量子力学講義録2005年第５回

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　授業の最初に、先週やった「e^ikxをどんどん足していくとデルタ関数になる」という様子をjavaアプレットで見せた。

12.2 波動関数をベクトルと見る

　前の節で、ベクトル・行列の関係は波動関数・演算子の関係と相似となっていることがわかったと思う。ただ相似というだけでなく、波動関数をベクトルとみなすことは、量子力学を考える上で非常に役に立つ考え方である。

　波動関数がなぜベクトルと考えられるか⁵⁷がわかりにくいならば、関数ψ(→x,t)を

Ψ =

(

ψ(x₁, t)

ψ(x₂, t)

ψ(x₃, t)

ψ(x_N, t)

)

(12.8)

のような複素N成分を縦に並べたもの(列ベクトル)と考えてやればよい。ただしこのx₁,x₂,…,x_Nは今考えている空間内の全ての場所各点各点に1から順に番号を振っていったものと考える。実際にはもちろん、N=∞と考えなくてはいけない⁵⁸。つまり、ψは無限個の複素数成分を持つベクトルであると考えてよい。

　ついでに、このような1,2,3,と数えられる無限は可算無限と言い、数えられない無限は非可算無限と言うという話をした。実はｘの数は非加算無限なので、こんなふうに可算無限みたいな顔をしてベクトルで書いてはいけない。でも物理屋は細かいことは気にしない。

　この列ベクトルに対してエルミート共役であるような行ベクトルは

Ψ^†=(ψ^*(x₁,t),ψ^*(x₂,t),ψ^*(x₃,t),…,ψ^*(x_N,t))

(12.9)

である。この二つのベクトルの内積を取って、結果に空間の各点各点の間の距離∆xをかけてからN→∞の極限を取れば、

Ψ^†Ψ∆x =

N
∑
n=1

ψ^*(x_n,t)ψ(x_n,t)∆x →

∫

ψ^*(x,t)ψ(x,t)dx

(12.10)

という形になる。つまり、いつも計算している∫ψ^*ψdxは、ベクトルの内積と本質的には同じものなのである。だから、不確定性関係の証明の計算でも、二つの波動関数ψとφの内積を (ψ,φ) = ∫ψ^*φdx と内積であるかのように表記しておいたのであった⁵⁹。

　なお、なぜ複素共役をとるのか不思議な人もいるかもしれないが、ψ = a+ibの時、ψ^*=a－ibであり、ψ^*ψ = a²+b²となることを考えると、複素数１個（ψ）を、実数２個のベクトル

(

)

と考えれば、ψ^*ψ =

( a b )

(

)

と思って良い。ψ^*ψだけで実数２成分ぶんの行列計算をしているのである。

【以下長い註】この部分は、最初に勉強する時は理解できなくともよい。

　このように行列的に考えると、座標xの演算子は

X =

(

x₁

…

x₂

…

x₃

…

...

…

x_N－1

…

x_N

)

(12.11)

という行列である。こうすれば、

XΨ =

(

x₁ψ(x₁, t)

x₂ψ(x₂, t)

x₃ψ(x₃, t)

x_Nψ(x_N, t)

)

(12.12)

となる。これまでの量子力学の表示において「ψにxをかけたらxψ」のように計算していたのは、実はこのような行列計算を暗黙のうちに行っていたのであった。

　行列表示では、pすなわち－i hbar

[∂/∂x]は

lim
∆x→0

－i

∆x

(

－1

…

－1

…

－1

…

－1

…

)

(12.13)

となる。ただし、∆x(=x₂－x₁=x₃－x₂=… = x_N－x_N－1)は空間をN等分した一個の長さである。残念なことにこの行列Pはエルミートでないが、連続極限(∆x→0)ではエルミートである。

　このような行列を(12.8)にかけると、

PΨ =

lim
∆x→ 0

－i

∆x

(

ψ(x₂)－ψ(x₁)

ψ(x₃)－ψ(x₂)

ψ(x₄)－ψ(x₃)

)

(12.14)

となって、これは確かに微分である(∆x→0の極限において)。この行列で表したxとpの間にも、交換関係[x,p]=i hbar

が成立している(実際に計算すると少しだけi hbar

×単位行列とはずれた形で出てくるが、その理由は本来連続的なものである微分を不連続に置き換えたせいである)。

　ちなみに、量子力学を作る時、このような行列的なものとして演算子を考えて、その交換関係を使って計算していったのがハイゼンベルク。というわけで、ハイゼンベルク形式の量子力学は「行列力学」と呼ばれる。この講義ではハイゼンベルク形式についてはこれ以上やりません。量子力学ができたばっかりの時は、シュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式が同じものだということがなかなかわからなかったようです。

【長い註終わり】

　演算子Aの場合でも、(Aφ,ψ)=(φ,A^†ψ)、すなわち、

∫

(Aφ)^* ψdx =

∫

φA^†ψdx

(12.15)

としてAのエルミート共役A^†を定義できる。エルミートな演算子の場合、A^†=Aである。A^† = －Aとなる演算子を反エルミートな演算子と言う。

[問い12-5] 演算子A,Bの積ABのエルミート共役(AB)^†は B^† A^†であることと、行列でもそうであることを証明せよ。

[問い12-6] エルミートな演算子の交換関係は反エルミートであることを証明せよ。

前に波動関数ψ(x,t)を運動量の固有状態で分解すること(ということはすなわちフーリエ変換するということ)を行ったが、その手順の概略は以下のようなものだった。

運動量演算子の固有関数を求める。

運動量演算子はp=－i hbar

[∂/∂x]だから、固有関数は e^[i/()]pxであった。

任意の波動関数を運動量の固有状態の和で書く。

運動量が離散的である時は

ψ(x)=

√L

(F₁ e^[i/()]p₁x+F₂ e^[i/()]p₂x+F₃ e^[i/()]p₃x+…)

(12.16)

(Lは考えている空間の大きさ)であり、連続的であれば、

ψ(x)=

√

2π

∫

ψ(p)e^[i/()]pxdp

(12.17)

と展開できる。

係数F_nを求める。

こうやって分解された波動関数に前からe^{－[i/( )]p_n x}をかけて積分すれば係数F_n(あるいはψ(p))を求めることができた。この積分によって運動量p_nを持っている成分以外は消えてしまうからである。

運動量の期待値を計算する。

任意の運動量の固有状態e^{[i/( )]px}の和で書き表された状態に運動量演算子をかけると、

－i

∂

∂x

ψ(x) =

√L

( p₁ F₁ e^[i/()]p₁x+p₂F₂ e^[i/()]p₂x+p₃F₃ e^[i/()]p₃x+…)

(12.18)

のように、各固有状態の波動関数に対応する固有値をかけたものになる。これにさらに前からψ^*をかけて積分すると、波動関数の直交性から、答えは

p₁ F₁^* F₁+ p₂ F₂^* F₂+ p₃ F₃^* F₃+…

(12.19)

に比例した形となる。つまり、F^*_nF_nのように同じ成分どうしの積になっているところ以外は、最終的な答えの中に入ってこない。

このような計算は、行列で見るとどのような計算をしていることになるのかを見ておこう。

行列の固有ベクトルを求める。

エルミートな行列 A =

(

)

に対して

(

)

(

x₁

y₁

)

=λ₁

(

x₁

y₁

)

(

)

(

x₂

y₂

)

=λ₂

(

x₂

y₂

)

(12.20)

のように、二つの固有ベクトルが見付かったとする⁶⁰。ここではλ₁ ≠ λ₂としよう⁶¹。さらにこの固有ベクトルはともに規格化済みとする。

任意のベクトルを固有ベクトルの和で書く。

任意のベクトルは

X =

(

)

= k₁

(

x₁

y₁

)

+k₂

(

x₂

y₂

)

(12.21)

のように固有ベクトルに適当な複素数の係数k₁,k₂をかけて足し算することで作ることができる。

係数k₁を求める。

ベクトルの分解の係数k₁は、

(

)

の前から(x^*₁ y^*₁)をかけることで求めることができる。この行ベクトルは異なる固有値を持つ

(

x₂

y₂

)

と直交し、

(

x₁

y₁

)

との内積が1だからである。

行列を対角化する。

この二つのベクトルを並べて作った行列 U =

(

x₁

x₂

y₁

y₂

)

を作る。

Uのエルミート共役U^†は

(

x₁^*

y₁^*

x₂^*

y₂^*

)

であるが、U^† U=Iとなることは二つのベクトルの直交性と規格化から明らかである(行列を作っているベクトルが互いに直交して長さが1になっていることに注意)。一般にA^† A=I(単位行列)となる行列をユニタリ行列と呼ぶ。Uはユニタリ行列である。 Uを使って、U^† AUという新しい行列を作る。このような変換をユニタリ変換と呼ぶ。

(

x₁^*

y₁^*

x₂^*

y₂^*

)

(

)

(

x₁

x₂

y₁

y₂

)

(

λ₁

λ₂

)

(12.22)

となって、この行列は対角行列(対角要素以外は0になっている行列)になる。こうなる理由は、Uを

(

x₁

y₁

)

(

x₂

y₂

)

のように考えると、行列Aをかけると、

(

λ₁(

x₁

y₁

)

λ₂(

x₂

y₂

)

となることから納得できる。ここでも、－i hbar

[∂/∂x](F₁e^[i/()]p₁x+F₂e^[i/()]p₂x+F₃e^[i/()]p₃x+…)が p₁F₁e^[i/()]p₁x+p₂F₂e^[i/()]p₂x+p₃F₃e^[i/()]p₃x+…のようになることと同様の計算を行列でやっていることになる。

結局、フーリエ変換(あるいはx-表示からp-表示への変換)というのは「無限行無限列行列を使ったユニタリ変換」ととらえることができる。

ここではフーリエ変換の場合で話をしたが、量子力学では「何かの演算子(ハミルトニアンでもいいし角運動量でもいい)の固有関数」の形で任意の関数を分解して計算するという方法をよく使う。このような計算方法を「演算子を対角化する」という言いかたをする。演算子を行列と考えた時、

(

λ₁

λ₂

)

のような形に行列をユニタリ変換していることに対応しているからである。

　ベクトルに対して使える公式などが適用できるためには、その量が足し算および定数倍ができること、内積が定義できることが重要である。つまり、このようなベクトル的な計算ができるのは、量子力学的な状態を表す波動関数が「重ね合わせ」という形で「足し算」ができるおかげである。

　このため、波動関数で表される一つの量子力学的な状態を「状態ベクトル」という言葉で呼ぶ。状態ベクトルは無限次元のベクトルで、その一つのベクトルが、一つの波動関数ψ(x)を表現する。波動関数の重ね合わせψ₁(x)+ψ₂(x)は、状態ベクトルの和と考えることができる。

12.3 直交関数系という考え方

　波動関数を運動量の固有値で分類する時、結果的にフーリエ級数のテクニックを使っている。フーリエ級数は「直交関数系」というものの基本的な例である。直交関数系は今後も量子力学でよく使うので、その意味するところを説明しておく。

　フーリエ級数の各成分にあたるcosmx, sinnxは違うもの同志をかけて積分すると0になるという性質を持っていた。これは、直交座標系の基底ベクトル→e_x,→e_y,→e_zが自分自身以外との内積が0であること

→
e

(12.23)

に似ている。そういう意味で、このような関数列を「直交関数系」と呼ぶ。つまり、

1,sinx,sin2x,sin3x,…, cosx, cos2x, cos3x,…

が関数の「基底ベクトル」にあたるものなのである。

　xが連続的に変化する量だとするとベクトルと対応つけにくいので、∆という刻み幅を持って不連続に変化する量だとしよう。すると、関数A(x)というのは、全部で[2π/∆]個あるxの一個一個に対して対応するA(x)の値を与えるもの、ということになる。これを数式で表現すれば、

(A(π),A(π+∆),A(π+2∆),…,A(－∆),A(0),A(∆),…,A(π－∆),A(π))

(12.24)

のような数列である。後で∆→0とするから、「全部で[2π/∆]個」というのは事実上無限個だと考えることができる。この一個一個のA(x)をベクトルのx成分、y成分のように考えれば、「関数A(x) は無限個の成分を持つベクトルである」と考えることができる。つまり、「A(－π)はベクトルAの－π成分(第1成分)」、「A(－π+∆)はベクトルA の－π+∆成分(第2成分)」のように考えるのである。

　二つの関数をかけて積分する、ということはこの無限成分ベクトルの内積をとっていることに相当する。実際関数A(x)と関数B(x)を上と同様にベクトルで表現して内積をとってみると、→A·→B=A_x B_x+A_y B_y A_z B_zとなるのと同様に、

A(－π)B(－π)

第1成分

A(－π+∆)B(－π+∆)

第2成分

+…+

A(π)B(π)

第([2π/∆]+1)成分

(12.25)

となるが、これに∆をかけてから∆→0という極限を取れば、

lim
∆→ 0

∆( A(－π)B(－π)+ A(－π+∆)B(－π+∆)+…+ A(π)B(π)) =

⌠
⌡

π

－π

dx A(x)B(x)

(12.26)

となってこれは積分の定義そのものである。つまり、「二つの関数をかけて積分すると0」ということは、関数＝無限成分ベクトルと見る立場では「二つの無限成分ベクトルの内積が0になる。すなわち、直交する」と見ることができる。

　あるベクトル→A = A_x →e_x +A_y →e_y +A_z →e_z があった時、A_xを求めたいと思えば、

→
e

→
A

→
e

(

A_x

→
e

+A_y

→
e

+A_z

→
e

)

= A_x

(12.27)

のように、→e_xをかけることで求めることができる。→e_xをかけると→e_y,→e_zの部分(y成分とz成分)が消えてしまうおかげで、x 成分だけを取り出すことができるのである。

　関数に対してもこれと同様のことが行ったのが、前節でa_n,b_nを求めた計算であった。

　ここでは三角関数の列を「基底ベクトル」として用いたが、問題によっては他の関数列を使った方が計算が簡単になる場合もある。量子力学ではこのように関数を直交関数系を使って分解する、ということをよく行うが、フーリエ級数はその基本的な例である。

【以下長い註】この部分は、最初に勉強する時は理解できなくともよい。（ここは飛ばします。読んでおいてね）

　「p=－i

[∂/∂x]やE=i hbar

[∂/∂t] を演算子扱いするのはわかるが、xは単に数だとして扱ってもいいのではないのか。なぜ演算子だと思わなくてはいけないのか」という質問をよく聞かれる。こう思うのは我々が波動関数をψ(x,t)のようにxの関数として表しているため、xに関しては順序をどう入れ換えても問題ないからである。しかし、例えば、ψをフーリエ変換⁶²

ψ(x,t)=

√

2π

∫

ψ(p,t) e^{[i/( )]px} dp

(12.28)

して、pの関数ψ(p,t)を「波動関数」と考える立場もとれる。ψ(x,t)が決まればψ(p,t)は決まるし、この逆も真だから、この二つは同等なのである。

このような書き直しをすると、たとえばxの関数である、ある演算子A(x)の期待値 < A > は

< A(x) > =

∫

ψ^*(x,t)A(x)ψ(x,t) dx

2π

∫

(

∫

ψ^*(p′,t)e^{－[i/( )]p′x}dp′

)

A(x)

(

⌠
⌡

ψ(p,t)e^{[i/( )]px}dp

)

(12.29)

のようにしてψ(p,t)を使った式に書き換えていくことができる。さらに後ろにe^{[i/( )]px}がある時には

－i

∂

∂p

e^{[i/( )]px} = x e^{[i/( )]px}

(12.30)

となることを使って、A(x)→ A( －i[∂/∂p])と置き換える。ただし、ここの微分はe^{[i/( )]px}にかかっている。つまり、

∫

ψ(p,t)

[

(

－i

∂

∂p

)

e^{[i/( )]px}

]

(12.31)

という形になっている。ここで部分積分をして、微分がψ(p,t)の方にかかるようにする。こうすると部分積分のおかげでマイナス符号が一個出て、さらに－i hbar

[∂/∂p]→ i

[∂/∂p] と置き換わる。これでe^{[i/( )]px}には微分がかからなくなったから前にもっていくことができて、

< A(x) > =

2π

∫

(

∫

ψ^*(p′,t)e^{－[i/( )]p′x} dp′

)

∫

[

(

∂

∂p

)

ψ(p,t)

]

e^{[i/( )]px} dp

2π

∫

(

∫

e^{[i/( )](p－p′)x} dx

)

=2π

δ(p－p′)

ψ^*(p′,t)A

(

∂

∂p

)

ψ(p,t)dpdp′

∫

ψ^*(p,t)A

(

∂

∂p

)

ψ(p,t)dp

(12.32)

のようにx積分を実行して、pを変数とする表示に書き直すことができる。こうなってしまうと今度はxの方がpを微分する演算子となり、むしろpの方が「数」に見えてくる。

ψ(x,t)を使うのはx-表示、ψ(p,t)を使うのはp-表示などと言うが、これ以外にも他の表示もあり、その時その時で便利な表現を使って問題を解くのがよい。一般的には(x-表示以外では)xも立派な演算子なのである。なお、もし運動量の関数であるような演算子B(－i hbar

[∂/∂x])がはさまっていたとしたら、x-表示での－i hbar

[∂/∂x]はp-表示では単なる数pに置き換わって、B(p)という表現になるだろう。

以下この講義ではほとんどx-表示しか使わないが、いろんな場合を計算しているうちに「xも一般的に演算子として扱った方がよいのだな」ということがわかってくると思う。

【長い註終わり】

Footnotes:

⁵⁷数学的には、足し算ができて定数倍できるものはなんでもベクトルである。「向きと大きさがある量」というのは高校生向けのベクトルの定義。

⁵⁸念の為に補足しておくと、実際には空間内の点の数は連続無限個、すなわち数え上げることが不可能な無限大であるので、このように1から順番に数を割り振ることはほんとうはできない。

⁵⁹もう一つ有名な表記方法として、∫ψ^*φdx= < ψ|φ > というのもある。ディラックのブラとケットと言う。

⁶⁰2×2行列ならば、固有ベクトルは二つしかない。

⁶¹λ₁=λ₂の時は、この二つのベクトルが直交するようにとるものとする。
　ここは説明が足りなくて質問が出た。「直交するようにとるものとする」というのはいわゆる Schmidtの直交化法を使えということ。ベクトルXとYが同じ固有値で直交してなかったとする。その時は、Yを使うのをやめて、新しくZ=Y-aXとなるZを使う。XとZの内積は（X,Z)=(X,Y)-a(X,X)
となる。Xが規格化されているとしたら（X,X)=1であるから、aの値を(X,Y)に等しく取っておけば、（X,Z)=0になる。こうして新しいベクトルの組X,Zを使ってやれば、二つのベクトルは直交する。このようにして、直交してないベクトルを直交する組み合わせに直すことが可能。

⁶²ここで前についている係数に hbar

がついているのは、e^{[i/( )]px}の方にも hbar

がついているため。

学生の感想・コメントから

　今まで波動関数をψとおいて計算していたのはベクトル全体を計算していたことになると思う。とすると、ψの中身は実はもっと複雑で細かく知ろうと思ったらもっと計算しないといけないのかなぁと思った。
　「関数を一つ知る」＝「無限次元のベクトルを一つ知る」ということなので、これで計算量が増えたりはしません。そう考えると無限次元も怖くない。

　今まで積分で計算していたことを行列で計算することにどんなメリットがあるのでしょう？
　行列で使えるテクニックを積分計算にひっぱってこれるということです。対角化したり固有ベクトルで展開したりという考え方は、行列の方が理解し易い。

　固有値が違うベクトルはなぜ直交しているのですか？
　先週の宿題をやりましょう(^_^;)。

　数えられる無限と数えられない無限ってどういうものですか？
　たとえば整数は無限個ありますが、こいつには一個一個背番号をつけて、「数える」ことができます。しかし実数はそうはいきません。いくら背番号をつけても、それよりも必ず数が多くなるということが知られてます。

　量子力学の勉強の仕方がわかりません。
　量子力学だから特別の勉強の仕方があるわけじゃないから、「教科書読む」「問題解く」「わからなかったら先生に質問する」この繰り返し。

　(12.16)式の前の係数は規格化ですか？
　そうです。

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On 17 Nov 2005, 15:25.