こっちはまず図で考えよう。右の図は、$\sin$の微分の時と同様、斜辺が1の直角三角形の角度を少し変えてみたものだが、今度は底辺である$\cos \theta$の変化を見ている。やはり相似な三角形ができていることを考えると、$\cos \theta$の変化量は$\sin {\theta} \mathrm d\theta$ということになりそうである。
ところがここで注意すべき点があって、それはこの$\cos \theta$は減っている（変化の方向が負の方向である）ということである。ゆえに、\wrapfigen
のように符号をつけるのが正しい。
左の単位円の部分は、前ページのグラフに比べて、90度反時計回りに回した状況になっていることに注意。
アニメーションのように、θが変化していったときにsinθとcosθがどのように変化していくかを考えると、それぞれの微分がどうなるかがわかる（はずである）。
左の図が、それぞれの長さを描き込んだもの。
右のグラフに、cosθのグラフの傾きが
のように表示されている。これも動径をドラッグすることができるので、動かしながら「cosθの微分（傾き）は-sinθだな」ということを実感して欲しい。
$\sin $と同じ手順で数式で考えることもできる。三角関数の加法定理を使って、
\begin{equation} \begin{array}{rll} \cos ({\theta}+\mathrm d\theta) =&\cos {\theta} \cos \mathrm d\theta - \sin {\theta} \sin \mathrm d\theta&ここで、{\cos\mathrm d\theta=1,\sin\mathrm d\theta=\mathrm d\theta}\\ =&\cos {\theta} \underbrace{- \sin {\theta}}_{微係数} \mathrm d\theta\\ \end{array} \end{equation}を得るから、${\mathrm d \over \mathrm d\theta}(\cos {\theta})= -\sin {\theta}$となる。
この（一方にマイナス符号がつく意味）は、左の図のように、微分という操作がちょうど「90度$\left({\pi\over 2}\right)$の回転に対応していると思ってもよいだろう。
${\pi\over 2}$の回転は
のように、$x$座標を$y$座標に、$y$座標を（符号を変えて）$x$座標にすることで得られる。式で書くなら$(x,y)\to(-y,x)$であるが、これが微分$(\cos \theta,\sin \theta)\to(-\sin \theta,\cos \theta)$と同じ計算になっているわけであるθが増加するという現象を原点を中心とした円運動と捉えると、微分というのは速度を計算することだから、円運動の速度は動径と垂直だ、ということを示していることになる。。
なお、$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$を微分するという方法でも${\mathrm d\over \mathrm d\theta}\cos{\theta}$を計算できる。
\begin{equation} \begin{array}{rl} 2\cos{\theta}{\mathrm d (\cos{\theta})} + 2\sin{\theta}{\mathrm d (\sin{\theta})} &=0 \\ {2\cos{\theta}}{\mathrm d (\cos{\theta})} + {2}\sin{\theta}{\cos{\theta}}\mathrm d\theta &=0 \\ {\mathrm d (\cos{\theta})} =&- \sin{\theta}\mathrm d\theta \end{array} \end{equation}この出し方を見ると、$\sin{\theta} $と$\cos{\theta}$の微分のどちらかにはマイナス符号が必要だったことがわかる。
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