2005年度「相対論」試験問題

1. x座標系において原点から発せられた光はx=ctを満たす。光速度不変 の原理から、この光は同時にx′=ct′を満たさなくてはいけない。このことから、A(v),B(v),α(v)の間に成り立つ式を求めよ。
2. 逆向きに進む光は、x=−ctとx′=−ct′を同時に満たす。このことからもう一つの式が出る。求めよ。
3. ローレンツ変換は等方的であろうから、A(v)=A(−v),B(v)=B(−v)と考え られる。また、v→ −vということはx軸の向きをひっくり返すとい うことだから、α(−v)=−α(v)であろう。この対称性と上の二 つの答から、α(v)を求めよ。また、A(v)=B(v)であることを示 せ。
   問題文に関するお詫び：最初にあるA(v)=A(−v)とかの説明(青い字の部分）は、本来次の 4.のための説明でした。この問題ではこの条件は使いません。
4. この変換を行列で書けば、
   

   ( x′ t′ ) =A(v) ( 1 −v −α(v) 1 ) ( x t )

   となるだろう。この逆変換はv→ −vと置き換えられば得られるであろうから、
   

   ( x t ) =A(v) ( 1 v α(v) 1 ) ( x′ t′ )

   である（上で使った対称性をここでも使った）。これがちゃんと逆変換になることから、A(v)を求めよ。

1. ４元運動量の各成分を、３次元速度vⁱ = [(dxⁱ)/dt]および３次 元速さv=√[((v¹)²+(v²)²+(v³)²)]を使って表 現せよ。
2. 座標x^μが(x′)^μ=α^μ _νx^νのようにローレンツ変換された時、４元運動量はどのように変換されるか？
3. τが「固有時」と呼ばれるのはなぜか？
4. ４元運動量の自乗η_μνP^μ P^νはどのような値を取るか、 求めよ。ただし、η₀₀=−1,η₁₁=η₂₂=η₃₃=1で あり、それ以外のη_μνは0である。
5. ４元運動量の第０成分のc倍(cP⁰ )がエネルギーであることを導け。

1. ct′軸が垂直、x′軸が水平になるように、グラフを書き直せ。電車の先端、後端を表す線を書き込むこと。
2. (x′,ct′)座標系で見ると、電車は最初速度−vで動いていたものが静止したこ とになる。しかも、同時の相対性により、電車の各部分が静止する時刻は同時で はなく、電車は先端の方が先に静止したことになる。先端が停止してから後端が 停止するまでの時間はどれだけか。
3. (x′,ct′)座標系で考えると、電車の長さは停止が始まる前はどれだけだ ったことになるか。
   （註：(x′,ct′)座標系で測った「電車の長さ」とは、(x′,ct′)座標系で見て 同時刻（ct′が一定）において電車の先端と後端がどれだけ離れている かで考える）
4. 電車の固有長さは、最初（加速または停車が始まる前）はどれだけで、 最後（加速または停車が終了した後）はどれだけか。固有長さとは、そ の時その時で電車が静止している座標系で測った電車の長さである。つ まり「加速前の(x,ct)座標系での長さ」と、「加速後での(x′,ct′) 座標系での長さ」である。
5. 電車の固有長さが変化してしまう（もし、電車が伸び縮みしないような 固い物質でできていたとしたら、破壊されることになる）。こうなる理 由を説明せよ。
   （単に「ローレンツ短縮が起こるから」のような説明は却下である。(2)の答と 照らし合わせて、どのような物理現象が起きているのかを具体的に示す こと）

1. 物体Bの4元速度W^μの第0成分W⁰と第1成分W¹はwを使ってど のように書けるか(註：y,z方向は今考えていないので、W²,W³は0 である)。
2. Aが静止するような座標系を(x′,ct′)座標系とすると、(x,ct)から (x′,ct′)へのローレンツ変換はどう書けるか。
3. (x′,ct′)座標系では、Bの４元速度(W′)^μ の第0成分と第1成分は どうなるか(ここでも、y,z方向は考えない)。
4. (3)の答から、Aの上に乗っている観測者から見たBの(３次元的)速度を求めよ。
5. |v| < c,|w| < cならば、(4)の答の絶対値がcより小さくなることを証明せよ。

1. A,B,C、および右側の鏡で反射して戻ってくる光の軌跡を書き込んだグラ フを解答用紙に書け。
2. A,B,Cの(x,ct)座標を求めよ。
3. A点とB点は、装置の静止系においては同時刻である。このことから、装置の静止系の同時刻線をグラフに書き込め。その線はグラフ上でどれだけの傾きを持つか。
4. 装置の静止座標系を(x′,ct′)とし、(x,ct)座標系と原点は一致しているものとする。A,B,Cの各点の(x′,ct′)座標を求めよ。

　電流が流れている導線から少し離れたところに静止した電子がいる。導線には流れている自由電子（−電荷）がいるが、静 止している金属イオン（＋電荷）もいて、全体として電荷は中和している。ゆえに導線のまわりに電場はない。電流があるから磁場はあるが、磁場は止まってい る電子に力を及ぼすことはない。よってこの電子は力を受けない。

　ここで、流れている電子と同じ速度で移動しながらこの現象を見たとしよう。電子は止まって しまうが、金属イオンは逆に動き出すので、やはり電流は流れている。故に磁場はやはり発生している。今度は外においてある電子は動いている。磁場中を動く 電子は力を受けるので、この立場で考えると電子には力が働く。

　ということは、この場合、見る立場によって現象が違う。つまり、特殊相対性原理の反例が見つかった。

1. v₁とv₂の関係を求めよ。
2. v₂,mを使ってMを求めよ。
3. 最初は全ての粒子が静止している状態で始めるとすると、(A),(B)どちらの場合が、粒子に与える運動エネルギーが少なくて済むか。