¤Î´üÂÔÃͤÏ
f1000±ßÅö¤ê¡ß1000 + f100±ßÅö¤ê¡ß100 + f³°¤ì¡ß0 = 1
100
¡ß1000+ 1
10
¡ß100 + 89
100
¡ß0 = 20
(8.10)
¤È¤Ê¤ë¡£ÎÌ»ÒÎϳؤǤϳÎΨ¤·¤«·×»»¤Ç¤­¤Ê¤¤¤Î¤Ç¡¢ÊªÍýÎ̤½¤Î¤â¤Î¤Ç¤Ï¤Ê¤¯¡¢ÊªÍýÎ̤δüÂÔÃͤ¬·×»»¤Ç¤­¤ë¤³¤È¤Ë¤Ê¤ë¡£¤³¤³¤Ç¤Ïi¤È¤¤¤¦ÉÔϢ³¤Êź»ú¤ÇʪÍýÎ̤Τ¤¤í¤ó¤ÊÃͤòɽ¤·¤¿¤¬¡¢Ï¢Â³¤ÊÊѲ½¤ò¤¹¤ë¾ì¹ç¤â¤â¤Á¤í¤ó¤¢¤ë¡£
γ»Ò¤¬°ÌÃÖºÂɸx¤«¤éx+dx¤Î´Ö¤Ë¸ºß¤·¤Æ¤¤¤ë³ÎΨ¤Ï|¦×(x)|2dx¤Ç¤¢¤ë¤«¤é¡¢´üÂÔÃÍ < x > ¤Ï¡¢
< x > = ¢é dx ¦×*(x,t) x ¦×(x,t)
(8.11)
¤Î¤è¤¦¤Ë¤·¤Æ·×»»¤¹¤ë¤³¤È¤¬¤Ç¤­¤ë(¤¿¤À¤·¦×¤Ïµ¬³Ê²½¤µ¤ì¤Æ¤¤¤Ê¤¯¤Æ¤Ï¤Ê¤é¤Ê¤¤)¡£¤³¤³¤Çx¤ò¦×*¤È¦×¤Î´Ö¤ËÃÖ¤¤¤Æ¤¤¤ë¤¬¡¢¤³¤Î¾ì¹ç¤ÏÊ̤Ëx¦×*¦×¤Ç¤â¡¢¦×*¦×x¤Ç¤â¤è¤¤¡£
ñ½ã¤Ê¶ë·ÁÇȶë·ÁÇÈ
¦×(x)=¡Ð

1

¢å

¦Ä

a < x < a+¦Ä
0
¤½¤ì°Ê³°
         
(8.12)
¤Î¤è¤¦¤Ê¾ì¹ç(¤³¤³¤Ç¤Ï»þ´Ö°Í¸À­¤ò̵»ë¤·¤Æ¤¤¤ë¡£¼ÂºÝ¤Ë¤Ï¡¢¤³¤Î¤è¤¦¤ÊÇȤϻþ´Ö¤¬¤¿¤Ä¤È·Á¤òÊѤ¨¤Æ¤¤¤¯¤Ï¤º¤Ç¤¢¤ë)¡¢

¢é dx ¦×* x ¦× = ¢é a+¦Ä

a 
dx 1
¦Ä
x = 1
¦Ä

[ x2
2
]
a+¦Ä

a 
= 1
2¦Ä
((a+¦Ä)2¡Ýa2) = 1
2¦Ä
(2a¦Ä+¦Ä2) = a+ ¦Ä
2

(8.13)
¤È¤Ê¤Ã¤Æ¡¢³Î¤«¤ËÇȤÎÃæ¿´¤Ç¤¢¤ë¡£
¸ÅŵÎϳؤǡÖγ»Ò¤Î°ÌÃ֡פȲ桹¤¬´Ñ¬¤¹¤ë¤â¤Î¤Ï¤³¤Î¤è¤¦¤Ê < x > ¤Ç¤¢¤ë¡£¤¿¤À¤·¡¢¤¿¤¤¤Æ¤¤¤Î¾ì¹çÇȤι­¤¬¤ê¤Ï¬Ä굡´ï¤Î¸íº¹¤ÎÃæ¤ËËä¤â¤ì¤Æ¤·¤Þ¤¦¡£

8.3  ºÂɸ´üÂÔÃͤα¿Æ°

¡¡¤³¤Î¤è¤¦¤ËÄêµÁ¤µ¤ì¤¿ < x > ¤¬»þ´ÖŪ¤Ë¤É¤¦ÊѲ½¤¹¤ë¤«¤ò¸«¤Æ¤ª¤³¤¦¡£¤½¤Î¤¿¤á¤Ë[d/dt] < x > ¤È¤¤¤¦·×»»¤ò¹Ô¤¦¡£¤³¤Î¾ì¹ç¡¢x¤Ï»þ´Ö¤Ë°Í¸¤»¤º¡¢°Í¸¤¹¤ë¤Î¤Ï¦×(x,t)¤ÎÊý¤Ç¤¢¤ë¤³¤È¤Ëµ¤¤ò¤Ä¤±¤ë¡£


d
dt

¢é dx ¦×*(x,t) x ¦×(x,t)
= ¢é dx ¡Ê ¦×*(x,t)x ¢ß
¢ßt
¦×(x,t)+ ¢ß
¢ßt
¦×*(x,t)x¦×(x,t))

(8.14)
¤È¤Ê¤ë¡£

¡Ú°Ê²¼Ä¹¤¤Ãð¡Û¤³¤ÎÉôʬ¤Ï¡¢ºÇ½é¤ËÊÙ¶¯¤¹¤ë»þ¤ÏÍý²ò¤Ç¤­¤Ê¤¯¤È¤â¤è¤¤¡£
¡¡¤¿¤Þ¤Ë¡¢¡Ö¤³¤Î¼°¤Îº¸ÊդǤÏÈùʬ¤¬¾ïÈùʬ[d/dt]¤Ê¤Î¤Ë¡¢±¦Êդ˹Ԥ¯¤ÈÊÐÈùʬ[¢ß/¢ßt]¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë¡£¤ª¤«¤·¤¤¤Ç¤Ï¤Ê¤¤¤«¡×¤È¼ÁÌ䤹¤ë¿Í¤¬¤¤¤ë¤Î¤Ç¡¢¾¯¤·ÀâÌÀ¤·¤Æ¤ª¤¯¡£
¡¡º¸Êդˤª¤¤¤ÆÈùʬ¤µ¤ì¤Æ¤¤¤ë¢é¦×*(x,t)¦×(x,t) dx¤Ë¤ª¤¤¤Æ¤Ï¡¢x¤Ï¤¹¤Ç¤ËÀÑʬ¤¬½ª¤ï¤Ã¤Æ¤¤¤ë(¤Ä¤Þ¤ê¡¢x¤Ï¤¤¤í¤ó¤ÊÃͤ¬ÂåÆþ¤µ¤ì¤Æ­¤·»»¤¬½ª¤ï¤Ã¤Æ¤¤¤ë)¤Î¤Ç¡¢¼Â¤Ïx¤Î´Ø¿ô¤Ç¤Ï¤Ê¤¯¡¢t¤Î¤ß¤Î´Ø¿ô¤Ê¤Î¤Ç¤¢¤ë¡£¤À¤«¤é¡¢º¸ÊÕ¤ÎÈùʬ¤Ï¤¢¤­¤é¤«¤ËÊÐÈùʬ¤Ç¤Ï¤Ê¤¤¡£
¡Ö¤·¤«¤·¡¢±¦ÊդΦ×(x,t)¤ÎÃæ¤Ë¤Ïx¤¬¤¢¤ë¡£¤³¤Îx¤òt¤ÇÈùʬ¤·¤¿¤é[dx/dt]¤Ï½Ð¤Æ ¤­¤½¤¦¤Êµ¤¤¬¤¹¤ë¡×¤ÈÉ԰¤˻פ¦¿Í¤â¤¤¤ë¤«¤â¤·¤ì¤Ê¤¤¡£¤·¤«¤·¡¢¦×(x,t)¤ÎÃæ¤Îx¤Ï»þ´Ö¤Ë¤è¤Ã¤ÆÊѲ½¤¹¤ëÎ̤ǤϤʤ¤¤Î¤Ç¤¢¤Ã¤Æ¡¢¸ÅŵÎϳؤǤξì½ê¤òɽ ¤¹x(t)¤È¤Ï°ã¤¦¤â¤Î¤Ç¤¢¤ë¤³¤È¤ËÃí°Õ¤·¤Ê¤¯¤Æ¤Ï¤¤¤±¤Ê¤¤¡£¤³¤Îx¤Ï¡Ö¾ì½êx¡¢»þ¹ït¤Ç¤ÎÇÈÆ°´Ø¿ô¦×(x,t)¡×¤Î¤è¤¦¤Ë¦×¤Î¾ì½ê¤ò»ØÄꤹ¤ë¡¢¤¤¤ï¤Ð ¡ÖÈÖÃϡפʤΤǤ¢¤ë¡£¤³¤ì¤ËÂФ·¡¢¸ÅŵÎϳؤÎx(t)¤Ïγ»Ò¤Î¸ºß¤·¤Æ¤¤¤ë°ÌÃ֤Ǥ¢¤ë¡£¤³¤ÎÆó¤Ä¤Îx¤Î°ã¤¤¤Ï¡¢Î®ÂÎÎϳؤÇLagrange¤ÎÊýË¡¤È Euler¤ÎÊýË¡¤Î°ã¤¤¤ÈËܼÁŪ¤ËƱ¤¸¤Ç¤¢¤ë¡£

¡ÚŤ¤Ã𽪤ï¤ê¡Û
¡¡¤³¤ì¤Ç¤ÏÀâÌÀ¤¬Â­¤ê¤Ê¤¤´¶¤¸¤À¤Ã¤¿¤Î¤Ç¡¢£¹¾Ï¤Ë½ñ¤¤¤Æ¤ª¤¤¤¿¡¢¡Ö¸ÅŵÎϳؤǤÏÎϳØÊÑ¿ô¤Ïx(t),p(t)¤À¤¬¡¢ÎÌ»ÒÎϳؤǤÏx¤Ï¥é¥Ù¥ë¤Ç¤·¤«¤Ê¤¯¡¢¦×(x,t)¤¬ÎϳØÊÑ¿ô¤Ë¤Ê¤ë¡×¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Î³µÇ°ÅªÀâÌÀ¤òÀè¤Ë¤³¤³¤ÇÏä·¤¿¡£

¸Åŵ¤ÈÎ̻ҡ£
¡¡ÎϳØÊÑ¿ô¤¬x(t),p(t)¤«¤é¦×(x,t)¤ÈÊѤï¤Ã¤¿¤³¤È¤ò¤¿¤È¤¨ÏäÇÀâÌÀ¤·¤Æ¤ª¤¯¡£¹­¤¤±¿Æ°¾ì¤Ë°ì¿Í¤Î¿Í´Ö¤¬Áö¤ê²ó¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤Î¤ò¸«¤Æ¤¤¤ë¤È¤·¤è¤¦¡£ ¤³¤Î¡Ö¾õÂ֡פòÃΤë¤Ë¤Ï¡¢¤½¤Î¿Í¤¬¤É¤³¤Ë¤¤¤ë¤«¡Êx(t)¡Ë¤È¡¢¤É¤ì¤°¤é¤¤¤Î±¿Æ°Î̤ÇÆ°¤¤¤Æ¤¤¤ë¤«¡Êp(t)¡Ë¤òÃΤì¤Ð¤è¤¤¡£¤³¤ì¤¬¸ÅŵÎϳØŪ±¿Æ°¤ËÂбþ ¤¹¤ë¡£
¡¡¤³¤ì¤ËÂФ·¡¢ÎÌ»ÒÎϳØŪ¤Ê±¿Æ°¤ËÂбþ¤¹¤ë¤Î¤Ï¡¢±¿Æ°¾ì°ìÇդˤ®¤Ã¤·¤ê¤È¿Í¤¬Î©¤Ã¤Æ¤¤¤Æ¡¢¥µ¥Ã ¥«¡¼¤Î±þ±ç¤Ê¤É¤Ç¤ä¤ë¡Ö¥¦¥§¡¼¥Ö¡×¤ò¤ä¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤È¤³¤í¤Ç¤¢¤ë¡£¥¦¥§¡¼¥Ö¤¬Æ°¤¤¤Æ¤¤¤¯»Ñ¤¬ÇÈ«¤ÎÆ°¤¤¤Æ¤¤¤¯»Ñ¤¹¤Ê¤ï¤Áγ»Ò¤ÎÆ°¤¤¤Æ¤¤¤¯»Ñ¤ËÂбþ¤¹¤ë¡£ÇÈÆ°´Ø ¿ô¤Î»³¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤È¤³¤í¤¬°ÜÆ°¤·¤Æ¤¤¤¯¤³¤È¤¬¸ÅŵŪ¤Ê°ÕÌ£¤Îγ»Ò¤Î°ÜÆ°¤Ê¤Î¤Ç¤¢¤ë¡£¤³¤Î¤è¤¦¤Ë¡ÖÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬»þ´ÖŪ¤ËÊѲ½¤·¤Æ¡¢¤½¤ì¤Ë¤è¤Ã¤Æγ»Ò¤Î¤¤¤½¤¦ ¤Ê¾ì½ê¡Ê´üÂÔÃ͡ˤâÊѲ½¤·¤Æ¤¤¤¯¡×¤È¤¤¤¦¹Í¤¨Êý¤ò¤¹¤ë¤Ê¤é¤Ð¡¢ÇÈÆ°´Ø¿ô¦×(x,t)¤Ï¶õ´Ö¤Î³ÆÅÀ³ÆÅÀ¤Ë°ì¸Ä¤º¤Ä¸ºß¤¹¤ë¡ÖÎϳØÊÑ¿ô¡×¤Ç¤¢¤ê¡¢¤¹¤Ù¤Æ¤Î¦× (x,t)¤ò·è¤á¤Æ¤½¤Î»þ´ÖȯŸ¤ò¹Í¤¨¤Ê¤¯¤Æ¤Ï¤¤¤±¤Ê¤¤¡£¤½¤·¤Æ¡¢¤³¤ÎΩ¾ì¤Ç¤Ïx¤Ï»þ´ÖŪ¤ËÊѲ½¤¹¤ë¤â¤Î¤Ç¤Ï¤Ê¤¯¡¢¡Ö¤¿¤¯¤µ¤ó¤¢¤ë¦×¤Î¤¦¤Á¡¢¤É¤ì¤ò¹Í¤¨¤Æ ¤¤¤ë¤Î¤«¤ò¤·¤Æ¤¤¤ë¤¹¤ë̾»¥¡Ê¥é¥Ù¥ë¡Ë¡×¤Ç¤·¤«¤Ê¤¤¡Ê¥¦¥§¡¼¥Ö¤¬°ÜÆ°¤·¤Æ¤â¿Í¤Ï°ÜÆ°¤·¤Ê¤¤¡Ë¡£

¡¡¤Ç¡¢£¸¾Ï¤ËÌá¤ë¡£

¡¡¤³¤³¤Ç¥·¥å¥ì¡¼¥Ç¥£¥ó¥¬¡¼ÊýÄø¼°i[\hbar2/2m][¢ß/¢ßt]¦× = [¡Ý[(\hbar2)/2m][(¢ß2)/(¢ßx2)]+V(x)]¦×¤¬À®Î©¤·¤Æ¤¤¤ë¤â¤Î¤È¤·¤Æ¡¢

¢ß
¢ßt
¦× = ¡Ýi
\hbar

[ ¡Ý \hbar2
2m

¢ß2
¢ßx2
+V(x)] ¦×   ¤ª¤è¤Ó    ¢ß
¢ßt
¦×*= i
\hbar

[ ¡Ý \hbar2
2m

¢ß2
¢ßx2
+V(x)] ¦×*
(8.15)
¤òÂåÆþ¤¹¤ë¡£¤¹¤ë¤È¡¢



d
dt

¢é dx ¦×*(x,t) x ¦×(x,t)

= ¢é dx ¡Ê ¦×*(x,t)x ¡Ýi
\hbar

[ ¡Ý\hbar2
2m

¢ß2
¢ßx2
+V(x)] ¦×(x,t)+ i
\hbar

[ ¡Ý \hbar2
2m

¢ß2
¢ßx2
+V(x)] ¦×*(x,t)x¦×(x,t))

(8.16)
¤È¤Ê¤ë¡£¤³¤³¤ÇV(x)¤ËÈæÎ㤹¤ëÉôʬ¤ÏƱ¤¸¤â¤Î¤¬µÕÉä¹æ¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤Î¤Ç¾Ã¤¨¤ë¡£À°Íý¤¹¤ë¤È¡¢


d
dt

¢é dx ¦×*(x,t) x ¦×(x,t)
= i\hbar
2m

¢é dx ¡Ê ¦×*(x,t)x ¢ß2
¢ßx2
¦×(x,t)¡Ý¡Ê ¢ß2
¢ßx2
¦×*(x,t)) x¦×(x,t))

(8.17)
¡¡Â裲¹à¤Î¦×*¤ÎÊý¤Ë¤«¤«¤Ã¤Æ¤¤¤ëÈùʬ¤òÉôʬÀÑʬ¤ò»È¤Ã¤Æ³°¤·¤Æ¤¤¤¯¡£¤³¤Î»þ¡¢ÀÑʬÈϰϤÎü¤Ã¤³¡Ê¤¿¤¤¤Æ¤¤¤Î¾ì¹ç¤Ïx=¡Þ¡ç¤À¤í¤¦¡Ë¤Ç¤Ï¦×¤ä¤½¤ÎÈùʬ¤Ï£°¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤È¤·¤Æ¡¢É½Ì̹à¤Ï̵»ë¤·¤è¤¦¡£ÉôʬÀÑʬ¤Î·ë²Ì¤Ï


¢é dx ¢ß2
¢ßx2
¦×* x ¦× =
¡Ý ¢é dx ¢ß
¢ßx
¦×* ¢ß
¢ßx
( x ¦×)
=

¢é dx¦×* ¢ß2
¢ßx2
( x ¦×)
=

¢é dx¦×*¡Ê x ¢ß2
¢ßx2
¦×+ 2 ¢ß
¢ßx
¦×)


(8.18)
¤È¤Ê¤ë¡£¤³¤ÎÂ裱¹à¤ÏºÇ½é¤«¤é¤¢¤Ã¤¿[(¢ß2)/(¢ßx2)]¦×¤Î¹à¤È¾Ã¤·¹ç¤¦¡£»Ä¤ë¤Î¤Ï¡¢


d
dt

¢é dx ¦×*(x,t) x ¦×(x,t)
= ¡Ýi\hbar
m

¢é
dx ¦×*(x,t) ¢ß
¢ßx
¦×(x,t)

(8.19)
¤È¤Ê¤ë¡£¤³¤Î¼°¤ò¤è¤¯¸«¤ë¤È¡¢1/m¢édx ¦×*(x,t)(¡Ýi\hbar[¢ß/¢ßx])¦×(x,t)¤Î¤è¤¦¤Ë¡¢¦×*¤È¦×¤Î´Ö¤Ë±¿Æ°Î̱黻»Ò¡Ýi\hbar[¢ß/¢ßx]¤¬¤Ï¤µ¤Þ¤Ã¤¿·Á¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë¡£¤³¤ì¤Ï¡Ö±¿Æ°Î̤δüÂÔÃ͡פȹͤ¨¤Æ¤è¤¤Î̤ˤʤäƤ¤¤ë¡£¤³¤ì¤¬ÂÅÅö¤Ç¤¢¤ë¤³¤È¤Ï¸å¤Ç¼¨¤¹¤È¤·¤Æ¡¢¤È¤ê¤¢¤¨¤º¢édx ¦×*(x,t)(¡Ýi\hbar[¢ß/¢ßx])¦×(x,t)¤ò < p > ¤È½ñ¤¤¤Æ¤ª¤¯¤È¡¢

d
dt
< x > = 1
m
< p >
(8.20)
¤¬¼¨¤µ¤ì¤¿¤³¤È¤Ë¤Ê¤ë¡£¤³¤ì¤Ï¤Ä¤Þ¤ê¡¢p=mv¤Ç¤¢¤ë¡£¸ÅŵÎϳØŪ¤Ë¤Ï¤¢¤¿¤ê¤Þ¤¨¤Î¼°¤Ç¤¢¤ë¤¬¡¢ÎÌ»ÒÎϳؤÎÃæ¤Ç¤Ï¤³¤Î¤è¤¦¤Ë´üÂÔÃͤηÁ¤Ç¼Â¸½¤¹¤ë¤³¤È¤Ë¤Ê¤ë¡£

¡¡¤³¤Î»þ½Ð¤Æ¤¯¤ëd<x>/dt¤Ï·²Â®Å٤ʤó¤Ç¤¹¤«¡©
¡¡¤½¤¦¡¢Àè½µ¤Î·×»»¤Ç¤â£ð¤ËÂбþ¤¹¤ë¤Î¤Ï·²Â®ÅÙ¤ÎÊý¤À¤Ã¤¿¤Ç¤·¤ç¡£
¡¡¼¡¤Î¾Ï¤Ç¡¢¸ÅŵÎϳؤδط¸¼°¤¬ÎÌ»ÒÎϳؤǤϴüÂÔÃͤηÁ¤Ç¼Â¸½¤¹¤ë¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ë¤Ä¤¤¤Æ¡¢¤è¤ê°ìÈÌŪ¤Ê¹Í»¡¤ò¤·¤Ê¤¬¤é³Î¤«¤á¤Æ¤¤¤³¤¦¡£

8.4  ±é½¬ÌäÂê

[±é½¬ÌäÂê8-3]
»°³ÑÇÈ
º¸¤Î¤è¤¦¤Ëɽ¤µ¤ì¤ëÇÈÆ°´Ø¿ô¦×(¼Â¿ôÉô¤·¤«¤Ê¤¤)¤òµ¬³Ê²½¤·¤¿¸å¡¢ < x > ¤òµá¤á¤è¡£

[±é½¬ÌäÂê8-4] [±é½¬ÌäÂê7.4] ¤Ç·×»»¤·¤¿ÇÈÆ°´Ø¿ô¤½¤ì¤¾¤ì¤Î¾ì¹ç¤Ë¤Ä¤¤¤Æ < x > ¤ò·×»»¤·¤Æ¤ß¤è¡£
[±é½¬ÌäÂê8-5] ¢é¦×*(x,t)¦×(x,t) dx¤ÎÃͤϻþ´Ö¤¬·Ð¤Ã¤Æ¤âÊѲ½¤·¤Ê¤¤(³ÎΨ¤ÎÊݸ§)¤³¤È¤ò¡¢ ¥·¥å¥ì¡¼¥Ç¥£¥ó¥¬¡¼ÊýÄø¼°¤È¤½¤ÎÊ£ÁǶ¦Ìò¤«¤éºî¤é¤ì¤ë¼°(8.15)¤ò»È¤Ã¤Æ¾ÚÌÀ¤»¤è¡£¤¿¤À¤·¡¢¦×(x,t)¤ª¤è¤Ó¤½¤ÎÈùʬ¤Ï±óÊý¤Ç¤Ï0¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤â¤Î¤È¤¹¤ë¡£
[±é½¬ÌäÂê8-6] ¢éab ¦×*(x,t)¦×(x,t)dx¤Î¤è¤¦¤Ë¡¢ÀÑʬÈϰϤò°ìÉôʬ(a < x < b) ¤Ë¤¹¤ë¤È¡¢¤³¤ÎÎ̤ϰìÈ̤ËÊݸ¤·¤Ê¤¤¡£¤Ê¤¼¤Ê¤é¡¢x=a¤Èx=b¤È¤¤¤¦Ã¼¤Ã¤³¤«¤é¡¢Î³»Ò¤¬Æ¨¤²½Ð¤·¤Æ¹Ô¤¯(¤¢¤ë¤¤¤Ï³°¤«¤éγ»Ò¤¬Æþ¤Ã¤ÆÍè¤ë)¤«¤é¤Ç¤¢¤ë¡£¤³¤Î¼°¤òÈùʬ¤¹¤ë¤È

d
dt

¢é b

a 
¦×*(x,t)¦×(x,t)dx = [ J(x,t) ]ab
¤Î¤«¤¿¤Á¤Ëľ¤¹¤³¤È¤¬¤Ç¤­¤ë¤¬¡¢¤³¤ÎJ(x,t)¤Ï¤¹¤Ê¤ï¤Á¡¢Î³»Ò¤Î¸ºß³ÎΨ¤¬ÀµÊý¸þ¤Ø¤É¤ì¤¯¤é¤¤½Ð¤Æ¹Ô¤¯¤«¤òɽ¤¹Î̤Ǥ¢¤ë¡£¦×(x,t)¤¬(8.15)¤òËþ¤¿¤·¤Æ¤¤¤ë¾ì¹ç¤Ë¤Ä¤¤¤Æ¡¢J(x,t)¤òµá¤á¤è¡£


Âè9¾Ï ʪÍýÎ̤ȴüÂÔÃÍ

9.1  ±¿Æ°Î̤δüÂÔÃÍ

¡¡±¿Æ°Î̤δüÂÔÃͤò·×»»¤¹¤ëÊýË¡¤ò¹Í¤¨¤è¤¦¡£¤¿¤À¤·¡¢¤³¤ÎÀá¤Ç¤Ïµ¬³Ê²½¤ÎÌäÂê¤ò´Êñ¤Ë¤¹¤ë¤¿¤á¤Ë¡¢x¤ÎÈϰϤò¡Ý¦Ð < x < ¦Ð¤È¤·¡¢¼þ´ü¶­³¦¾ò·ï¤ò¤ª¤¯39¡£
¡¡¤³¤Î¤è¤¦¤ËÄêµÁ¤µ¤ì¤¿´Ø¿ô¤Ï
f(x)= 1


¢å

2¦Ð

¡ç
­ô
n=¡Ý¡ç 
Fn einx
(9.1)
¤Î¤è¤¦¤Ë¥Õ¡¼¥ê¥¨µé¿ô¤ÇŸ³«¤Ç¤­¤ë¡£Á°¤Ë½Ð¤Æ¤­¤¿¥Õ¡¼¥ê¥¨µé¿ô(6.3)¤Ïcos nx,sin nx¤ò»È¤Ã¤Æ¤¤¤¿¤¬¡¢¤³¤³¤Ç¤Ïeinx¤ò»È¤Ã¤Æ¤¤¤ë¡£einx=cos nx + i sin nx¤Ç¤¢¤ë¤³¤È¤ò»×¤¤½Ð¤»¤Ð¡¢¾å¤Î¼°¤Ï

f(x) =

1


¢å

2¦Ð

¡ç
­ô
n=¡Ý¡ç 
Fn (cos nx + i sin nx)
=

1


¢å

2¦Ð
F0 + 1


¢å

2¦Ð

¡ç
­ô
n=0 
[ (Fn+F¡Ýn)cos nx + i(Fn¡ÝF¡Ýn)sin nx]

(9.2)
¤È¤Ê¤ë¡£

1


¢å

2¦Ð
F0= 1
2
a0,   1


¢å

2¦Ð
(Fn+F¡Ýn) = an,   i


¢å

2¦Ð
(Fn¡ÝF¡Ýn) = bn
(9.3)
¤È¤¹¤ì¤Ð¤³¤Î¼°¤Ï(6.3)¤ÈƱ¤¸¤Ç¤¢¤ë¡£
¡¡¤³¤Î¤è¤¦¤ËÇÈ¿ôn¤ò»ý¤Ã¤¿ÇÈeinx¤òŬÅö¤Ê½Å¤ßFn¤ò¤«¤±¤Æ­¤·»»(½Å¤Í¹ç¤ï¤»)¤·¤Æ¤¤¤¯¤³¤È¤Ç¡¢¤¤¤í¤ó¤Ê·Á¤Î´Ø¿ô¤òºî¤ë¤³¤È¤¬¤Ç¤­¤ë40¡£¤³¤În¤ÏÀ°¿ô¤Ë¸Â¤ë¤¬¡¢¤½¤ì¤Ï¼þ´ü¶­³¦¾ò·ï¦×(¦Ð)=¦×(¡Ý¦Ð)¤òËþ­¤¹¤ë¤è¤¦¤Ë¤Ç¤¢¤ë¡£
¡¡¤³¤Î´Ø¿ôf(x)¤òÇÈÆ°´Ø¿ô¤À¤È¹Í¤¨¤ë¤È¡¢ÇÈ¿ôn¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ï±¿Æ°ÎÌ\hbarn ¤ò»ý¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤È¤¤¤¦¤³¤È¤À¤«¤é¡¢Fn¤Ï¡¢¡ÖÇÈÆ°´Ø¿ô¤ÎÃæ¤Ë±¿Æ°ÎÌ\hbarn ¤ò»ý¤Ã¤¿À®Ê¬¤¬¤É¤ÎÄøÅÙ´Þ¤Þ¤ì¤Æ¤¤¤ë¤«¡×¤ò¼¨¤¹¤È¸À¤¦¤³¤È¤¬¤Ç¤­¤ë¡£³ÎΨ¤Ï¦×*¦×¤ËÈæÎ㤹¤ë¤«¤é¡¢±¿Æ°Î̤¬\hbarn¤Ë¤Ê¤ë³ÎΨ¤ÏF*n Fn¤ËÈæÎ㤹¤ë(Fn¤Ï°ìÈ̤ËÊ£ÁÇ¿ô¤Ç¤¢¤ë¤³¤È¤ËÃí°Õ¡£¤¦¤Þ¤¯µ¬³Ê²½¤µ¤ì¤Æ¤¤¤ì¤Ð¡¢¡ÖÈæÎ㤹¤ë¡×¤Ç¤Ï¤Ê¤¯F*F¤Ï³ÎΨ¤½¤Î¤â¤Î¤È¤Ê¤ë)¡£
ñ½ã¤ÊÎã¤ò¹Í¤¨¤è¤¦¡£¤¢¤ëÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬
¦×(x)= 1


¢å

2¦Ð
( F1 eix+ F2 e2ix+F3e3ix)
(9.4)
¤Î¤è¤¦¤Ë¡¢£³¤Ä¤ÎÇÈÆ°´Ø¿ô¤ÎϤȤ·¤ÆÍ¿¤¨¤é¤ì¤¿¤È¤¹¤ë¡£³ÆÀ®Ê¬¤Ç¤¢¤ë¤È¤³¤í¤Îeix,e2ix,e3ix¤Ï¤½¤ì¤¾¤ì¡¢\hbar,2\hbar,3\hbar¤Î±¿Æ°Î̤ò»ý¤Ã¤Æ¤¤¤ëγ»Ò¤òɽ¤¹ÇÈÆ°´Ø¿ô¤È²ò¼á¤Ç¤­¡¢F1,F2,F3¤Ï¤½¤ì¤¾¤ì¤ÎÇȤ¬¤É¤ÎÄøÅÙº®¤¸¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤«¤òɽ¤¹¿ô»ú¤Ç¤¢¤ë¡£¤Þ¤ºµ¬³Ê²½¾ò·ï¤ò¹Í¤¨¤ë¡£¡¡¦×*¦×¤òÀÑʬ¤¹¤ë¤È


¢é ¦Ð

¡Ý¦Ð 
¦×*¦×dx=

1
2¦Ð

¢é ¦Ð

¡Ý¦Ð 
(F1* e¡Ýix+ F2* e¡Ý2ix+F3*e¡Ý3ix)(F1 eix+ F2 e2ix+F3e3ix)dx

(9.5)
¤È¤Ê¤ë¡£
sin¤Ècos¤ÎÇÈ
¤³¤³¤Çeinx(n ¡â 0)¤Î¤è¤¦¤Ê¿¶Æ°´Ø¿ô¤òÈϰϡݦР< x < ¦Ð(n¼þ´üʬ¤ËÂбþ¤¹¤ë)¤ÇÀÑʬ¤¹¤ë¤È¡¢Åú¤¨¤Ï¥¼¥í¤Ë¤Ê¤ë¤³¤È¤ò»×¤¤½Ð¤½¤¦¡£ÇȤ볤Èë¤ò­¤·¤Æ¹Ô¤¯¤³¤È¤Ë¤Ê¤ë¤«¤é¤Ç¤¢¤ë¡£¤³¤ì¤ò»È¤¦¤È¡¢¤«¤±»»¤Î·ë²Ìeix¤¬»Ä¤ë¤è¤¦¤Ê¹à(¤¿¤È¤¨¤ÐF*1e¡Ýix¤ÈF2 e2ix¤ÎÀÑ)¤Ï¤É¤¦¤»¥¼¥í¤À¤«¤é·×»»¤¹¤ëɬÍפϤʤ¤¡£¤³¤Î¤è¤¦¤Ë°ã¤¦±¿Æ°Î̤ò»ý¤Ã¤¿ÇÈÆ°´Ø¿ô¤ÎÀѤòÀÑʬ¤¹¤ë¤È0¤Ë¤Ê¤ë(Ʊ¤¸±¿Æ°Î̤ò»ý¤Ä¤â¤Î¤É¤¦¤·¤ÎÀѤÀ¤±¤¬»Ä¤ë)¤Î¤Ï¤¹¤°¸å¤Ç³Ø¤Ö°ìÈÌŪ¤Êˡ§¡Ö¥¨¥ë¥ß¡¼¥È¤Ê±é»»»Ò¤ËÂФ·¤Æ°Û¤Ê¤ë¸ÇÍ­Ãͤò»ý¤Ä¸ÇÍ­´Ø¿ô¤Ïľ¸ò¤¹¤ë¡×(¡Ö¥¨¥ë¥ß¡¼¥È¡×¤È¤¤¤¦¸ÀÍդΰÕÌ£¤Ï¤¹¤°¤Ë½Ð¤Æ¤¯¤ë)¤Î°ìÎã¤Ç¤¢¤ë¡£
¡¡¤µ¤Æ°Ê¾å¤Î¤è¤¦¤Ê¹Í»¡¤«¤é¡¢


¢é ¦Ð

¡Ý¦Ð 
¦×*¦×dx =

1
2¦Ð

¢é ¦Ð

¡Ý¦Ð 
(F1* F1 + F2* F2+F3*F3) dx
=
F1* F1 + F2* F2+F3* F3

(9.6)
¤Ê¤Î¤Ç¡¢µ¬³Ê²½¾ò·ï¤«¤é¡¢F1* F1 + F2* F2+F3* F3 = 1¤Ç¤Ê¤¯¤Æ¤Ï¤Ê¤é¤Ê¤¤¡£¤³¤Î»þ¡¢F1* F1,F2* F2,F3* F3¤È¤¤¤¦3¤Ä¤Î¿ô¤Ï¡¢±¿Æ°Î̤¬¤½¤ì¤¾¤ì¡¢\hbar,2\hbar,3\hbar¤Ë¤Ê¤ë³ÎΨ¤òɽ¤¹¡£¤è¤Ã¤Æ¡¢¤³¤Î¾ì¹ç¤Î±¿Æ°Î̤δüÂÔÃͤÏ(ÃÍ)¡ß(³ÎΨ)¤ÎϤȤ·¤Æ·×»»¤·¤Æ¡¢
< p > = \hbar F1* F1 + 2 \hbarF2* F2 + 3\hbar F3* F3
(9.7)
¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ë¤Ê¤ë¡£
¤Ç¤Ï¡¢±¿Æ°Î̤δüÂÔÃͤò·×»»¤¹¤ë¤Ë¤Ï¡¢¤Þ¤ºÇÈÆ°´Ø¿ô¤ò(9.1)¤Î¤è¤¦¤Ë¥Õ¡¼¥ê¥¨µé¿ô¤ÇŸ³«¤·¤Æ¡¢·¸¿ôFn¤òµá¤á¤Æ¤ª¤«¤Ê¤¯¤Æ¤Ï¤¤¤±¤Ê¤¤¤Î¤À¤í¤¦¤«¡©
¼Â¤Ï¤½¤Î¿´ÇۤϤʤ¤¡£¡Ö±¿Æ°Î̤ò±é»»»Ò¡Ýi\hbar[¢ß/¢ßx] ¤ÇÃÖ¤­´¹¤¨¤ë¤³¤È¤¬¤Ç¤­¤ë¡×¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Î¤¢¤ê¤¬¤¿¤µ¤¬¤³¤³¤Ç¤â½Ð¤Æ¤¯¤ë¡£ÇÈÆ°´Ø¿ô¤Ë¤³¤Î±é»»»Ò¤ò¤«¤±¤ë¤È¡¢
¡Ýi\hbar ¢ß
¢ßx
¦×(x)= 1


¢å

2¦Ð

¡Ê ¡Ýi\hbar ¢ß
¢ßx
) (F1 eix+ F2 e2ix+F3e3ix ) = 1


¢å

2¦Ð
(\hbarF1 eix+ 2\hbar F2 e2ix+3\hbar F3e3ix )
(9.8)
¤È¤Ê¤ë¡£¤Ä¤Þ¤ê¡¢ÇÈÆ°´Ø¿ô¤Î³ÆÀ®Ê¬¤ÎÁ°¤Ë¡¢¤½¤ì¤¾¤ì¤ÎÀ®Ê¬¤Î»ý¤Ä±¿Æ°Î̤¬¤«¤±»»¤µ¤ì¤¿·Á¤Ç½Ð¤Æ¤¯¤ë¡£¤³¤ì¤Ë¦×*¤ò¤«¤±¤ÆÀÑʬ¤¹¤ë¤È¡¢¤µ¤Ã¤­¤ÈƱ¤¸Íýͳ¤Çeix¤¬»Ä¤é¤Ê¤¤Éôʬ¤À¤±¤¬¥Î¥ó¥¼¥í¤Ç»Ä¤ë¤«¤é¡¢


¢é ¦Ð

¡Ý¦Ð 
¦×*¡Ê ¡Ýi\hbar ¢ß
¢ßx
) ¦×dx =

1
2¦Ð

¢é ¦Ð

¡Ý¦Ð 
(F1* e¡Ýix+ F2* e¡Ý2ix+F3* e¡Ý3ix ) (\hbar F1 eix+ 2\hbar F2 e2ix+3\hbar F3e3ix )
=
 \hbarF1* F1 + 2 \hbarF2* F2 + 3\hbarF3* F3

(9.9)
¤Ç¤¢¤ë¡£¤â¤Ã¤È°ìÈÌŪ¤ÊÇÈÆ°´Ø¿ô¤Ç¤¢¤Ã¤Æ¤âƱ¤¸¤³¤È¤¬¸À¤¨¤ë¡£¤Ä¤Þ¤ê¡¢Fn ¤ò·×»»¤·¤Ê¤¯¤Æ¤â¡¢
< p > = ¢é ¦×*¡Ê ¡Ýi\hbar ¢ß
¢ßx
) ¦×dx
(9.10)
¤È·×»»¤¹¤ì¤Ð¤è¤¤¤Î¤Ç¤¢¤ë¡£Á°¤Ë < x > ¤Î·×»»¤Ç¤ï¤¶¤ï¤¶x¤ò¦×*¤È¦×¤Î´Ö¤ËÃÖ¤¤¤¿¤Î¤Ï¡¢¤³¤Î¼°¤ÈƱ¤¸·Á¤Ë¤Ê¤ë¤è¤¦¤Ë¤Ç¤¢¤ë¡£¡Ýi\hbar[¢ß/¢ßx]¤ÎÊý¤ÏÈùʬ±é»»»Ò¤Ç¤¢¤ë¤«¤é¤É¤³¤Ë¤ª¤¤¤Æ¤â¤è¤¤¤È¤¤¤¦¤ï¤±¤Ë¤Ï¤¤¤«¤Ê¤¤¡£



[Ì䤤9-1] ¡Ý¦Ð < x < ¦Ð¤ÇÄêµÁ¤µ¤ì¤¿ÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬¦× = [1/¢å{¦Ð}]sin x¤À¤Ã ¤¿¤È¤¹¤ë¡£¤³¤Î¾ì¹ç¤Î < p > ¤òµá¤á¤è¡£
[Ì䤤9-2] Á°Ìä¤Ç¤Î < p > ¤ÎÅú¤¨¤Ï¡¢·×»»¤»¤º¤È¤â¡¢sin x=[1/2i](eix¡Ýe¡Ýix)¤«¤é´Êñ¤Ë¤ï¤«¤ë¡£¤É¤Î¤è¤¦¤Ë¤ï¤«¤ë¤Î¤«¡©



¤³¤³¤Ç¡¢einx¤È¤¤¤¦´Ø¿ô¤Ï¡Ýi\hbar[¢ß/¢ßx]¤ò¤«¤±¤ë¤È
¡Ýi\hbar ¢ß
¢ßx
einx =\hbarn einx
(9.11)
¤Î¤è¤¦¤Ë¡¢\hbarn¡ß(¸µ¤Î´Ø¿ô)¤È¤¤¤¦·Á¤Ë¤â¤É¤ë¡£¤³¤Î¤è¤¦¤Ë¤¢¤ë±é»»»Ò¤ò¤«¤±¤Æ¤½¤Î´Ø¿ô¤Î·Á¤¬ÊѤï¤é¤º¡¢¤¿¤À¸µ¤Î·Á¤ÎÄê¿ôÇܤˤʤë»þ¡¢¤½¤Î´Ø¿ô¤ò¸ÇÍ­´Ø¿ô¤È¸Æ¤Ó¡¢¤½¤Î»þ½Ð¤Æ¤­¤¿¿ô(º£¤Î¾ì¹ç\hbarn)¤ò¸ÇÍ­ÃÍ ¤È¸Æ¤Ö41¡£
¾å¤Ç¤Ï£³¼ïÎà¤Î±¿Æ°Î̤ò»ý¤Ä¾õÂ֤έ¤·¹ç¤ï¤µ¤ì¤¿¾õÂ֤ˤʤäƤ¤¤ëÇÈÆ°´Ø¿ô¤ò¹Í¤¨¤¿¡£¤³¤Î¤è¤¦¤ÊÇÈÆ°´Ø¿ô¤Ï¸ÇÍ­´Ø¿ô¤Ç¤Ï¤Ê¤¤(°ì¸Ä°ì¸Ä¤ÎÀ®Ê¬¤Ï¸ÇÍ­´Ø¿ô)¡£ÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬±¿Æ°Î̤θÇÍ­´Ø¿ô¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ë(einx°ì¹à¤Î¤ß¤«¤é¤Ê¤ë)¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ï¡¢¤½¤ÎÇÈÆ°´Ø¿ô¤Çɽ¤µ¤ì¤Æ¤¤¤ëÎÌ»ÒÎϳØŪ¾õÂ֤ϱ¿Æ°Î̤¬°ì¤Ä¤ÎÃÍ(\hbarn)¤Ë·è¤Þ¤Ã¤Æ¤¤¤Æ¡¢¤æ¤é¤®¤¬¤Ê¤¤¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ç¤¢¤ë¡£
¡¡¤³¤Î»þ¡¢¦×*¦×¤ò·×»»¤¹¤ë¤È¡¢x¤Ë¤è¤é¤Ê¤¤Äê¿ô¤È¤Ê¤ë¡£¤Ê¤¼¤Ê¤é¤Ð¡¢e¡Ýinxeinx=1¤È¤¤¤¦·×»»¤«¤éx¤¬¾Ã¤¨¤Æ¤·¤Þ¤¦¤«¤é¤Ç¤¢¤ë¡£¤Ä¤Þ¤ê¡¢¤³¤Î¤è¤¦¤ÊÇÈÆ°´Ø¿ô¤Ï³ÎΨ̩ÅÙ¤¬Äê¿ô¡¢¤¹¤Ê¤ï¤Á¡¢¡Ö¤É¤³¤Ë¤¤¤ë¤ó¤À¤«¤µ¤Ã¤Ñ¤ê¤ï¤«¤é¤Ê¤¤¡×¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ç¤¢¤ë¡£±¿Æ°Î̤¬³ÎÄꤹ¤ë¤È°ÌÃÖ¤¬ÉÔ³ÎÄê¤Ë¤Ê¤ë¤È¤¤¤¦ÉÔ³ÎÄêÀ­´Ø·¸¤¬¡¢¤³¤³¤Ç¤â¼Â¸½¤·¤Æ¤¤¤ë¡£
¡¡¼ÂºÝ¤Ë¸ºß¤¹¤ëÇÈÆ°´Ø¿ô¤Ç¤Ï¡¢¤¤¤í¤ó¤Ê±¿Æ°Î̤ò»ý¤Ã¤¿ÇÈÆ°´Ø¿ô¤Î½Å¤Í¹ç¤ï¤»¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤ª¤ê¡¢±¿Æ°Î̤¬°ì¤Ä¤ÎÃͤ˳ÎÄꤷ¤Æ¤¤¤Ê¤¤(¤½¤ì¡¡¤æ¤¨µÕ¤Ëx¤Ë´Ø¤·¤Æ¤Ï¤¢¤ëÄøÅ٤Ϸè¤Þ¤Ã¤Æ¤¤¤ë)¡£Ç¤°Õ¤Î´Ø¿ô¤¬¥Õ¡¼¥ê¥¨ÊÑ´¹¤Ë¤è¤Ã¤Æeikx¤ÎϤηÁ¤Ë¤«¤±¤ë¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ï¤¹¤Ê¤ï¤Á¡¢Ç¤°Õ¤ÎÇÈÆ°´Ø¿ô¤¬¤¤¤í¤ó¤Ê±¿Æ°Î̤ò»ý¤Ã¤¿ÇÈÆ°´Ø¿ô¤Î½Å¤Í¹ç¤ï¤»¤Ç¤«¤Ê¤é¤º½ñ¤±¤ë¤È¤¤¤¦¤³¤È¤Ç¤¢¤ë¡£

9.4  ±é½¬ÌäÂê¡Ê´ØÏ¢¤¹¤ëÌä¤Î¤ß¡Ë

[±é½¬ÌäÂê9-1] ¦×(x)=e3ix+eix¤È¤¤¤¦ÇÈÆ°´Ø ¿ô(x¤ÎÈϰϤϡݦР< x < ¦Ð)¤òµ¬³Ê²½¤·¤¿¸å¡¢±¿Æ°Î̤δüÂÔÃͤòµá¤á¤è¡£

³ØÀ¸¤Î´¶ÁÛ¡¦¥³¥á¥ó¥È¤«¤é

¡¡ÎÌ»ÒÎϳؤ¬¸ÅŵÎϳؤò´Þ¤ó¤À¤â¤Î¤À¤È¤¤¤¦¤³¤È¤¬¤ï¤«¤Ã¤¿¡Ê¿¿ô¡Ë¡£
¡¡Íè½µ¤ä¤ë·×»»¤Ç¤Ï¡¢±¿Æ°ÊýÄø¼°¤¬¤Ç¤Æ¤­¤Þ¤¹¡£

¡¡¿Í´Ö¤¬¥¦¥§¡¼¥Ö¤òºî¤Ã¤Æ¤¤¤ë³¨¤Ç¤¹¤¬¡¢¤¢¤Î¿Í´Ö°ì¿Í°ì¿Í¤Ï¸ºß¤»¤º¤Ë¡¢ÇȤ¬ÅÁ¤ï¤Ã¤Æ¤¤¤¯¤ó¤Ç¤¹¤è¤Í¡©ÇÞÂΤϤʤ¤¤Î¤Ç¡£
¡¡¤Ï¤¤¡£¿Í´Ö¡¦¡¦¤È¤¤¤¦¤«¡¢ÇȤòÅÁ¤¨¤ë¼ÂÂΤΤ褦¤Ê¤â¤Î¤Ï¸ºß¤·¤Æ¤¤¤Þ¤»¤ó¡£


¡¡Æó³¬Èùʬ¤¬
¢é dx ¦×*(x,t)x ¢ß2
¢ßx2
¦×(x,t)¡á¢é dx¡Ê ¢ß2
¢ßx2
¦×*(x,t)) x¦×(x,t)
¤È»ý¤Ã¤ÆÍè¤ì¤Ê¤¤¤Î¤Ï¤Ê¤¼¤Ç¤¹¤«¡©

¢é dx ¦×*(x,t) ¢ß2
¢ßx2
¡Ê x¦×(x,t)) =¢é dx¡Ê ¢ß2
¢ßx2
¦×*(x,t)) x¦×(x,t)
¤È¤Ê¤é¤Ç¤­¤Þ¤¹¡£¤Ä¤Þ¤ê¡¢Èùʬ¤òÀÞ¤êÊÖ¤·¤¿¤È¤­¡¢¤½¤ÎÈùʬ¤Ïx¤Ë¤â¤«¤«¤é¤Ê¤¯¤Æ¤Ï¤¤¤±¤Ê¤¤¤Î¤Ç¤¹¡£

¡¡ÉôʬÀÑʬ¤Ç¡¢[¤Ê¤ó¤È¤«]-¡ç¡ç¤ÎÉôʬ¤ò̵»ë¤¹¤ë¤È¸À¤Ã¤Æ¤Þ¤·¤¿¤¬¡¢¢é-¡ç¡ç¡Ê¤Ê¤ó¤È¤«¡Ëdx¤ÎÉôʬ¤Ï̵»ë¤·¤Þ¤»¤ó¤Ç¤·¤¿¡£°ã¤¤¤Ï²¿¤Ç¤¹¤«¡©
¡¡[¤Ê¤ó¤È¤«]-¡ç¡ç¤Ë¤Ï¡¢ÀÑʬ¤Îü¤Ã¤³¡Ê-¡ç¤È¡ç¡Ë¤ÎÉôʬ¤·¤«Æþ¤Ã¤Æ¤Þ¤»¤ó¡£¢é-¡ç¡ç¡Ê¤Ê¤ó¤È¤«¡Ëdx¤ÎÊý¤Ï¡¢¤½¤Î´Ö¤ÎÁ´¤Æ¤¬Æþ¤Ã¤Æ¤Þ¤¹¡£Ìµ»ë¤¹¤ë¤Î¤Ï¡¢Ìµ¸Â¤Ë±ó¤¤¤È¤³¤í¤À¤±¤Ç¤¹¡£

¡¡¤É¤ó¤ÊÇȤǤâ°ì¼þÀÑʬ¤·¤¿¤é£°¤Ë¤Ê¤ë¤ó¤Ç¤¹¤«¡©
¡¡¡Ö¤É¤ó¤ÊÇȤǤâ¡×¤È¤¤¤¦¤ï¤±¤Ë¤Ï¤¤¤­¤Þ¤»¤ó¡£ÀµÉ餬¶ÑÅù¤Ë½Ð¤ëÇȤÀ¤±¤Ç¤¹¡£cos¤äsin¤Ç½ñ¤±¤Æ¤¤¤ëÇȤʤéÂç¾æÉפǤ¹¡£

¡¡F1,F2,F3¤Ï¤É¤¦¤ä¤Ã¤Æµá¤á¤ë¤ó¤Ç¤¹¤«¡©
¡¡¼ÂºÝ¤Ë´Ø¿ô¤Î·Á¤¬·è¤Þ¤Ã¤Æ¤¤¤ì¤Ð¡¢Á°¤«¤ée-ix¤ò¤«¤±¤ÆÀÑʬ¤¹¤ì¤ÐF1¤¬µá¤á¤é¤ì¤Þ¤¹¡£¤³¤Î¤Ø¤ó¤Ï¡¢cos,sin¤Ë¤è¤ë¥Õ¡¼¥ê¥¨µé¿ô¤Î»þ¤Ëan¤È¤«¤òµá¤á¤¿¤È¤­¤ÈƱ¤¸¤Ç¤¹¡£

¡¡<x>¤È<p>¤Ë¤Ï¤É¤ó¤Ê´Ø·¸¤¬¤¢¤ê¤Þ¤¹¤«¡©
¡¡º£Æü¤ä¤Ã¤¿m(d<x>/dt)=<p>¤È¤«¡£

¡¡ÎÌ»ÒÎϳؤâÁêÂÐÏÀ¤â¥Ë¥å¡¼¥È¥óÎϳؤò´Þ¤ó¤Ç¤¤¤ë¤Î¤Ê¤é¡¢¤³¤ÎÆó¤Ä¤Î´Ö¤Ë¤Ï²¿¤«´Ø·¸¤¬¤Ê¤¤¤Î¤Ç¤¹¤«¡©
¡¡¡Ö¸ÅŵÎϳؤ«ÎÌ»ÒÎϳؤ«¡×¤È¡ÖÁêÂÐÏÀŪ¤«ÈóÁêÂÐÏÀŪ¤«¡×¤ÏÆÈΩ¤ÊÌ¿Âê¤Ç¤¹¡£¤Ä¤Þ¤ê¡¢


ÈóÁêÂÐÏÀŪ
ÁêÂÐÏÀŪ
¸ÅŵÎϳØ
¥Ë¥å¡¼¥È¥óÎϳØ
ÁêÂÐÏÀŪÎϳءʥ¢¥¤¥ó¥·¥å¥¿¥¤¥ó¡Ë
ÎÌ»ÒÎϳØ
¥·¥å¥ì¡¼¥Ç¥£¥ó¥¬¡¼ÊýÄø¼°
¥¯¥é¥¤¥ó¡¦¥´¥ë¥É¥óÊýÄø¼°¡¢¥Ç¥£¥é¥Ã¥¯ÊýÄø¼°¤Ê¤É

¤Î¤è¤¦¤ÊÂбþ´Ø·¸¤Ë¤Ê¤ê¤Þ¤¹¡£ÁêÂÐÏÀŪ¤ÊÎÌ»ÒÎϳؤϡ¢¤³¤Î¹ÖµÁ¤Ç¤Ï°·¤¤¤Þ¤»¤ó¡£

¡¡m(d<x>/dt)=<p>¤ÏÉÔ³ÎÄê´Ø·¸¤ËÈ¿¤·¤Æ¤¤¤ë¤È»×¤¦¡£<x>=0¤Ê¤é¡¢<p>=0¤Ç¤·¤ç¤¦¡£
¡¡ÉÔ³ÎÄêÀ­´Ø·¸¤Ï¡¢£ø¤ä£ð¤Î¹­¤¬¤ê¤Ç¤¢¤ë¦¤£ø¡¢¦¤£ð¤Î´Ö¤Î´Ø·¸¤Ç¤¹¡£<x>¤ä<p>¤ÏÊ¿¶ÑÃͤ¢¤ë¤¤¤Ï´üÂÔÃͤǤ¢¤Ã¤Æ¡¢¹­¤¬¤ê¤òɽ¤·¤Æ¤¤¤ë¤ï¤±¤Ç¤Ï¤Ê¤¤¤Î¤Ç¡¢<x>=0¤ä<p>=0¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤âÌäÂꤢ¤ê¤Þ¤»¤ó¡£

¡¡ÎÌ»ÒÎϳؤǤϳÎΨ¤·¤«·×»»¤Ç¤­¤Ê¤¤¤È¤¤¤¦¤³¤È¤ÇÉ԰¤ˤʤäƤ¤¤¿¤¬¡¢´üÂÔÃͤ¬·×»»¤Ç¤­¤ë¤³¤È¤È¡¢¸ÅŵÎϳؤ¬´üÂÔÃͤòÄ̤·¤ÆÆþ¤Ã¤Æ¤¤¤ë¤ÈÃΤäư¿´¤·¤¿¡£²æ¡¹¤Î´ã¤Ç¤Ï¦¤£ø¤ä¦¤£ð¤¬¸«¤¨¤Ê¤¤¤Î¤Ç¸ÅŵÎϳؤǵ­½Ò¤·¤Æ¤âÌäÂê¤Ïµ¯¤­¤Ê¤«¤Ã¤¿¤Î¤«¤Ê¤¡¡¢¤È»×¤Ã¤¿¡£
¡¡¤½¤¦¤¤¤¦¤³¤È¤Ç¤¹¡£¤È¤³¤í¤¬¥ß¥¯¥í¤ÊÀ¤³¦¤òµ­½Ò¤·¤è¤¦¤È¤¹¤ë¤È¡¢¦¤£ø¤ä¦¤£ð¤ò¹Í¤¨¤¶¤ë¤òÆÀ¤Ê¤¯¤Ê¤Ã¤Æ¤·¤Þ¤Ã¤¿¡¢¤È¤¤¤¦¤ï¤±¤Ç¤¹¡£

¡¡´üÂÔÃͤè¤ê¹Í¤¨¤é¤ì¤ëm(d<x>/dt)=<p>¤Ï¡¢¤¤¤Ã¤¿¤¤¤É¤³¤ÎÀ¤³¦¤Î¼°¤Ç¤¹¤«¡£
¡¡¤¢¤Ê¤¿¤¬½»¤ó¤Ç¤¤¤ë¤³¤ÎÀ¤³¦¤Ç¤¹¤è(^_^;)¡£

¡¡º£Æü¤Î¼ý³Ï¤Ï¡¢¸ÅŵÏÀ¤Ë¤ª¤±¤ë£ø¤È¡¢ÎÌ»ÒÏÀ¤Ë¤ª¤±¤ë£ø¤Î°ã¤¤¤¬¤Ï¤Ã¤­¤ê¤·¤¿¤³¤È¡£¤â¤ä¤â¤ä¤·¤Æ¤¤¤¿¤È¤³¤í¤Ê¤Î¤Ç¤¦¤ì¤·¤«¤Ã¤¿¡£
¡¡¤³¤ÎÉôʬ¤¬¤ï¤«¤Ã¤Æ¤Ê¤¤¤È¡¢¤«¤Ê¤êŤ¤´Ö¤â¤ä¤â¤ä¤·¤Ã¤Ñ¤Ê¤·¤Ë¤Ê¤ê¤Þ¤¹¡£Áá¤á¤Ë²ò¾Ã¤Ç¤­¤Æ¤è¤«¤Ã¤¿¤Ç¤¹¤Í¡£

¡¡¤¤¤Þ¤µ¤é¤Ç¤¹¤¬¡¢ÇÈÆ°´Ø¿ô¦×¤Ã¤Æ²¿¤òɽ¤·¤Æ¤¤¤ë¤ó¤Ç¤¹¤«¡©
¡¡¤Û¤ó¤Þ¤Ë¡Ö¤¤¤Þ¤µ¤é¡×¤Ç¤¹¤Ê(^_^;)¡£¤È¤ê¤¢¤¨¤º¤Ï¦×*¦×¤¬³ÎΨ̩ÅÙ¤òɽ¤¹¤é¤·¤¤¤È¤¤¤¦¤³¤È¤òǧ¤á¤Æ¤¯¤À¤µ¤¤¡£¤½¤·¤Æ¡¢¦×¤Î»³¤Ë¤Ê¤Ã¤Æ¤¤¤ëÉôʬ¤Ëγ»Ò¤¬¤¤¤ë¤È»×¤Ã¤Æ¤½¤Î±¿Æ°¤òÄɤ¤¤«¤±¤ë¤È¸ÅŵÏÀ¤¬¤Á¤ã¤ó¤È½Ð¤ë¤é¤·¤¤¡¢¤È¤¤¤¦¤È¤³¤í¤¬¤³¤³¤Þ¤Ç¤ï¤«¤Ã¤¿¤³¤È¤Ç¤¹¡£¡¡
¡¡

Footnotes:

41Îò»ËŪ»ö¾ð¤«¤é¡¢±Ñ¸ì¤ÎËܤǤ⡢¤³¤ì¤é¤Î¡Ö¸ÇÍ­¡×¤Ï¥É¥¤¥Ä¸ì¤Ç¤¢¤ëeigen(ȯ²»¤Ï²¾Ì¾½ñ¤­¤¹¤ë¤È¥¢¥¤¥²¥ó) ¤ò»È¤¦¡£¸ÇÍ­´Ø¿ô¤Ïeigen function¡¢¸ÇÍ­ÃͤÏeigen value¡£


File translated from TEX by TTHgold, version 3.63.
On 15 Jul 2005, 17:55.