量子力学講義録2005年第４回

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　以上の導出方法からわかるように、別にx,pでなくても、演算子A,Bがあって、[A,B]=k (kは定数)であったならば、∆A∆B ≥ [|k|/2]を導くことができる。よって、量子力学において交換しないような二つの物理量の不確定度の両方をゼロにすることはできない。

たとえば二つの演算子を∧A,∧Bとして、

^
A

ψ = aψ,

^
B

ψ = bψ

(11.19)

(a,bは固有値であって、数である)になるような状態ψがあったら、このψは「演算子∧Aと演算子∧Bの同時固有状態」と言う。

交換しない二つの演算子は同時固有状態を持てない。
(ただし、以下に示す例外を除く)

というのはたいへん大事な定理である。以下のように証明できる。

[∧A,∧B]=c(cは0でない)とする。もし、同時固有状態があったとすると、

^
A

^
B

ψ =

^
A

(bψ) =

abψ

^
B

^
A

ψ =

^
B

(aψ) =

baψ

(11.20)

となる。数であるところのa,bは当然交換するので、この式から∧A∧Bψ = ∧B∧Aψとなってしまうが、これは[A,B]=cに反する(ただし、この証明には抜け道がある。下の問題参照)。

[問い11-4] [∧A,∧B]=∧C(∧Cは演算子)である場合は、∧A,∧B の両方の固有状態があってもよい。ただし、その状態は∧Cのゼロ固有値状態(つまり、∧Cψ = 0)でなくてはならないことを証明せよ。

　この抜け道の部分を除くと、交換しない演算子に対応する物理量は、同時に確定できないということがわかる。したがってこのような物理量の両方を同時測定するような実験は不可能だということになる。一方を測定して確定させると状態はその物理量に対応する演算子の固有状態となってしまい、その状態はもう一つの物理量に対応する演算子の固有状態ではないので、大きな不確定性を持つことになるのである。演算子の交換関係が0となるか否かは、大きな物理的意味を持っている。

11.3 デルタ関数

　以下の計算の中でしばしば使われるデルタ関数（「ディラック（Dirac）のデルタ関数」とも呼ぶ）について、特に不確定性関係との関連に注意しつつ述べておく。

　デルタ関数とは、任意の関数f(x)とかけて積分することにより、

∫

f(x) δ(x) dx = f(0)

(11.21)

となるような関数である。当然、これを平行移動したδ(x－a)に対しては、

∫

f(x) δ(x－a) dx = f(a)

(11.22)

が成立する。単純に考えると「x=0以外では0になっていて、x=0でだけ無限大の高さを持っているが、積分すると1になるような関数」ということになる⁵⁴。

　デルタ関数にはいくつかの表現がある。もっとも単純な表現は

δ(x)=

lim
∆→ 0

θ(x+∆)－θ(x－∆)

2∆

dθ(x)

(11.23)

である。ただしθ(x)は階段関数と呼ばれ、

θ(x)=

{

x > 0

x < 0

(11.24)

で定義されている。

　この関数のグラフは図のようになるので、∆→0ではx=0でのみ(無限大の)値を持ち、0を含む範囲で積分すれば答えは1である(グラフの四角形の面積を計算することになるから)。任意の関数f(x)をかけてから積分すればf(0)が出てくることも確かめることができる(ただし、それが成立するためには、lim_x→0f(x)が有限で確定した値を持たなくてはだめ)。

　デルタ関数は「関数」という名前はついているものの、本来の意味での関数とは言い難く、何かと積分されて始めてちゃんとした数学的意味があるものである。そういう意味で「関数」とは呼びがたいものなので、「超関数」⁵⁵と呼ぶ。

[問い11-5] 以下のデルタ関数の性質を証明せよ。

δ(－x)=δ(x)
δ(cx)=[1/|c|]δ(x)(cは定数)
δ((x－a)(x－b))=[1/|a－b|](δ(x－a)+δ(x－b))

　量子力学でよく使われるデルタ関数の表現は

2π

∫

∞

－∞

e^ikx dk=δ(x)

(11.25)

である。

[問い11-6] (11.23)と(11.25)が同じ意味を持つことを、以下の手順で示せ。

(11.23)の極限∆→ 0をとらずに、フーリエ変換する。
フーリエ変換の結果の、∆→0の極限をとる。
逆フーリエ変換で戻す。

註：

フーリエ変換： F(k)=[1/√{2π}]∫_－∞^∞ f(x) e^－ikx dx

逆フーリエ変換： f(x)=[1/√{2π}]∫_－∞^∞ F(k) e^ikx dk

　波動関数が

ψ(x)=δ(x)=

2π

∫

∞

－∞

dk e^ikx

(11.26)

のようになっているとする⁵⁶と、これはすなわちある一点x=0に波動関数が集中した状態であるから、∆x=0である。そのかわり、kが－∞から∞までの全ての値を、同じ係数で積分されているということは、p=(^h/_2p) kが全く決定できないということになるので、∆p=∞になっている。

　逆に∆p=0になるのはpの固有状態であるψ(x)=e^ikxの時であるが、この時はψ^*ψ = 1という定数になって、粒子がどこにいるのか全くわからず、∆x=∞である。このように、不確定性関係は波の性質と深く結びついている。

11.4 演習問題

[演習問題11-1] 波動関数が

ψ =







¹/₄

e^{－¹/₂αx²}

である時、 xの期待値と分散を計算せよ。xの範囲は－∞ < x < ∞である。

(hint:公式∫_－∞^∞ dx e^－ax²=√{[π/a]})

(hintその２:上の公式をaで微分することで、∫_－∞^∞ dx x²e^－ax²がどうなるかを計算することが可能。)

[演習問題11-2] 演習問題11-1の波動関数にたいし、pの期待値と分散を計算せよ。∆xと ∆pの間にはどんな関係があるか？？

[演習問題11-3] デルタ関数の微分[d/dx]δ(x)をどう定義すればよいかを考えよう。そもそもデルタ関数も何か関数をかけて積分しないと定義できなかったので、 ∫f(x)[d/dx]δ(x) dx のような量を考えなくてはいけない。部分積分ができるとすれば、

∫

b

a

f(x)

δ(x) dx = [f(x)δ(x)]_a^b－

∫

b

a

(x)δ(x) dx

となる。これから、∫f(x)[d/dx]δ(x) dxを求めよ。

[演習問題11-4] デルタ関数に関する公式

δ(f(x))=

|f′(x)|

δ(x－x₀)

を証明せよ。ただし、x₀はf(x)=0となる点で、この一点しかないものとする。

第12章状態ベクトルとしての波動関数

　ここまでで何度か、波動関数ψをψ = [1/√{2π}]∑_k f_k e^ikxと「分解」したり、(ψ,φ)=∫ψ^* φdxのことを「内積」と呼んだり、まるで波動関数ψを一個のベクトルであるかのごとく扱ってきた。特に前章では波動関数（ベクトル）の自分自身との内積が0以上であるということを使って不確定性関係を証明した。波動関数をベクトルとみなす効用についてはおぼろげながらにも理解できると思う。この章では、もっと具体的に波動関数とベクトルの関連性を見ていこう。このような考え方に慣れると、量子力学の考え方が少しずつ見えてくるはずである。そのために、まずベクトルそしてベクトルにかけ算される行列について勉強しよう。

12.1 ベクトルと行列

　線形代数を勉強した人は、「エルミート共役」とか「エルミートな演算子」などの言葉が、行列に関する言葉として出てきたことを覚えていると思う。ここで行列の場合のエルミート性の定義と、それからどのような結果が得られるかをまとめておく(そんなにややこしい話ではないから、線形代数を勉強してない人も心配しなくてよい)。量子力学でも行列的考えかたは役に立つからである。

行列におけるエルミート共役とは、行と列を入れ換えた後で各成分の複素共役をとることを意味する。2×2行列なら

(

)

†

(

a^*

c^*

b^*

d^*

)

(12.1)

である。エルミート共役をとると自分自身にもどる行列を「エルミート行列」と呼ぶ。列ベクトルのエルミート共役は

(

)

†

= (x^* y^*)

(12.2)

となって、行ベクトルとなる。二つの列ベクトルX=

(

)

とU=

(

)

の内積(U,X)は

(U,X) =

(

)

†

(

)

(u^* v^*)

(

)

=u^* x + v^* y

(12.3)

のように、一方のエルミート共役をとってからかけ算したものと定義されている(もしベクトルの成分が実数ならば、これは普通の2次元ベクトルの内積である)。
　なんで片方に†をつける必要があるんですか？？？
　こうすると、x=a+ib、y=c+id（a,b,c,dは実数）として自分自身との内積を取ると(X,X)=a²+b²+c²+d²となって、ちゃんと負にならない「長さ」になっているからです。自分自身と内積をとると長さの自乗になるわけですが、それがマイナスになったり虚数になったりすると困ります。

演算子に固有値や固有関数があったように、行列にも固有値や固有ベクトルがある。

(

)

(

)

= α

(

)

(12.4)

となるならば、αが固有値、

(

)

が固有ベクトルである。行列

(

)

をAと書くと、

(AU)^†=U^† A^† すなわち

[

(

)

(

)

]

†

(x^* y^*)

(

a^*

c^*

b^*

d^*

)

(12.5)

となることに注意しよう。左辺はベクトルUに行列Aをかけるという計算が終了したのちに、結果のエルミート共役を取るという計算を意味している。具体的に計算してみると、左辺は

(

ax+by

cx+dy

)

†

となり、右辺は (a^*x^*+b^*y^* c^*x^*+d^*y^*) となり、等式が成立することが確認できる。

行列がエルミート行列であれば、(AU)^† X=U^† AX、すなわち
(上の行、テキストは間違ってます。訂正しておいてください）

[

(

)

(

)

]

†

(

)

(u^* v^*)

(

a^*

c^*

b^*

d^*

)

(

)

[

(

)

]

†

(

)

(

)

(12.6)

が成立する。演算子の場合のエルミート性

∫

(Aψ)^* ψdx =

∫

ψ^* Aψdx

(12.7)

と、行列のエルミート性は同様の性質を持つ条件であることがわかる。

このように定義されている時、これまで波動関数や演算子について成立していた性質が行列に対しても成り立っていることを確かめることができる。以下のことを証明してみよう。

[問い12-1] 列ベクトルの、自分自身との内積は常に0以上である。

[問い12-2] 任意のベクトルU,Xに対して、(U,X)=(X,U)^*である。

[問い12-3] エルミート行列の固有値は常に実数である。

[問い12-4] エルミート行列に対して固有値が異なる二つのベクトルが直交する。

Footnotes:

⁵⁴デルタ関数δ(x)は、クロネッカーデルタδ_ijの連続変数バージョンであると考えても良いだろう。

⁵⁵英語ではdistributionで、「分散」と区別がつかなくなるが、もちろん意味は違う。

⁵⁶実はこれでは規格化されていないが、それについては後で述べる。

⁵⁷数学的には、足し算ができて定数倍できるものはなんでもベクトルである。「向きと大きさがある量」というのは高校生向けのベクトルの定義。

学生の感想・コメントから　

　交換しない演算子は同時固有状態をもてないということが理解できなかった。
　宿題の問いをやりながらもう一度考えてください。同時固有状態はこれからもよく出てきます。

　波動関数と行列・ベクトルが同じものだとは驚いた（複数）
　そもそもベクトルというのは「矢印」のような限定されたものではないのですよ。

　１年の時は何のことかわからずに線形代数をやっていたが、今になって役に立つときが来たのかなぁと思った。
　はい、来ましたよ。

　デルタ関数は数学的に定義できないのに物理で使っていい理由はなんですか？
　理由１.　便利だから。
　理由２.　デルタ関数を使って計算してもとりあえず正しいと思われる答えが出ているから。
　ある意味物理屋はいいかげんだということにもなりますが、論理だけで勝負する数学と違って、実験との整合性が大事である物理の場合は「多少途中の計算怪しいけど、実験と合っている答えが出るということはこれでいいんじゃないの？？」と言えば許してもらえるということです。

　レポートは全部できなくても提出していいのですか？
　できたところからでいいからもって来ましょう。

　波動関数は何次元のベクトルなのだろう、と思った。
　来週をお楽しみに(^_^;)。

　ΔAΔＢ=0なら両方を決定できると言いましたが、ΔA=0なら、ΔＢは０でなくてもいいのでは？
　０でなくてもいいです。０にしたくなければしなくてもいいけど、がんばれば０にできる、ということが大事なのです。

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On 10 Nov 2005, 14:52.

量子力学講義録2005年第４回

11.3 デルタ関数

11.4 演習問題

第12章 状態ベクトルとしての波動関数

12.1 ベクトルと行列

Footnotes:

学生の感想・コメントから

第12章状態ベクトルとしての波動関数

学生の感想・コメントから　