ここで、Δxをどんどん小さくしていくという「極限」の感覚を持ってもらいたい。
↓のグラフはy=x2のグラフであり、青い線は◆のある場所での接線であり、紫の線は(x,y)と(x+Δx,y+Δy)を結ぶ直線である。
この二つの線が、Δx→0の極限で一致することを確認しよう。
アニメーションスタート／ストップと書いてあるボタンを押すと、Δxがだんだん小さくなる、という状況がアニメーションで繰り返される。それをじっくりと見て「極限」というのはこういうことをやっているのか、と納得して欲しい。
| Δy Δx | =3 |
| dy dx | =3 |
さらに、２倍拡大などのボタンで、グラフを拡大・縮小することができる。拡大したことで、y=x2のグラフが、より「直線」に近づくことを確認しよう。ある程度拡大するとそこで止まるようになっている（時々バグで線が消えることがある、ごめん）。これは別の言い方をすれば「狭い領域を見ている時は1次の係数に比べて2次の係数は大事じゃない」ということだ。
この「拡大する」という操作は（相対的に）「Δxを0に近づける」という操作と同じなのだと思ってもらえばよい。自然現象を表すような関数の場合はたいてい、グラフをどんどん拡大していけば、結局は直線のグラフになると思ってよい一般的に考える時は、「どんなに拡大しても直線にならないような突拍子もない関数」も頭にいれて考えるため、より慎重になる必要がある。。
次のページでは、三角関数の場合の極限を見よう。