初等量子力学2006年度講義録第12回

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第8章物理量と期待値

　前回で量子力学の不思議なところを強調しすぎたので、今回は「ちゃんと量子力学の中には古典力学が入っているんだよ～～」ということを強調するところから始めた。その「古典力学が入っている」ということを確認するための作業として、「古典力学での力学変数＝量子力学の演算子」という対応関係と「力学変数の値＝演算子の期待値」という対応関係が必要になる。
　というわけで、この章は期待値のお話。

8.1 座標の期待値

　波動関数は常にある程度の広がりを持ちながら時間発展していく。その波動関数の時間変化こそが、いわば「運動」なのであるが、その波が一部に局在しているて、その位置が動いていくならば、それを我々は「粒子が運動している」ととらえることができる。

　古典的な「粒子の運動」と波動関数の動きを比較するために、「波動関数がある形をしている時、粒子はどのあたりにいると考えればよいのか」ということを示す量が必要である。

そのような指標として、期待値（記号では < x > ）を使うことが多い。波動関数が一つの山の塊(波束)を持つような時、 < x > はまさにその山の中心を指し示すことになる(複数個の塊があるならばその平均のところにくる)。

　波が二つに分かれるような運動は考えないんですか？
　今ここで話そうとしているのは、量子力学のうち、古典力学と関係がつけられるような状況（局在した波の状況）についてなので、そういう場合を考えないことにしましょう。そういう場面については後で考えるけど、そんな状況で期待値を考えて古典力学に結びつけることはやらない方がいいでしょう。ここで示したいのはあくまで「量子力学が古典力学を含む（量子力学の方が大きい）」ということ。だから、量子力学でしか記述できない現象も、もちろんある。

　具体的には、期待値は以下のように計算される。まず一般的な「期待値」の定義を述べよう。

　ある物理量Aがある値A_iを取る確率がf_i(iはいろんな現象を区別する添字であるとする)である時、

< A > =

∑
i

f_i A_i

(8.1)

が「Aの期待値」である。たとえば100分の1の確率で1000円あたり、10分の1の確率で100円あたるクジであれば、もらえる賞金の期待値は

f_{1000円当り}×1000 + f_100円当り×100 + f_外れ×0 =

100

×1000+

×100 +

100

×0 = 20

(8.2)

となる。もしくじを100回引けば、1000円が１回、100円が10回ぐらい当たるだろう。すると100回で2000円ぐらい賞金がもらえることになる。1回あたり20円である。つまり期待値は、そのくじを何回も何回も引いた時にもらえるお金の平均値に等しい。

　量子力学では確率しか計算できないので、物理量そのものではなく、物理量の期待値が計算できることになる。実験と比較するとしたら、何回も実験をしてその平均値と比較することになる。

量子力学では、ある量Aの期待値を < A > のように括弧でくくって表す。

ここではiという不連続な添字で物理量のいろんな値を表したが、連続な変化をする場合ももちろんある。たとえば、位置座標xは連続的に変化する物理量である。粒子が位置座標xからx+dxの間に存在している確率は|ψ(x)|²dx であるから、期待値 < x > は、

< x > =

∫

x|ψ(x,t)|² dx =

∫

ψ^*(x,t) x ψ(x,t) dx

(8.3)

のようにして計算することができる(ただしψは規格化されていなくてはならない)。ここで３つめの式では、順番を並べ替えてxをψ^*とψ の間に置いている。これは後で出てくる「運動量の期待値」や「エネルギーの期待値」の時と順番を同じにするためで、この段階では深い意味はない。

　単純な矩形波

　　　　ψ(x)=

｛

√

a < x < a+δ

それ以外

(8.4)

のような場合(ここでは時間依存性を無視している。実際には、このような波は時間がたつと形を変えていくはずである)、

∫

dx ψ^* x ψ =

∫

a+δ

a

x =

[

x²

]

a+∆

a

2δ

((a+δ)²－a²) =

2δ

(2aδ+δ²) = a+

(8.5)

となって、確かに波の中心である。古典力学で「粒子の位置」と我々が観測するものはこのような < x > である。ただし、たいていの場合波の広がりは測定機器の誤差の中に埋もれてしまう。

　期待値はこのようにして全体の平均として計算するので、波動関数が二つの波に分かれてしまうような場合について計算すると、実際には波がほとんどいないような場所に期待値が来てしまう場合もある。そのため、波がどの程度広がっているかを示す数値（右の図の∆xのようなもの）も必要になるが、それについては後で計算しよう。

8.2 座標期待値の運動

前節で定義された < x > が時間的にどう変化するかを見ておこう。そのために[d/dt] < x > という計算を行う。この場合、xは時間に依存せず、依存するのはψ(x,t)の方であることに気をつける。量子力学では¹、時間によって変化していく力学変数は座標xや運動量pではなく、波動関数ψ(x,t)なのである。量子力学ではxはもはや力学変数ではない（だからx(t)ではない！）。

　力学変数がx(t),p(t)からψ(x,t)と変わったことをたとえ話で説明しておく。広い運動場に一人の人間が走り回っているのを見ているとしよう。この「状態」を知るには、その人がどこにいるか（x(t)）と、どれぐらいの運動量で動いているか（p(t)）を知ればよい。これが古典力学的運動に対応する。

　これに対し、量子力学的な運動に対応するのは、運動場一杯にぎっしりと人が立っていて、サッカーの応援などでやる「ウェーブ」をやっているところである。ウェーブが動いていく姿が波束の動いていく姿すなわち粒子の動いていく姿に対応する。波動関数の山になっているところが移動していくことが古典的な意味の粒子の移動なのである。このように「波動関数が時間的に変化して、それによって粒子のいそうな場所（期待値）も変化していく」という考え方をするならば、波動関数ψ(x,t)は空間の各点各点に一個ずつ存在する「力学変数」であり、すべてのψ(x,t)を決めてその時間発展を考えなくてはいけない。そして、この立場ではxは時間的に変化するものではなく、「たくさんあるψのうち、どれを考えているのかを指定する名札（ラベル）」でしかない（ウェーブが移動しても着席している人は移動しない）。

したがって、 < x > を時間tで微分する時、微分されるのはψ^*(x,t)とψ(x,t)の二つである。

これがわかってない人は、

<x>=

∫

（

ψ^*(x,t)

ψ(x,t) + .....

)

というふうに、真ん中のｘから微分してしまう。これは、絶対やってはいけない間違い（でも、ものすごく多い）。真ん中のｘは上で言えば「ウェーブをしている人の座席番号」に対応するものであって、時間によって変化しない。

ゆえに、微分の結果は

∫

dx ψ^*(x,t) x ψ(x,t)

∫

（

ψ^*(x,t)x

∂

∂t

ψ(x,t)+

∂

∂t

ψ^*(x,t)xψ(x,t)

)

(8.6)

となる。

【以下長い註】この部分は、最初に勉強する時は理解できなくともよい。

　たまに、「この式の左辺では微分が常微分[d/dt]なのに、右辺に行くと偏微分[∂/∂t]になっている。おかしいではないか」と質問する人がいるので、少し説明しておく。

左辺において微分されている∫ψ^*(x,t)ψ(x,t) dxにおいては、xはすでに積分が終わっている(つまり、xはいろんな値が代入されて足し算が終わっている)ので、実はxの関数ではなく、tのみの関数なのである。だから、左辺の微分はあきらかに偏微分ではない。

「右辺のψ(x,t)の中にはxがある。このxをtで微分したら[dx/dt]は出てきそうな気がする」と不安に思う人もいるかもしれない。しかし、ウェーブの例えで説明したように、ψ(x,t)の中のxは時間によって変化する量ではないのであって、古典力学での場所を表すx(t)とは違うものであることに注意しなくてはいけない。このxは「場所x、時刻tでの波動関数ψ(x,t)」のようにψの場所を指定する、いわば「ラベル」または「番地」なのである。これに対し、古典力学のx(t)は粒子の存在している位置であり、意味が違う。この二つのxの違いは、流体力学でのLagrangeの方法と Eulerの方法の違いと本質的に同じである。

【長い註終わり】

　ここでシュレーディンガー方程式i

[∂/∂t]ψ = [－[

²/2m][(∂²)/(∂x²)] +V(x)]ψが成立しているものとして、

∂

∂t

ψ =

－i

[

－

∂²

∂x²

+V(x)

]

ψ および

∂

∂t

ψ^*=

[

－

∂²

∂x²

+V(x)

]

ψ^*

(8.7)

を代入する。すると、

∫

dx ψ^*(x,t) x ψ(x,t)

∫

（

ψ^*(x,t)x

－i

[

－

∂²

∂x²

+V(x)

]

ψ(x,t)+

[

－

∂²

∂x²

+V(x)

]

ψ^*(x,t)xψ(x,t)

)

(8.8)

となる。ここでV(x)に比例する部分は同じものが逆符号になっているので消える。整理すると、

∫

dx ψ^*(x,t) x ψ(x,t)

∫

（

ψ^*(x,t)x

∂²

∂x²

ψ(x,t)－

（

∂²

∂x²

ψ^*(x,t)

)

xψ(x,t)

)

(8.9)

第２項のψ^*の方にかかっている微分を部分積分を使って外していく。この時、積分範囲の端っこ（たいていの場合はx=±∞だろう）ではψやその微分は０になっているとして、表面項²は無視しよう。部分積分の結果は

∫

∂²

∂x²

ψ^* x ψ =

－

∫

∂

∂x

ψ^*

∂

∂x

( x ψ)

∫

dxψ^*

∂²

∂x²

( x ψ)

∫

dxψ^*

（

∂²

∂x²

ψ+ 2

∂

∂x

)

(8.10)

となる。この第１項は最初からあった[(∂²)/(∂x²)]ψの項と消し合う。残るのは、

∫

dx ψ^*(x,t) x ψ(x,t)

－i

∫

dx ψ^*(x,t)

∂

∂x

ψ(x,t)

(8.11)

となる。この式をよく見ると、¹/_m∫dx ψ^*(x,t)(－i

[∂/∂x]) ψ(x,t)のように、ψ^*とψの間に運動量演算子－i

[∂/∂x]がはさまった形になっている。これは「運動量の期待値」と考えてよい量になっている。これが妥当であることは後で示すとして、とりあえず∫dx ψ^*(x,t)(－i

[∂/∂x]) ψ(x,t)を と書いておくと、

< x > =

(8.12)

が示されたことになる。これはつまり、p=mvである。古典力学的にはあたりまえの式であるが、量子力学の中ではこのように期待値の形で実現することになる。運動方程式[dp/dt]=－[dV/dx]も、同様に期待値として実現することになるが、その計算も後に回そう。

なお、ここで行ったのは < x > の計算であるが、xを挟まない∫ψ^*(x,t)ψ(x,t) dxを時間微分すると0になることが計算できる（章末の演習問題を参照。しかし具体的に計算しなくても、ここでの計算がこうも複雑になったのはxが挟まっていたからであり、それがなければ答が0になることは理解できるだろう）。

　と言われてもわからない人は、上の計算式で、真ん中に入っているxを1に書き換えるとどうなるかをやってみること！
　こうなるのは当然で、もしこうならなかったら、∫ψ^* ψdx=1、つまり全確率が１であるという条件が、時間が経つと成立しなくなってしまう。

8.3 運動量の期待値

　運動量の期待値が∫ψ^* (－i

[∂/∂x]) ψdxで計算できるということを確認しよう。ただし、この節では規格化の問題を簡単にするために、xの範囲を－π < x < πとし、周期境界条件をおく³。

[－π,π]で周期的である関数は

f(x)=

√

2π

∞
∑
n=－∞

F_n e^inx

(8.13)

のようにフーリエ級数で展開できる。前に出てきたフーリエ級数()はcosnx,sinnxを使っていたが、ここではe^inxを使っている。e^inx=cosnx + isinnxであることを思い出せば、上の式は

f(x) =

√

2π

∞
∑
n=－∞

F_n (cosx + isinnx)

√

2π

F₀ +

√

2π

∞
∑
n=0

[ (F_n+F_－n)cosx + i(F_n－F_－n)sinnx]

(8.14)

となる。

√

2π

F₀=

a₀,

√

2π

(F_n+F_－n) = a_n,

√

2π

(F_n－F_－n) = b_n

(8.15)

とすればこの式は()と同じである。a_n,b_nは実数とは限らないが、もし「実数であれ」という条件が課されているなら、(F_n)^*=－F_－nになっていなくてはいけない。

　このように波数nを持った波e^inxを適当な重みF_nをかけて足し算(重ね合わせ)していくことで、いろんな形の関数を作ることができる⁴。このnは整数に限るが、それは周期境界条件ψ(π)=ψ(－π)を満足するようにである。

　この関数f(x)を波動関数だと考えると、波数nということは運動量

n を持っているということだから、F_nは、「波動関数の中に運動量

n を持った成分がどの程度含まれているか」を示す数だと言うことができる。確率はψ^*ψに比例するから、運動量が

n になる確率はF^*_n F_nに比例する(F_nは一般に複素数であることに注意。うまく規格化されていれば、「比例する」ではなくF^*Fは確率そのものとなる)。

単純な例を考えよう。ある波動関数が

ψ(x)=

√

2π

( F₁ e^ix+ F₂ e^2ix+F₃e^3ix)

(8.16)

のように、３つの波動関数の和として与えられたとする。各成分であるところのe^ix,e^2ix,e^3ixはそれぞれ、

の運動量を持っている粒子を表す波動関数と解釈でき、F₁,F₂,F₃はそれぞれの波がどの程度混じっているかを表す数字である。まず規格化条件を考える。ψ^*ψを積分すると

∫

π

－π

ψ^*ψdx=

2π

∫

π

－π

(F₁^* e^－ix+ F₂^* e^－2ix+F₃^*e^－3ix)(F₁ e^ix+ F₂ e^2ix+F₃e^3ix)dx

(8.17)

となる。

ここでe^inx(n ≠ 0)のような振動関数を範囲－π < x < π(n周期分に対応する)で積分すると、答えはゼロになることを思い出そう。波の山と谷を足して行くことになるからである。これを使うと、かけ算の結果e^ixが残るような項(たとえばF^*₁e^－ixとF₂ e^2ixの積)はどうせゼロだから計算する必要はない。このように違う運動量を持った波動関数の積を積分すると0になる(同じ運動量を持つものどうしの積だけが残る)のはすぐ後で学ぶ一般的な法則「エルミートな演算子に対して異なる固有値を持つ固有関数は直交する」(「エルミート」という言葉の意味はすぐに出てくる)の一例である。

　さて以上のような考察から、

∫

π

－π

ψ^*ψdx =

2π

∫

π

－π

(F₁^* F₁ + F₂^* F₂+F₃^*F₃) dx

F₁^* F₁ + F₂^* F₂+F₃^* F₃

(8.18)

なので、規格化条件から、F₁^* F₁ + F₂^* F₂+F₃^* F₃ = 1でなくてはならない。この時、F₁^* F₁,F₂^* F₂,F₃^* F₃という3つの数は、運動量がそれぞれ、

になる確率を表す。よって、この場合の運動量の期待値は(値)×(確率)の和として計算して、

=

F₁^* F₁ + 2

F₂^* F₂ + 3

F₃^* F₃

(8.19)

ということになる。

　では、運動量の期待値を計算するには、まず波動関数を(8.13)のようにフーリエ級数で展開して、係数F_nを求めておかなくてはいけないのだろうか？⁵

　実はその心配はない。「運動量を演算子－i

[∂/∂x] で置き換えることができる」ということのありがたさがここでも出てくる。波動関数にこの演算子をかけると、

－i

∂

∂x

ψ(x)=

√

2π

（

－i

∂

∂x

)

(F₁ e^ix+ F₂ e^2ix+F₃e^3ix ) =

√

2π

(

F₁ e^ix+ 2

F₂ e^2ix+3

F₃e^3ix )

(8.20)

となる。つまり、波動関数の各成分の前に、それぞれの成分の持つ運動量がかけ算された形で出てくる。これにψ^*をかけて積分すると、さっきと同じ理由でe^ixが残らない部分だけがノンゼロで残るから、

∫

π

－π

ψ^*

（

－i

∂

∂x

)

ψdx =

2π

∫

π

－π

(F₁^* e^－ix+ F₂^* e^－2ix+F₃^* e^－3ix ) (

F₁ e^ix+ 2

F₂ e^2ix+3

F₃e^3ix )

F₁^* F₁ + 2

F₂^* F₂ + 3

F₃^* F₃

(8.21)

である。もっと一般的な波動関数であっても同じことが言える。つまり、F_n を計算しなくても、

=

∫

ψ^*

（

－i

∂

∂x

)

ψdx

(8.22)

と計算すればよいのである。前に < x > の計算でわざわざxをψ^*とψの間に置いたのは、この式と同じ形になるようにである。－i

[∂/∂x]の方は微分演算子であるからどこにおいてもよいというわけにはいかない。

[問い8-1] －π < x < πで定義された波動関数がψ = [1/√{π}]sinxだったとする。この場合の を求めよ。

[問い8-2] 前問での の答えは、計算せずとも、sinx=[1/2i](e^ix－e^－ix) という形を見れば簡単にわかる。どのようにわかるのか？

　e^inxという関数は－i

[∂/∂x]をかけると

－i

∂

∂x

e^inx =

n e^inx

(8.23)

のように、

n×(元の関数)という形にもどる。つまりこの関数はpの固有関数であり、固有値は

nである⁶。

上では３種類の運動量を持つ状態の足し合わされた状態になっている波動関数を考えた。このような波動関数は固有関数ではない(一個一個の成分は固有関数)。波動関数が運動量の固有関数になっている(e^inx一項のみからなる)ということは、その波動関数で表されている量子力学的状態は運動量が一つの値(

n)に決まっていて、ゆらぎがないということである。

　この時、ψ^*ψを計算すると、xによらない定数となる。なぜならば、e^－inxe^inx=1 という計算からxが消えてしまうからである。つまり、このような波動関数は確率密度が定数、すなわち、「どこにいるんだかさっぱりわからない」ということである。運動量が確定すると位置が不確定になるという不確定性関係が、ここでも実現している。

　実際に存在する波動関数では、いろんな運動量を持った波動関数の重ね合わせになっており、運動量が一つの値に確定していない(それゆえ逆にxに関してはある程度は決まっている)。任意の関数がフーリエ変換によってe^ikxの和の形にかけるということはすなわち、任意の波動関数がいろんな運動量を持った波動関数の重ね合わせでかならず書けるということである。

8.4 演習問題

[演習問題8-1] ψ(x)=e^3ix+e^ixという波動関数(xの範囲は－π < x < π)を規格化した後、運動量の期待値を求めよ。

[演習問題8-2]

以下のように表される波動関数ψ(実数部しかない)を規格化した後、 < x > を求めよ。

[演習問題8-3] [演習問題7-3] で計算した波動関数

ψ(x)=sin(x)

ψ(x)=e^inx (nは整数)

ψ(x)

x ( for x ≥ 0)

ψ(x)

－x ( for x < 0)

(全て、xは－π < x < πの範囲とする)

それぞれの場合について < x > を計算してみよ。

[演習問題8-4] ∫ψ^*(x,t)ψ(x,t) dxの値は時間が経っても変化しない(確率の保存則)ことを、シュレーディンガー方程式とその複素共役から作られる式(7)を使って証明せよ。ただし、ψ(x,t)およびその微分は遠方では0になっているものとする。

[演習問題8-5] ∫_a^b ψ^*(x,t)ψ(x,t)dxのように、積分範囲を一部分(a < x < b) にすると、この量は一般に保存しない。なぜなら、x=aとx=bという端っこから、粒子が逃げ出して行く(あるいは外から粒子が入って来る)からである。この式を微分すると

∫

b

a

ψ^*(x,t)ψ(x,t)dx = [J(x,t) ]_a^b = J(a,t)－J(b,t)

のかたちに直すことができるが、この J(x,t)はすなわち、粒子の存在確率が正方向へどれくらい流れて行くかを表す量である。ψ(x,t)が(7) を満たしている場合について、J(x,t)を求めよ。

Footnotes:

¹正確に言うと「シュレーディンガー表示の量子力学では」なのだが、このテキストではシュレーディンガー表示以外（たとえば「ハイゼンベルク表示」）は扱わない。

²「表面項」とは、∫_a^b [df(x)/dx] dx=[f(x)]^b_a=f(a)－f(b)という形に書ける式のこと。x=aとx =bが積分の端っこ（＝表面）なのでこう呼ぶ。

³xの範囲を(－∞, ∞)にしても、ここで行ったようにe^ikxの重ね合わせで波動関数を表すことは可能である。ただその場合、∫ψ^*ψdx=1 にすることが難しくなる。これについてはまた後で述べる。

⁴「波数」という言葉は誤解を受けやすいが、単に「波の数」と思ってはいけない。正確な定義は「単位距離あたりの位相変化」ということになる。e^inxの場合、距離2πに対して2πn位相が変わる。

⁵今の場合最初から展開されている式(8.16)から始めたからわからないかもしれないが、一般の関数が出てきた時にそれを(8.16)の形に直すのは、楽にできるとは限らない。

⁶歴史的事情から、英語の本でも、これらの「固有」はドイツ語であるeigen(発音は仮名書きするとアイゲン) を使う。固有関数はeigen function、固有値はeigen value。

学生の感想・コメントから

古典力学のｘとｐを量子力学に対応させるには演算子の期待値を出さなくてはいけない・・・ところまではわかりましたが、計算は全然覚えられそうにありません。
　覚える必要はないでしょう。「こういう筋道で出せる」ということをちゃんと理解しましょう。細かい計算テクニックを覚えるより、まずは筋道。

　自分も絶対やってはいけない間違い（真ん中のｘを微分してdx/dt）をやってしまいそうです（複数）。
　あれはよくやります。でも、「自分がいったい何を計算しているのか」をよく考えて、慎重に。

　もし真ん中のｘを微分したら、０ですか。
　微分する必要まったくないのですが、それでもどうしても微分したいというなら、答は０です（時間によって変わらないのですから）。

　「期待値」という言葉は懐かしかった（多数）。
　こんなところで再会するとは思わなかったでしょう。でも確率しか計算できない量子力学ですから、期待値がいるのです。

　確率がまるで物理量であるかのごとく振る舞っているのは気味が悪い。
　そうですね。気持ちはよくわかります。でも、これが正しい現実なのです。

　古典力学は、量子力学の考えの中で最も確率が高いものの現れということですか？
　そうですね、その通りです。

　量子力学が古典力学を内包しているということがわかった。。。が、まだψ^*ψが確率を表すことに納得できない。
　何度も書いてますが、簡単に納得しなくていいです。考え方としては「なぜ量子力学は確率だらけなのに、我々の住んでいる古典力学世界はそうは見えないのだろう？」と考えてみてください。そこが納得できると、だいぶ感覚が変わってきます。

　長い式は苦手です。
　えー、大学３年になってこの式を「長い」と思っちゃダメ。

　フーリエ級数も身につけないと。。。。
　そうですね。いろいろ身につけて行かなくてはいけないことがあります。

　確率しか出てこないけど、期待値で計算すれば古典力学ともつながっていることがわかってよかった。
　そうですね。結局われわれが普段見ているのは、期待値だけの世界だと考えればいいのです。

　期待値の意味がよくわからない。
　わからないと思ったら、すぐ質問する。期待値わからないと、今日の授業がまるでわからなくなっちゃうでしょ。

　運動量の期待値って、なんか微妙な表現に聞こえます。運動量がどれくらいかという意味？
　量子力学ですから、運動量を測定すると、やっぱり確率的にゆらぎつつ、いろんな答が出るわけです。その平均的な値だと思いましょう。

　今日の計算はいろいろ工夫してあって、なるほどと思った。
　先人の知恵って奴ですね。

　(8.17)式で、複素共役な部分の積のみを計算していたのは直交しているからですか？
　その通りです。

　古典力学と量子力学がつながるとは、すごい。
　量子力学を作るとき、そうなるように注意して作ったからですよ。

ψ(x)=

√

2π

( F₁ e^ix+ F₂ e^2ix+F₃e^3ix)

とおいて計算してましたが、これは一般性のある式でしょうか？
　いいえ。一般的にやるためには、

ψ(x)=

√

2π

∞
∑
n=－∞

F_n e^inx

とやらなくてはダメです。でも無限和が出てくるとよけいややこしくなりそうだ、と思ったので３つぐらいで止めました。計算自体は無限級数になっていても、全く同様に実行できるので、自分でやってみてください。

　ｐ= -i

∂／∂xって、何を微分するの？
　後ろにあるもの全部です。たいていの場合は、ψがいます。

　補習いつですか？
　９／２５～２９です。３０日が追々試（ほんとは、今からそんなこと気にしないで欲しいんだけどな）。

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On 14 Jul 2006, 13:44.

初等量子力学2006年度講義録第12回

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第8章 物理量と期待値

8.1 座標の期待値

8.2 座標期待値の運動

8.3 運動量の期待値

8.4 演習問題

Footnotes:

学生の感想・コメントから

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第8章物理量と期待値