初等量子力学講義録2005年第１０回

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6.3 円周上に発生する波の重ね合わせ

　上では狭い空間に閉じ込められた波に関して、不確定性関係が成立することを示した。閉じ込められていないが、空間の一部にだけ分布している波の場合はどのように考えればいいだろうか。その場合、いろんな波長の波が重なり合うことで「空間の一部にだけ分布している波」ができていると考えることができる。

　波の重ね合わせを考える簡単なモデルとして、半径1の円の上に発生している波を考えよう。円周にそっての座標をxとしてその範囲を[－π,π]としよう。すると、x=－πとx=πは同一点である。この波の、ある一瞬での形をf(x)という関数で表すと、この関数はsinx,sin2x,sin3x,… およびcosx,cos2x,cos3x,… で表されるような、いろんな波長(ただし、[2π/自然数]に制限される)の三角関数(および定数)の和で書かれることが知られている³³。つまり、f(－π)=f(π)になるような関数f(x) は、

f(x)=

a₀+

∞
∑
n=1

a_n cosnx+

∞
∑
n=1

b_n sinnx

(6.3)

と書けるのである³⁴。このように関数を三角関数の和で表したものを「フーリエ級数」と言う。ここで、

∫

π

－π

dx sinmx sinnx

{

m = n

m ≠ n

(6.4)

∫

π

－π

dx cosmx cosnx

{

m = n

m ≠ n

(6.5)

∫

π

－π

dx cosmx sinnx

(6.6)

∫

π

－π

dx sinnx

(6.7)

∫

π

－π

dx cosmx

(6.8)

である。すなわち、この式の各項は、自分自身以外とかけて積分すると答は0になっている。

[問い6-2] (6.4)から(6.8)までの式をできる限り計算をせずに証明せよ。

　この一部については解説した。例えば、奇関数をx=0に対称な範囲で積分すると0になることを使うと、(6.6)はすぐに出る。

　波を一周期分積分すると、山(プラス変位)と谷(マイナス変位)を足していくことになるので、必ず0となるというのが、上のような式が成立する理由である。二つの波を掛け算する時も同様だが、同じ波を掛け算した場合に限って、谷×谷もプラスになるので結果は0にならない。

　この性質を利用して、フーリエ級数の係数であるa_n,b_nを求めていくことができる。

たとえば、f(x)にsinmxをかけて積分すると、f(x)の中のsinmxを含む項以外は全て０となり、

∫

π

－π

dx sin mx f(x)

=πb_m

(6.9)

であるから、

a_m

∫

π

－π

dx f(x) cos mx

(6.10)

b_m

∫

π

－π

dx f(x) sin mx

(6.11)

と求められる(a₀の前の¹/₂は、上の式がm=0でも成立することに役立っている)。
　積分のdxを前に書いているのはなんでですか？
　気分の問題です(^_^;)。深い意味はありません。dxはどこに書いてもいいので。

　具体的な関数として、高さHで幅2δの矩形波を考えよう。この波は

f(x)=

{

－δ < x < δ

(それ以外)

(6.12)

のような関数で表される。

　この関数をsin,cosの和で表した時の係数を求めよう。

a_m

∫

π

－π

dx cosmx f(x) =

∫

δ

－δ

dx cosmx

mπ

sinmδ

(6.13)

b_m

∫

π

－π

dx sinmx f(x)=0

(6.14)

a₀

∫

π

－π

dx f(x)=

2Hδ

(6.15)

となる。b_mが0になるのは、sinが奇関数で、f(x)が偶関数であることからくる。つまり、

f(x)=

Hδ

∑
m=1

sinmδ

cosmx

(6.16)

である。

H=[π/2],δ = 1の場合でこのグラフを書いてみる。次の図は、Σ記号の第1項まで(¹/₂+sin1 cosx)と、第2項([sin2/2]cos2x)、そしてそれを足して第2項まで(¹/₂+sin1 cosx+[sin2/2]cos2x)にしたものである。

　四角い点線はf(x)を表す。第３項が足されたことで、関数がよりf(x)に近い形になっていることがわかるであろう。この後も次の関数、次の関数が足されていくごとに級数はf(x)に近づいていく。

　テキストには静止画があったが、変わりにここでは授業中に見せたアニメーションを貼り付けておく。

　上は級数の何項まで足すかを少しずつ増やしていくところのアニメーショングラフである。Nが１から増えていくと、どんどん四角い形になっていくのがわかると思う。N=50になるとまた繰り返す。

　上のグラフは、N=25で固定して、δを少しずつ小さくしていった時のアニメーション。δが小さくなるにしたがって、矩形を維持するのが難しくなる。

　
　つまりδが変化すると、重ね合わせるべき波も変化していく。重ね合わせる波の振幅を表すのが係数a_m=[(sinmδ)/(m)]であるが、a_mの様子をグラフにしたのが上のグラフである。δが小さくなると、より大きいmの波をたくさん加えなくてはいけないことがわかる。これはつまり「小さい矩形波を作るためにはより波長の短い波を重ね合わせなくてはいけない」ということである。逆に、矩形より大きい波をいくら足しても矩形が作り出せないことは容易にわかる。

　実際にはグラフの通り、波長が無限に小さい波までをどんどん足していかなくてはいけないのだが、おおざっぱに考えるとmδ = 2πとなるまでを取れば、だいたいの形は再現できると考えていいだろう。つまりm=0からm=[2π/δ]までの広がりのある波を足し合わせていると考える。波長はλ = [2π/(m)]で表され、p = [(mh)/2π]となることから、今足している波は∆p = 2×[(h)/2π]×[2π/δ] = [(2h)/δ]ぐらいの幅を持つ。一方、矩形波が存在している幅∆xは2δである。つまり波束の幅を縮めれば波数の幅が広がり、波数の幅を縮めれば波の広がりが大きくなる。この場合は∆x ∆p=4hとなり、不確定性関係に則している。

　不確定性関係は、「∆xと∆pの積がhより大きい」という述べ方をするとずいぶん神秘的に聞こえるが、いったん波動力学的立場を認めて、「∆xと∆([1/λ])の積が1 より大きい」という述べ方をすれば不思議でもなんでもない関係であることがわかる。

6.4 演習問題（今日の授業に関係する部分のみ）

[演習問題6-5] (6.16)で表される級数で、2Hδ(矩形の面積)を1に保ったままでδ→0の極限をとるとどんな関数になるか。結果は後で出てくるデルタ関数となる。

学生の感想・コメントから

　どんな関数もsinやcosで表せるというのはびっくりした（同様の感想多数）
　数学というのはいろいろ不思議なことがあるものです。

　２つの波を足して平坦になるのはなぜですか？
　２つじゃだめです。たくさん足すことで、やっと平坦になります。上のアニメでも２５から５０個足してますよ。

　－πからπまで積分することで、何が出るんですか？
　出したいのは、係数a_nやb_nです。これらを求めるために積分が必要になります。積分するとどうして求められるのかは、上の説明をもう一度見てください。

　フーリエ級数で全ての関数が表せることの証明を知りたいと思った。
　物理数学の授業の方で聞くか、自分で勉強してください。

　小さい波を足し算して四角い波ができていくところが面白かった。
　面白いでしょう。これでどんな関数も作れるというのは非常に面白いと私も思います。

　不確定性関係が成り立っているのは不思議なことではなく、物質が波でできているのだからむしろ当然の関係だということがしだいにわかってきた。
　しかしまだ、「物質が波でできている」ということに悩んでいる。
　その辺の悩みは、量子力学勉強すればするほど出てきます。悩みながら、進んでください。

　テストはいつですか？
　試験期間中の、８月５日です。

Footnotes:

³³証明はややこしいので略すが、これらの級数和とf(x)の違いはいくらでも(つまり0になるまで)小さくできることが数学的に示せる。

³⁴a₀だけ前に¹/₂をつけて特別扱いされているが、それは後で作るa_nを求める式が簡単になるようにであって、深い意味はない。

File translated from T_EX by T_THgold, version 3.63.
On 17 Jun 2005, 12:09.