量子力学講義録2005年第14回

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16.2 ３次元の角運動量（の続き）

　これでエネルギーから角運動量の部分を分離できたわけである。以下で波動関数を、エネルギーの固有状態で同時に運動量の固有状態であるような状態として求めていきたい。しかし、ある状態が二つの演算子の同時固有状態であるためには、演算子が互いに交換しなくてはいけない。

　そこで、ここで出てきた演算子|→L|²,L_x,L_y,L_zおよびハミルトニアンHとの相互の交換関係を考えておこう。まずL_xとL_yの交換関係を計算する。 [L_x,L_y] = [ yp_z－zp_y,zp_x－xp_z ]であるが、交換関係の中身を見ると、交換しない組み合わせは「yp_z の中のp_zとzp_xの中のz」、「－zp_yの中のzと－xp_zの中のp_z」の二つだけである。ゆえに、

[L_x,L_y]=y[p_z,z]p_x +x[z,p_z]p_y = i hbar

(xp_y－yp_x)=i hbar

L_z

(16.34)

である。サイクリックな交換(x→ y, y→ z,z→ x)を行うことで、[L_y,L_z]=i hbar

L_x,[L_z,L_x]=i hbar

L_yが求められる。自分自身とは当然交換する(たとえば[L_x,L_x]=0)し、これ以外のものは上で求めたものの逆符号になる(たとえば[L_y,L_x]=－[L_x,L_y]= －i hbar

L_z) ので、これでL_x,L_y,L_zの組み合わせについてはすべて計算した。

　|→L|²とL_xとの交換関係を計算すると、

[

→
L

|²,L_x

]

= [(L_x)²,L_x]+[(L_y)²,L_x]+[(L_z)²,L_x]

(16.35)

であるが、[L_x,L_x]=0だから第1項は0。第2項は

[L_yL_y,L_x] = L_y[L_y,L_x]+[L_y,L_x]L_y = －i hbar

[L_yL_z+L_zL_y]

(16.36)

となり0ではないが、第3項が

[L_zL_z,L_x] = L_z[L_z,L_x]+[L_z,L_x]L_z = i hbar

[L_zL_y+L_yL_z]

(16.37)

となって互いに逆符号でキャンセルし、[|→L|²,L_x]= 0である(L_y,L_zに関しても同様)。今考えているハミルトニアンはH=[(－ hbar

²)/2μ][1/(r²)] [∂/∂r](r²[∂/∂r]) +[1/(2μr²)]|→L|² +V(r)となっている。L_x,L_y,L_z,|→L|²は全てr微分を含まず、かつこれらは全て|→L|²と交換するのだから、L_x,L_y,L_z,|→L|²はハミルトニアンと交換する。

　L_x,L_y,L_zは互いの交換関係が0でないことに注意すると、Hとの同時固有状態を持てるのは|→L|²と、L_x,L_y,L_zのうちどれか一つである(通常はL_z を選ぶ)。

　L_zの固有状態については２次元の時と同じで、e^imφという形の固有関数に対して、L_zの固有値がm hbar

となる(2次元の時と同様に、mは整数)。よってψ(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)e^imφとおいて、波動関数を動径部分と角運動量部分に、さらに角運動量部分はz成分の固有関数部分とそれ以外の部分に分解する。

　|→L|²の固有値が hbar

² λであるとして、Θ部分の方程式を

－

sinθ

dθ




sinθ

d θ




²m²

sin²θ

Θ =

²λΘ

sinθ

dθ




sinθ

d θ




－

m²

sin²θ

Θ =

－λΘ

(16.38)

と書き直す。

　波動関数は、Hの固有値E(エネルギー)と|→L|²の固有値 hbar

²λ、 L_z の固有値m hbar

で分類されることになる。

　次の節で|→L|²の固有値方程式を解くが、その前に、L_zの固有値に関係する、有用な式を示しておく。

[L_z,L_x]

L_y

(16.39)

[L_z,L_y]

－i

L_x

(16.40)

という二つの式は(16.39)±i×(16.40)と組み合わせることで、

[L_z,L_x±iL_y] = i hbar

L_y ±

L_x = ±

(L_x±iL_y)

(16.41)

とまとめることができる。L_±=L_x±iL_yとして新しい演算子L_±を定義すると、

[L_z,L_±]=± hbar

L_±

(16.42)

である。この式は

L_z L_± = L_± L_z ± hbar

L_± = L_±(L_z ± hbar

)

(16.43)

とも書ける。ここで今、L_zの固有値がm hbar

であるような波動関数ψ_mが求められたとしよう(L_zψ_m = m hbar

ψ_m)。この時、

L_z L_± ψ_m = L_± (

L_z

→ m

)ψ_m = (m±1) hbar

) L_±ψ_m

(16.44)

となる。つまり、L_± ψ_mのL_z固有値は(m±1) hbar

である。L_x,L_yは|→L|²と交換するから、L_±はL_zの固有値を hbar

だけ変化させるが、|→L|²の固有値は変えない。調和振動子のa,a^†と同様に、この演算子はたいへん便利な演算子である。なぜなら、ψ_mを一つ求めておけば、L_±をかけることで次々とψ_m±1,ψ_m±2,…を求めることができるからである。

L₊(L_－)を「L_zの固有値を上げる(下げる)演算子」ということで、上昇(下降)演算子と呼ぶ。

[問い16-2] L₊,L_－の微分演算子による具体的な表現を求めよ。

[問い16-3] L_±とL_zの交換関係を、具体的表現を使って確かめよ。

演算子L₊を使ってL_zの固有値をどんどんあげていけるわけであるが、どこまでもあげることができるかというと、そうはいかない。なぜなら、L₊をかけても|→L|²の固有値は変化しない（[|→L|²,L₊]= 0であるから）。古典的に考えると|→L|²=(L_x)²+(L_y)²+(L_z)²であるから、L_zの固有値は|→L|を超えられない。ただしこれは古典論の話であって、量子論では少し事情が異なる（詳しいことは後で述べる）。

そこで、L_zの固有値にはある値l hbar

が最大値になっていなくてはいけない。その最大固有値を持つ状態をψ_lと書く。つまり、L₊ψ_l=0,L_zψ_l= hbar

lψ_lを満たす状況を考える。この状態が|→L|²の固有状態になっているとして、固有値を求めてみる。

→
L

|² =

(L_x)²+(L_y)²+(L_z)²




(L₊+L_－)







(L₊－L_－)




+(L_z)²

((L₊)²+L₊ L_－ + L_－ L₊+(L_－)² )－

((L₊)²－L₊ L_－－ L_－ L₊+(L_－)² )+(L_z)²

(L₊ L_－ + L_－ L₊ )+(L_z)²

(16.45)

と展開してからψ_lにかける。ψ_lにL₊がかかると0になるので、

[

(L₊ L_－ + L_－ L₊ )+(L_z)²




ψ_l =

[

L₊ L_－ +l² hbar




ψ_l

(16.46)

となる。ここでどうせψ_lにL₊をかけると0になるので、上の式のL₊L_－をL₊L_－－ L_－ L₊=[L₊,L_－]と書き換えてもよい。この交換関係は

[L₊,L_－]=[L_x, －iL_y]+[iL_y,L_x]=2 hbar

L_z

(16.47)

となり、このL_zも固有値l hbar

に書き換えられるので、結局、

→
L

|² ψ_l =

² l(l+1)ψ_l

(16.48)

となる。よって、|→L|²の固有値は hbar

² l(l+1)という決まった値になる。波動関数の何らかの演算子の固有値が決まった値しかとれないことを「量子化される」というが、角運動量の固有値も量子化されているのである。

　この時、L_zの固有値の最大値はl hbar

である。L₊の部分をL_－に変えてほぼ同じ計算をやってやれば、最小値が－l hbar

であることもすぐに証明できるので、L_zの固有値は－l hbar

からl

までの範囲であることがわかる。

　ここで、L_zの最大値がl hbar

で、|→L|²=(L_x)²+(L_y)²+(L_z)²が hbar

²l(l +1)だったわけだが、これを見て、

(L_x)²+(L_y)²=|

→
L

|² －(L_z)² = hbar

²l(l +1)－( hbar

l)² =

² l

(16.49)

などという計算をやってはいけない。L_x,L_y,L_zは演算子であり、今L_zの固有状態を考えている。固有状態を考えているから、L_z→ hbar

lというふうに、「演算子→固有値」と置き換えることができる。しかしL_x,L_y はL_zと交換しないので、L_zの固有状態はL_x,L_yの固有状態ではない。だから数字に置き換えることができないのである。

　正確に言うと、L_x,L_y,L_zの同時固有状態はたった一つだけ存在する。その場合は全ての固有値が0であり、必然的に|→L|²の固有値も0である。この波動関数は定数であり、θにもφにもよらない。

16.3 Legendre多項式:m=0の波動関数

　前節で出した微分方程式(16.38)において、x=cosθという座標変換をすると、

dx = sinθdθ ゆえに

dθ

= sinθ

(16.50)

なので、

d x

(

sin²θ

)

－

m²

sin²θ

Θ+λΘ = 0

(16.51)

となる。ここでsin²θ = 1－cos²θ = 1－x²と書き直すと全部xの式となり、

d x

(

(1－x²)

)

－

m²

1－x²

Θ+λΘ =

(16.52)

この方程式はLegendre(ルジャンドル)の方程式という有名な方程式である。ある一つのmの値の解がわかれば、L_±を使ってmがそれ以外の場合の解を作ることができるから、まず一番簡単そうなm=0の場合について解く。

　この方程式も、級数展開で解いて行くことができる。長い計算を省略して答えを書くと、

P_l (x)=

∑
0≤ j ≤ [(l)/2]

(－1)^j

(2l－2j)!

2^l j! (l－j)! (l－2j)!

x^l－2j

(16.53)

となる。

　この多項式をLegendre多項式と呼び、P_l (x)で表す⁵。全体の規格化はLegendre方程式からは決まらないが、P_l (1)=1となるように決めるのが昔からの習慣で、ここでもそれにしたがっている。

　証明は略すが、この展開は

P_l (x)=

2^l l!

d^l

dx^l

(x²－1)^l

(16.54)

とまとめられる(Rodriguesの公式)。

　lが小さい場合について、具体的な形を出しておくと、

P₀(x)=1, P₁(x)=x, P₂(x)=

(3x²－1), P₃(x)=

(5x³－3x), P₄(x)=

(35x⁴－30x²+3),…

(16.55)

のように計算される。

　P_l (x)の最初の５つのグラフは右のようになる。lが偶数の時 P_l (x)は偶関数となり、lが奇数の時奇関数となる。グラフでもわかるように、lが大きくなるにつれて複雑になっていく。波動関数としてみると、lが大きくなるほど、波の山・谷が増えて行く。

各々のP_l (x)はlの値に応じてそれぞれ違う|→L|²の固有値を持った波動関数(実際には「波動関数のうちθ依存する部分」と言うべき)と考えることができる。今はm=0の場合を特に考えているので、[d/dx]((1－x²)[d/dx])という演算子の固有値がl(l+1)だということである。この演算子はエルミートであるから、「エルミートな演算子に対して異なる固有値を持つ固有関数は直交する」という定理のおかげで、

∫

1

－1

dx P_m(x)P_n(x)=0 (m ≠ 0の時)

(16.56)

がわかる。あるいはx=cosθであることを思い出せば、

∫

π

0

dθsinθP_m(cosθ)P_n(cosθ)=0 (m ≠ 0の時)

(16.57)

である。積分の変換∫₀^π dθsinθ = ∫_－1¹ dxはよく使う計算なので、覚えておくとよい。 θ = 0でx=1、θ = πでx=－1であり、積分の方向が逆になっているが、その符号はdx=－sinθdθの符号とキャンセルするので、この置き換えでちょうどよい。

　θ積分の形にすると、積分の中にsinθという因子が入るが、3次元の体積要素がdr dθdφr²sinθであったためであり、これで正しい。

[問い16-4] θを使って書いた微分演算子は [1/sinθ][d/dθ](sinθ[d/dθ])であった。この演算子がエルミートであることを示せ。この場合、エルミートの定義は、任意の関数ψ,φに対し、演算子Aが

∫

dθsinθ(Aψ)^* φ =

∫

dθsinθψ^* (Aφ)

を満たすことである。

なお、計算は略すが、m=nの時は

∫

1

－1

dx P_n(x)P_n(x) =

2n+1

(16.58)

となる。

角度θの関数としてグラフを書くと、上図のようになる。θ = 0(北極)がx=1に、θ = π(南極)がx=－1に対応することに注意せよ。

さらに右の図では、P₁(cosθ)で表せる波動関数の確率分布の様子を平面的に表した。図の曲線は、「中心からの距離」が「その角度の方向に粒子のいる確率密度」になるように書かれている。「このグラフの線の上に粒子がいる」とか「この線の内側に粒子が集中している」という意味ではないので勘違いしないように！⁶

このグラフからわかることは、P₁(cosθ)で表せる状態では、南極部分と北極部分にたくさん粒子がいて、赤道部分には全くいない状態になっているということである。l = 1以外で確率分布の様子を同様のグラフで書くと、

になる。

われわれが求めることができるのは、L_x,L_y,L_zのうち、一つの演算子にたいしてのみ固有状態であるということ、今求めているのはL_zの固有状態であり、それゆえL_xやL_yに関してはまったく決定できない⁷ということに注意しよう。この節で計算したのは|→L|² > 0でL_z=0という状態である。古典論なら「この状態はx方向かy方向か、あるいはその中間とか、とにかくz軸と垂直な軸の回りの回転をしている」と考えるところだが、波動関数を見ると、x方向やy方向に回っているというイメージは見えない。それはL_xやL_yに関しては全く固有状態になっていないからである。

16.4 Legendre陪関数:m ≠ 0の波動関数

m=0の場合の解が求まったので、m ≠ 0の場合の解をこれから作っていこう。そのためにはL₊を使えばよい(もちろん、級数展開を使ってごりごりと解いて行くことも可能である。ただし、その時は、m ≠ 0ではx=±1が確定特異点であることに注意が必要)。

さて、m=0の固有関数はP_l (cosθ)である。これにまずL₊の具体的表現 hbar

e^iφ( [∂/∂θ]+icotθ[∂/∂φ]) をかける。答えは

L₊ P_l (cosθ) = hbar

e^iφ

dθ

P_l (cosθ)

(16.59)

である。これがL_zの固有値が hbar

である状態となる。さらにL₊をかけると、

(L₊)² P_l (cosθ) =

² e^iφ

(

∂

∂θ

+icotθ

∂

∂φ

固有値がi

)

(

e^iφ

dθ

P_l (cosθ)

)

² e^2iφ

(

d θ

－cotθ

)

dθ

P_l (cosθ)

(16.60)

となる。L_zの固有値がm hbar

である状態は因子e^imφを持っているのだから、その状態にかかる時にはL_zの中の[∂/∂φ]はimに置き換えられることになる。つまり、L_zの固有値がm hbar

から(m+1)

に変わる時に作用したL₊は、

L₊




m→ m+1

e^iφ

(

∂

∂θ

－mcotθ

)

(16.61)

と書ける。

ここで微分演算子の関係として、

(

dθ

－mcotθ

)

f(θ) = sin^mθ

dθ

(

sin^m θ

f(θ)

)

(16.62)

が成立することに注意する。[d/dθ]([1/(sin^mθ)])=－m [cosθ/(sin^m+1θ)] ということに気をつけれれば上の式が成立することはすぐわかる。これを使うと、

L₊




m→ m+1

e^iφsin^mθ

d θ

(

sin^mθ

)

(16.63)

である。さらに[1/sinθ][d/dθ]=[d/dx]と、sinθ = √[(1－x²)]を使って、

L₊




m→ m+1

e^iφ(1－x²)^[(m+1)/2]

(

(1－x²)^{^m/₂}

)

(16.64)

と書ける。

L₊




m+1→ m+2

L₊




m→ m+1

e^iφ(1 －x²)^[(m+2)/2]

(

(1－x²)^[(m+1)/2]

)

e^iφ(1 －x²)^[(m+1)/2]

(

(1－x²)^{^m/₂}

)

² (1－x²)^[(m+2)/2]

d²

dθ²

(

(1－x²)^{^m/₂}

)

(16.65)

のように、L₊をどんどんかけていくと、(1－x²)^{[なんとか/2]}の因子は一個ずつ消しあっていく。よって、

L₊




m－1→ m

L₊




m－2→ m－1

…L₊




1→ 2

L₊




0→ 1

^m e^imφ(1 －x²)^{^m/₂}

d^m

dx^m

(16.66)

とまとまる。同じようにP_l (cosθ)にL_－をどんどんかけていけば、

L_－




－m+1→ －m

L_－




－m+2→ －m+1

…L_－




－1→ －2

L_－




0→ －1

^m e^－imφ(1 －x²)^{^m/₂}

d^m

dx^m

(16.67)

となることはすぐわかる。

まとめると、mが－l ≤ m ≤ lの範囲で変化するとして、

P_l ^m(x) = (1－x²)^[|m|/2]

d^|m|

dx^|m|

P_l (x)

(16.68)

という関数が|→L|²とL_zの同時固有関数(|→L|²の固有値が hbar

l(l+1)、L_zの固有値がm hbar

) のθ依存部分であることがわかる。 P_l ^m(x)をLegendre陪関数と呼ぶ。m=0はLegendre多項式P_l (x)と一致する。

ここで、mの最大値がlであることを確認しておこう。もしP_l ^l+1(x) という関数が存在するとすれば、

P_l ^l+1(x) = (1－x²)^[(l+1)/2]

d^l+1

dx^l+1

P_l (x)

(16.69)

のような形になるわけだが、P_l (x)はxのl次の多項式なので、上のようにl+1 回微分すれば答えは0である。つまり、P_l ^l+1(x)は存在できない。よって最初の予想どうり、mの最大値はlである(最小値が－lであることも同様)。

低い次数でのLegendre陪関数を書いておくと、

P₁¹(x)=

____
√1－x²

,P₂¹(x)=3x

____
√1－x²

,P₂²(x) =3(1－x²),P₃¹(x)=

____
√1－x²

(5x²－1),…

(16.70)

のようになる。三角関数で表せば、

P₁¹(cosθ)=sinθ,P₂¹(cosθ)=3cosθsinθ,P₂²(cosθ)=3sin²θ,P₃¹(cosθ)=

sinθ(5cos²θ－ 1),…

(16.71)

のようになる。

Legendre陪関数には、mが等しい場合について、

∫

1

－1

dx P_n^m(x)P_n′^m = δ_nn′

2n+1

(n+m)!

(n－m)!

(16.72)

という直交関係がある。n ≠ n′で答えが0になるのは、異なる固有値に属するからである。なお、mが等しくない場合はφ積分の方で直交してしまうので、θ積分(x積分)の方は直交しなくても問題はない。

P_n(cosθ)の時と同様に、原点からの距離がその角度方向の確率密度であるようにして書いたグラフが左の一連の図である。P₁⁰,P₁¹ およびP₂⁰,P₂¹,P₂²の自乗が示されている。mが大きくなるほど角運動量が大きいので、波動関数はより「外」つまり赤道部にひっぱられている様子がグラフで確認できる。また、m が大きくなるほどこのグラフに現れる「波の山」の数が減っているが、その分、グラフに現れていない回転方向の「波の山」は増えている。

三次元的な絵にしたのが以下の図である。くどいようだが、この図の原点からの距離は「本当の距離」であるrではなく、「|θ方向の波動関数|²」であるので、その点を勘違いしないように！

結局、|→L|²の固有値が hbar

²l(l+1)でL_zの固有値がm hbar

であるような状態は、

Y_l^m(θ,φ) = (－1)^m

√

(

2l+1

4π




(l－m)!

(l+m)!

P_l^m(cosθ) e^imφ

(16.73)

と書ける。前についている係数は規格化などのためにつけたもので、あまり深い意味はない。このY_l^mを「球面調和関数」と呼ぶ。球対称な3次元問題を考える時は、解は球面調和関数を使って表現すると便利なことが多い。

なお、ここでは伝統的手法にしたがって(ルジャンドル多項式も学習しておきたかったので)、m=0の状態を表すP_n(cosθ) を求めてからそれをL_±で上げたり下げたりしてm ≠ 0の状態を作ったが、もう一つの方法として、m=l、すなわちL_zが最大の状態から出発するという方法もある。その状態はL₊ψ_l=0 を満たす。L_zの固有値がl hbar

なので、ψ_l=e^ilφf(θ)とおいて、

L₊ e^ilφf(θ) = e^iφ

(

∂

∂θ

+i cotθ

∂

∂φ

→ il

)

e^ilφf(θ) = e^i(l+1)φ

(

dθ

－lcotθ

)

f(θ)=0

(16.74)

という式を解く。f(θ)に関する部分を取り出して解けば

dθ

lcotθf

lcotθdθ

log f =

l log(sinθ)+C

Asin^l θ

(16.75)

が解である。よって、P_l^l(cosθ)=Asin^lθ ということがわかる。後はこうやって作ったP_l^l=Asin^lθe^ilφに次々と(Y_l^－lに達するまで)L_－をかけていけばよい。

[問い16-5] Y_l^lで表される状態について、L_x,L_yの期待値が0になることを示せ。

(hint:L₊,L_－をうまく使おう)

[問い16-6] 同じく、(L_x)²,(L_y)²の期待値を計算せよ。

以上で、波動関数を|→L|²とL_zの固有値で分類するという作業が終わったわけであるが、ここで、

「z軸などというものは人間が勝手に定めたものであって、どんなふうに座標軸を取ろうが物理は変わらないはず。それなのにその座標軸方向の角運動量である L_zの固有値で状態が分類される(量子化される)のは何か変だ」

と感じるかもしれない。これはもっともな疑問であって、たとえばL_zではなくL_xの固有値を使って状態を分類してもよいはずである。もちろん、[1/√2](L_x+L_z)のように適当な線形結合で考えてもよいだろう。

実はL_z固有値で分類したのと、L_x固有値で分類したのは本質的には同じである。L_xを使って分類すれば、上で求めたY_l^mとは違った波動関数y_l^mができあがるだろう。しかしその場合も、新しい波動関数は独立なものではなく、

y_l^m=

∑
m′

A_m′Y_l^m′

(16.76)

のようにY_l^m′の線形結合で表されるものになっている。

これまで同様、現実的に起こる現象の波動関数が一つの状態で書かれていることはむしろ稀であり、一般にはいろんな角運動量を持った状態の重ね合わせであることが多いだろう。どのような状態を使って重ね合わせを表現しても、実際の物理は変わらない。

ただし、磁場をかけるなどして粒子の運動を制御してやると、特定の角運動量を持った状態だけになることもある。そのような場合は、磁場をかけた方向が特別な方向になるので、今解いている問題の条件である、球対称性を破っていることになる。

では、次の章で球対称ポテンシャルの場合の具体例として、水素原子の中の電子の問題を解こう。

と書いているが、実は水素原子の部分は時間切れでこれで後期の授業は終わり。水素原子についてはプリント配りましたが、講義録には後で載せます。

16.5 演習問題(前回ですでに載せたものは省く）

[演習問題16-2] Rodriguesの式(16.54)が境界条件P_l (1)=1を満たしていることを示せ。

(hint:(x²－1)^l は因数分解すると(x－1)^l (x+1)^l となる。これをl階微分する時、微分がすべて(x－1)の方にかからない限り、最後に x=1を代入すると0になる)

[演習問題16-3]

∫

1

－1

P_n(x)P_n(x)=

2n+1

を証明せよ。(16.54)を使って、部分積分をn回やると証明できる。

[問い16-4] Y_l^mが規格化されていること

∫

π

0

dθ

∫

2π

0

dφsinθY_n^m Y_n′^m′ = δ_nn′δ_mm′

(16.77)

を証明せよ。

[演習問題16-5] 角運動量演算子L_z=－i hbar

[∂/∂φ] と角度φは交換関係[φ,L_z]=i hbar

を満たす。ということは、不確定性関係 ∆φ∆L_z ≥ [ hbar

/2]を満たしそうだが、∆L_z=0 の状態でも、∆φ = 2πである（そもそもφの範囲は2πしかないのだからそれより大きくなるはずがない！）。

　この一見矛盾した事実は、不確定性関係の証明の時に演算子のエルミート性を使っているが、L_zは実はエルミートではないからである。

エルミートならば任意の関数ψ,φに対して

∫

2π

0

(L_zφ)^* ψdθ =

∫

2π

0

φ^* (L_zψ) dθ

を満たすはずなので、これに対する反例を作ってL_zがエルミートでないことを示せ。

(hint:エルミートであるのは、部分積分の表面項(θ = 0,2πでの項)が消える時)

Footnotes:

⁵方程式の解としてはもう一つ、Q_l (x) と表される関数があるが、この関数はx=0で発散するのでシュレーディンガー方程式の解としては採用しない。

⁶そもそも、まだ動径方向の波動方程式は解いていないので、r がどれくらいのところに粒子がいるとかいないとか、判定することもまだできないのである。

⁷例外として「全部固有値0」だけがあり得る。これは不確定性関係の話のところで注意した通り。

学生の感想・コメントから

　いろんな形の波動関数が出てきましたが、実際はこれらの重ね合わせでしょうか？
　もちろん、そうです。

　交換関係だけであそこまで計算できるのには驚いた（多数）
　確かに。うまく使うと便利なものです。

　テストが怖い。
　私もみんながどんな成績とるかと考えるとちょっと怖い。

　化学Iでならったｐ軌道やｓ軌道が出ている、と思った。
　そうです。もっとも実際にｐ軌道やｓ軌道を出すためには、動径方向の方程式も解かなくてはいけません。

　３次元の調和振動子はどんな感じになるんですか？
　１次元の調和振動子の３つの直積で表すこともできますし、角運動量を使って表すこともできます。

　同時固有状態を作る時、どうしてLzを選ぶんですか？
　一番簡単な形をしているからです。Lxを選んで固有状態作ってもかまいませんが、ちょっとだけ計算が面倒になります。

　l,mが増えるほど複雑な図形になるんですか？
　そうですね。波の山や谷が一個ずつ増えていくような感じでしょうか。

　グラフはmが０以上のやつばっかりでしたが、mが負だとどうなるんでしょう？？
　mが正のやつの複素共役を取るとmが負のやつになります。

　角運動量の固有値が求められる状態は、動径方向の運動がないのでしょうか？
　いえ、あってもかまいません。というか、普通はあります。今日はまだその部分の計算をしてないだけです。

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On 26 Jan 2006, 12:19.