量子力学講義録2005年第８回


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13.3  波動関数の浸み出し

　前節で問題を解く時、E−V0 > を仮定した。そうでないと[(hbar2(k′)2)/2m] =E−V0から決まるk′が虚数になってしまうからである。しかし、物理的状況としてはE−V0 < 0という状況だって有り得る。その場合どうなるのだろうか。もう一度シュレーディンガー方程式を解き直そう。
− hbar2
2m
∂2
∂x2
 ψ = (E−V0)ψ
(13.23)
であるがE−V0 < 0なので、この解は
ψ = D e−κx + E eκx
(13.24)
となる。ただし、κは

hbar2κ2
2m
 = V0−E
(13.25)
を満たす正の実数である。二つの解ではあるが、E eκxの方は無限遠で発散してしまうので、物理的にこんな答えは有り得ないとい うことで捨ててしまおう。すると、今度は接続条件として、

1+R
=
D

(13.26)

ik(1−R)
=
−κD

(13.27)
という式が出ることになる。この式を解けば、
D= 2k
k+iκ
 ,    R= k−iκ
k+iκ
(13.28)
となる。この場合、D,Rが複素数となることに注意しよう。なお、結果だけを見ていると、E−V0 > 0であった時のP,Rのk′の部分を単純にk′→ iκと置き換えた形になっている。
浸み出しが起こる場合のグラフ
　まず、Rの位相を計算しておこう。一般の複素数a+ibは

a+ib=


  _____
√a2+b2
 
( a

  _____
√a2+b2
+i b

  _____
√a2+b2
)
=


  _____
√a2+b2
 
 (cosα+isinα)
=


  _____
√a2+b2
 
 eiα

(13.29)
のようにして絶対値√[(a2+b2)]と、位相部分eiαに分離できる。 ただしαは
cosα = a

  _____
√a2+b2
,   sinα = b

  _____
√a2+b2

(13.30)
によって決まる(この式はcos2α+sin2α = 1を満たしていることに 注意)。

　R=[k−iκ/(k+iκ)]の位相を求めるために、まず分母を
k+ iκ =
√
 
κ2+k2
 
 eiφ     つまり、cosφ = k


√
κ2+k2
,sinφ = κ


√
κ2+k2

(13.31)
とおく。すると、 

k+iκ =


√
 
κ2+k2
 
 eiφ
k− iκ =


√
 
κ2+k2
 
 e−iφ

(13.32)
となる。よって、Rは、
R =


√
 
κ2+k2
 
 e−iφ


√
 
κ2+k2
 
 eiφ
= e−2iφ
(13.33)
　つまりこの場合、反射波の位相は−2φだけずれることになる。定義からして、φは0 < φ < [π/2]を満たす角度(第一象限内)である。この計算でわかったように、E < V0の場合、反射波の振幅を表すRの絶対 値が1になる。つまり、結局は全部が跳ね返っていることになる。
　同様に計算するとDは

D =

2k


√
 
κ2+k2
 
 eiφ

=
2cosφe−iφ

(13.34)
となる。Dの位相のずれは−φとなり、R の位相のずれのちょうど半分である。複素平面上に図を書いてみると、1+R=Dという式が右のように書ける。|R|=1を考えると、Dの位相がRの位相の ちょうど半分であること、長さが2cosφであることの両方が、グラフ上でも理解できる。



[問い13-7] ψ*ψの値を計算し、極大になる点と極小になる点がどこか求めよ(φを 使って答えてよい)。



D=0でないから、壁の内側でも粒子の存在確率はゼロにならない。ただし、その確率は壁の中に入るにしたがって どんどん小さくなる。「大きくなる方の解を捨てたから、小さくなる解だけが残ったのではないか。大きくなる解が残ったらどうなるのか」と気にする人がたま にいる。しかし、ψ*ψが確率密度を表すことを思い出して欲しい。壁の内側でどんどん確率密度が大きくなってしまうとすると、∫ψ*ψdx が無限大になってしまう。相対的に考えると、入射波(振幅が1)の存在確率は0である。つまり、そんな粒子は入射してこれない。
このようにシュレーディンガー方程式を解くと、古典力学的にはありえない、「運動エネルギーが負の状態」が解として出てきて、古典力学的には到達し得ない ところにまで波動関数が浸み出してくることになる。13.1節で考えた、波動関数が壁でぴったりと0 になるような場合というのは、ポテンシャルの高さVが無限大の極限になっている。この場合はκ = ∞であって壁に入るなり波動関数は0になる。
 
ここで、古典的に見て運動エネルギーがプラスの時とマイナスの時の波動関数のグラフの違いを指摘しておこう。グラフ上の違いの話しなので、波動関数の実部 の部分だけを考える。運動エネルギーがE運という固有値を持っているとすると、
− hbar2
2m
∂2
∂x2
 ψ = E運ψ    つまり、
∂2
∂x2
 ψ
ψ
 = − 2mE運
hbar2
(13.35)
という式が成立する。E運 > 0ならば、ψと[(∂2)/(∂x2)]ψの 符号が反対になる。二階微分はグラフで書いた時、線の曲がり具を表す(もし二階微分が正ならば傾きが大きくなっていくし、負ならば小さくなっていく)。つ まりE運 > 0の時、ψは正の領域では傾きが小さくなる方向に曲がり、負の領域では傾きが大きくなる方向に曲がる。これは結局、ψがプラス側にある時はマイナス側に曲 がり、マイナス側にある時はプラス側に曲がるということであるから、振動が起こることになる。
　E運 < 0ならば、この傾向がまったく逆になり、むしろ0から離れる方向に曲がる。結果として、もし最初に0から離れる方向へ変化していたとすると、ψはどんどん 0から遠い方へ離れて行き、最終的には発散する。もし最初に0に近付く方向へ変化していたなら、その変化がどんどん減るが、曲がり具合(二階微分)も0 に近付いて行くため、ψ = 0という直線に漸近的に近付いていくことになる。いずれにせよ、xの関数としてのψは振動しない。そういう意味では波動関数が「波動」であるのはE運 > 0の場合だけである。

　運動エネルギーがマイナスって、理解できないんですけど。
　だろうねぇ。でもこれは「運動」という言葉にこだわらずにとらえて欲しい。量子力学の波動関数 が、古典的な運動と対応がつくのは、波動関数を重ね合わせて波束を作ることができて、波束の進行＝粒子の運動という対応がつく時だけ。だからそもそも、波 動関数が波動にならないような状況（つまり組み合わせて波束を作ることもできないような状況）では、波動関数に「古典的運動」が対応しない。だから運動エ ネルギーがマイナスなんていう古典力学的には変なことも起こってしまう。結局、量子力学の方が古典力学よりも扱える範囲が広いということになるね。

　もともとシュレーディンガー方程式を作った時は、アインシュタインとド・ブロイの関係式(E =hν,p=[h/λ])を満たすような波動方程式として作ったのだから、解として「波ではない関数」が出てきた時に、「こんな状況でもシュレーディン ガー方程式を信用してもいいのか？」ということが気になるかもしれない68。 実際のところこういう状況でもシュレーディンガー方程式が成立してくれるのかどうかは実験で確かめるべきことである。
　なお、授業中は述べなかったが、シュレーディンガーがシュレーディンガー方程式を世に出した時、 すでに水素原子の回りにある電子について計算しているのだが、この電子の存在確率も古典的には行くことができない場所まで広がっている（確率は小さい が）。もっともシュレーディンガー本人は「確率が広がっている」とは考えていなかった。
　結果を述べると、実際にこんな現象が起こっていることがいろいろな現象で確認されている。例えば原子核のα崩壊(原子核内部からα粒子すなわち24He の原子核が飛び出してくるという現象)は、古典的には起こり得ない。原子核の結合エネルギー(核力という力で陽子や中性子どうしが互いに引っぱりあう引力 による)を計算すると、α粒子は外に出ることはできない。しかし量子力学的な浸み出しによって外に出る。いったん外に出てしまうとα粒子と原子核(どちら もプラスに帯電)はクーロン斥力によって離れていくので、α粒子の放出が起こる(上の図参照)。
　よりこの状況に近いモデルでのシュレーディンガー方程式を次の章で解く。このようにして古典力学では越えられない壁を量子力学的に越えてしまうことを 「トンネル効果」と呼ぶ。半導体などの中を走る電子のトンネル効果は現代のエレクトロニクスの基礎となっている。
　さらには、実は太陽が輝いていられるのもトンネル効果のおかげである。太陽内部では陽子(水 素原子核)が衝突して核融合しているが、実は古典力学的に計算すると陽子は衝突できない。プラス電気を持っているために反発して、衝突前に離れてしまうの である。この場合のポテンシャルの壁はクーロンポテンシャル[(ke2)/r]である。ところが、この場合も波動関数の浸み出しに よって小さい確率だが陽子と陽子が接触することができて、核融合が起こる。小さい確率なのに太陽があのように光輝いていられる理由は、その小さい確率を補 うにあまりあるほど、太陽が多くの陽子を含んでいるからである。通常、ミクロな世界にだけ顔を出すと思われている量子力学だが、太陽の光という、目に見え る恩恵をもたらしてくれるものでもあるのである69。

　以下についてはお話のみ。なお、概算として、κ=[(√[(2m(V−E))])/(hbar)]を考えてみる。日常レベルでは、分子に出てくる量はMKS単位系でオーダー１程度だろう（１キログラム、 １ジュール）。一方分母のhbarはMKS単位では10-33のオーダー。つまりκは1033のオーダーとなり、xが１センチのオーダーだとしてもeκｘはeの1031乗ぐらい、つまりは10の1030乗ぐらいであろう。つまり、このよう な場合でトンネル効果の起こる確率は、1の後ろに0が1030個並ぶほどの莫大な数が分母にくる数字ということになる。宇宙が終わるまで待っていても、日常生活でトンネル 効果に出会うことはありそうにない。
　私が学生の時、誰かに「指を掌に刺すという動作を何回もやっていると、いつかトンネル効果で指が掌を突き抜ける」という話を聞いた。以来何度もやってみ ているが、まだ突き刺さったことはありません（確率からして当然ですが）。
　突き刺さっちゃったらその後どうしたらいいんですか？
　困るでしょうねぇ。そっから先は私も考えてません。

　ここでは階段状のポテンシャルを考えた。もっと複雑なポテンシャルの場合、シュレーディンガー方程式を解くのは難しくなるが、波動関数がどう減衰して行 くかを近似計算することができる。
　まず考えている空間x0 < x < xN をN等分して、∆x=[(xN−x0)/N]ごとに刻む。その一区画xn < x < xn+∆xの中ではポテンシャルV(x)が定数であると近似する(つまり、ポテンシャルを細かい階段状ポ テンシャルで置き換える)。そうすれば波動関数の振幅は、その区画内でe−κn ∆x倍に減衰することにな る。ただし、κn=[(√[(2m(V(xn)−E))])/(hbar)]である。
x=x0からx=xNまででの波動関数の減衰を考えると、
e−κ1 ∆x e−κ2 ∆x… e−κN ∆x = e−(κ1+κ2+…+κN)∆x
(13.36)
となるが、∆x→0とすれば


lim
∆x→ 0 
 (κ1+κ2+…+κN)∆x→ ∫ xN

x0 

  ________
√2m(V(x)−E)
hbar		 dx
(13.37)
と置き換えられる。すなわち、x0での波動関数はxNでの波動関数の
exp [
 − 1
hbar
∫ xN

x0 

  ________
√2m(V(x)−E)
 
 dx ]
(13.38)
倍に減衰していることになる。expの肩の[1/hbar]という(日常の生活レベルにおいては)大きな数字が来ているおかげで、この 減衰は非常に速い。
なお、今行った計算は近似計算であり、厳密解ではない。一般にeF(x)のような関数を二階微分すると、


d2
dx2
 eF(x)=

d
dx
( dF
dx
 (x)eF(x) )
=

( d2 F
dx2
 (x)+ ( dF(x)
dx
 ) 2

 
 ) eF(x)

(13.39)
という形になる。今の場合

F(x)
=
− 1
hbar
∫ x

x0 

  _________
√2m(V(x′)−E)
 
 dx′

(13.40)


dF
dx
 (x)
=
− 1
hbar

  ________
√2m(V(x)−E)
 

(13.41)


d2F
dx2
 (x)
=
− 1
hbar
m dV
dx

  ________
√2m(V(x)−E)


(13.42)
となる。この[(d2F)/(dx2)]の項はシュレーディンガー方程式を成立させるにはじゃまな項にな る。シュレーディンガー方程式の左辺のψに e−[1/hbar)]∫x0x√[2m (V(x′)−E)]dx′を代入すると、


( − hbar2
2m
d2
dx2
 +V(x) ) ψ =

( E+ 1
2
dV
dx

  ________
√2m(V(x)−E)
) ψ

(13.43)
となり、答えはEψとならず、[dV/dx]に比例する項が残る。この項を無視する近似をすれば、これが解となるのである。つまり、以上のような計算はV (x)の変化が十分ゆっくりな時のみ使える近似である。



[問い13-8] 垂直投げ上げ運動を量子的に扱うと、そのシュレーディンガー方程式は

( − hbar2
2m
∂2
∂x2
 +mgx ) ψ = Eψ
(13.44)
である。mgH=Eとする。古典力学的に考えるとx=Hが最高点である。その最高点より∆H上での波動関数はx=Hの場所の何倍になっているか？　上で説 明した近似計算で求めてみよ。
hbar= 1.05×10−34J・ s、m=1kg、g=9.8m/s2、∆H=0.001m(=1mm)として、数値を出してみよ。



13.4  演習問題

[演習問題13-1] 確率密度ρ = ψ*ψに対し、確率の流れ密度Jは
J= ihbar
2m
 (∂x ψ* ψ− ψ* ∂x ψ)
(13.45)
で定義される。シュレーディンガー方程式が成立する時、連続の式
∂t ρ+ ∂x J = 0
(13.46)
が成立することを示せ。
[演習問題13-2] 13.2節で求めた波動関数について、前 問で定義した確率の流れ密 度Jを計算し、入射波の流れが反射波の流れと透過波の流れに分かれているこ とを確認せよ。
[演習問題13-3]
[16]l8cm Figure
左のグラフで表したポテンシャルの中で、波動関数ψ(x)が左下のグラフで表 せるような定常状態ができあがっている。ψ(x)は実数であり、虚数部はないと する。
  1. 波動関数の二階微分[(d2 ψ)/(d x2)]をψで 割ったもの ([([(d2ψ)/(dx2)])/ψ])の符号は、図の点Aより左では負、 右では正になっている。点Aは古典力学的に考えるとどのような点か。
  2. 点Oの右、点Aの左では、右へ行くほど波動関数の波長がだんだん長くなっ ているが、これはなぜだろうか。物理的解釈をのべよ。
  3. 点Oの右、点Aの左では、右へ行くほど波動関数の振幅がだんだん大きく なっているが、これはなぜだろうか。物理的解釈をのべよ。
[演習問題13-4] 太陽の中心部では、1.5×107K程度の温度になっていて、陽子と陽子の核融合が起こってい る。単純に考えると陽子は一個あたり3/2kT(kはボルツマン定数1.38×10−23[J/K]、 Tは絶対温度)ぐらいのエネルギーを持っているはずである。このエネルギーではたとえ二つの陽子がうまく正面衝突したとしても、(古典力学的に考えるかぎ り)陽子どうしが接触できないことをしめせ。電荷eを持つ荷電粒子が距離rにある時、ポテンシャルエネルギーは[(ke2)/r] である。陽子の電荷eは1.6×10−19C、クーロンの法則の比例定数kは9.0×109、陽子の半径は R=1.0×10−15mとする。
[演習問題13-5] 前問の状況をおおざっぱに見積もれば、陽子が接触する確率は e− 2 [√[2m(V−E)]/((h/2p) )]∆r となる。ただし、Eは陽子の持っているエネルギー、Vがポテンシャルの平均値で、陽子の半径でのクーロンポテンシャルの値として近似できる(Eは小さいと して無視してよい)。∆rが通り抜けなくてはいけない距離で、∆rは(古典的にもっとも接近できる距離)− (陽子の半径) だが、これも陽子の半径は無視できる。以上の近似をして、だいたいの確率を計算してみよ。陽子の質量を1.7×10−27kgとす る。

Footnotes:

68というより、物理 をやる人はこういうことを気にして欲しい。たとえ方程式が解けても、答えとして出てきたものが妥当ではない場合だっていくらでもあるのだから。
69さらには宇宙の始 まりすら「"無"からトンネル効果で産まれた」などと言う人もいる。何年か前に「虚数の時間で考えれば、宇宙には始まりも終わりもない」と言うホーキング の言葉がCMで使われていたが、あの「虚数の時間」というのはトンネル効果を意味している。ここまでの式でも、k→ iκと波数(運動量)を虚数にするとトンネル効果が記述できている。これは虚数の時間を使っていることに対応する。もっとも、ほんとうに宇宙がトンネル効 果で始まったのかどうかはまだわからない。

学生の感想・コメントから

　κの式にはｍとエネルギーが入ってましたが、大きさは関係ないのですか？
　今、粒子の大きさは０として計算してます。シュレーディンガー方程式で考える時はいつもそうで す。

　運動エネルギーが負になるのはわかりにくかった（多数）
　もはや「運動」してないと考えましょう。

　κの読み方を間違えないようにしよう。
　ｋと紛らわしいですからね。

　量子力学が実際に役に立つと感じた（多数）
　そりゃ、役に立つから教えているんですよ。

　発散する波動関数の場合どう計算したら確率を出すことができるのですか？
　答その１：発散するときは意味のある答は出ません。
　答その２：とりあえず発散しなくなるように関数の形を無理矢理変えて計算し、後で関数の形が元に 戻るようにするという方法があります。たとえば関数にexp(-λx2)をかけてから積分して、後でλ→0と置くとか。

　トンネル効果の話は不思議だが面白かった（多数）
　ほんとに不思議ですが、実際に起こっているというのが楽しいですね。

　波動関数を使って考えると都合がいいからこう考えているだけであって、実際は波動でもないの でしょうか？
　可能性はありますが、今のところは波だと考えておいてよさそうです。状況によっては振動しない解 もあるというだけのことで。

　波動関数は、古典物理では理解できないものを理解する手段だとわかった。運動エネルギーなど の言葉にとらわれてばかりだと、物理的な現象を理解しかねる場合もある。
　我々が「言葉」で理解できるのは古典力学的現象になってしまうので、量子力学的に考える時はいろ いろと飛躍が必要になってきますね。

　ＲとＤの位相を計算したのはどんな意味があったんですか？
　一つには反射による位相差が固定端でも自由端でもない中途半端なものだということを見せたかった ということ。もう一つは複素数を使う計算の練習です。

　トンネル効果が起こる確率は、ポテンシャルの幅に関係しているんですか？
　もちろんです。幅がせまいほど起こりやすい。

　トンネル効果は粒子が波だからこそ出てくるものなんですか？
　波だから、というより「シュレーディンガー方程式に従うから」というべきかな。

　トンネル効果はエネルギー準位と関係してくるんですか？
　いろんなところで関係してきます。

　トンネル効果がエレクトロニクスや太陽と関係しているとは驚きだった（多数）。
　量子力学はいろんなところで使われるものなのです。

　確率解釈って本当に完成されたものな のか疑いがあったけど、核融合の話などを聞いて正しいんだと思いました。
　こういういろんな証拠があってこそ、理論というものを正しいと認めることができるものです。一つ 一つ納得していってください。

　逆に侵入部分がない場合は存在するのですか？
　有限のポテンシャル障壁なら、かならずしみ出します。

　シュレーディンガー方程式と波動関数はどっちが先にわかったのでしょうか？
　波動論はド・ブロイですが、波動関数をちゃんと式に書いたのはシュレーディンガーなので、シュ レーディンガー方程式と波動関数は同時に誕生してます。

File translated from TEX by TTHgold, version 3.63.
On 8 Dec 2005, 14:27.