初等量子力学／量子力学2006年度講義録

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3.2 光子の運動量

光が粒子であると考えると、プランクが考えたような空洞の中では、光子がとびまわっていると解釈できる。分子でできた気体がそうであるように、光子にも圧力がある。光に圧力があることは電磁気学から理論的に導くことができるし、実験的にも確認されている。

気体に圧力があるのは分子が運動量を持つからである。したがって光子にも運動量があることになる。運動量は(質量)×(速度)のはず、と考えてしまうと「なんで光に運動量があるの？」と不思議だろう。しかし、そもそもの運動量の定義は運動方程式[dp/dt]=Fであると考えたらどうだろう。こう考えれば、「力あるところには運動量の増減あり」ということになる。「光が力を出すの？」と不思議に思う人もいるかもしれないが、光は電磁波、すなわち電場と磁場の波である。電場や磁場がクーロン力やローレンツ力という力を生み出すことを考えれば、光が力を出すことも当然である。２物体が力を及ぼし合う時、必ず一方の運動量は増加し、もう一方の運動量は減少する（だからこそ運動量は保存する）。力を及ぼすのが物体でなく電磁場（光）だったとしても同様の関係が成立して欲しい。そのためには「電磁場の運動量」を考える必要がある。

光の運動量を知るために、まず光すなわち電磁波の持っている力を考えよう。一般に、真空中に電場Eがある時、単位体積あたりにエネルギー¹/₂ε₀ E²が分布し、電場の方向には単位面積あたり¹/₂ε₀ E²の引っ張り力が、電場と垂直な方向には単位面積あたり¹/₂ε₀ E²の圧力が発生する²⁸。これは磁場についても同様である。ただし磁力に対しては式が¹/₂μ₀ H²に変わる。

[問い3-1] 極板間が真空である平行平板コンデンサー（面積S、極板間 d）に電荷Qがたまっている時、コンデンサーの持つエネルギーは¹/₂[d/(ε₀ S)]Q²であり、極板間に働く力は¹/₂[1/(ε₀ S)]Q²である。この二つの式が、上で述べた電場のエネルギーと引力で説明できることを示せ。

これをマックスウェルの応力と呼ぶ。この言葉にはなじみが薄い人が多いかもしれないが、実は電磁力の正体は全てこの力であると解釈できる。

　たとえば正電荷と負電荷の間に引力が働くのは、電気力線の引っ張り力のおかげである。逆に正電荷同士の間に斥力が働くのは、となりあう電気力線の反発による。磁場中の電流が力を受けるのは、電流の作る磁場によって導線の左右で磁力線の密度に差が生まれるからである（一番右の図の場合、導線の左側の磁束密度が大きくなるために右に押される）²⁹。

いま、ある方向に電場(電気力線)が走っているところを思い浮かべよう。この電気力線が６つの方向(±x,±y,±z)の及ぼす力のうち、2方向は引力、4方向は斥力である。今電磁波が壁のなかであっちへこっちへと飛び回っていると考えると、電気力線もいろんな方向に伸びるだろう。この時にある一つの方向に働く力を考えると、¹/₃の確率で引力、²/₃の確率で斥力となる。結局全体の平均をとれば¹/₃の斥力が残ると考えられる。つまり、圧力はエネルギー密度の¹/₃である。

この圧力は1892年にレベデフによってはじめて実験的に確かめられている。つまり、光（電磁波）の圧力がエネルギー密度の¹/₃であるということは実験事実である。このことから光子の運動量に関して何がわかるであろうか。

[10]l6cm Figure

以下では、箱にN個の粒子入れられて、それぞれE_iのエネルギーと→p_iの運動量を持って飛び回っていると考えた時、箱にはどの程度の力が働くかを計算しよう(i=1,2,…,Nのように、粒子に番号がふってあるものとする)。

→

p_iの運動量を持った粒子がx方向に垂直な壁にぶつかってはねかえるとする。その時、→p_iのx成分(p_ix)の２倍の力積を壁に与える。この粒子はx方向に2L走るごとにこの壁に衝突する。今考えているのは光なので速さはcであるが、x方向の速度成分はc×[(p_ix)/(|→p_i|)]となる。なぜなら、速度ベクトル(v_x,v_y,v_z) と運動量ベクトル(p_x,p_y,p_z)は平行であると考えられるからである。よって、v_x:c = p_x :|→p|が成立するだろう。

ゆえに、光子は単位時間の間に

c×

p_ix

→
p

÷2L = c×

p_ix

2L|

→
p

(3.2)

回だけ壁に衝突することになり、単位時間にあたえる力積(つまり力)は、これに１回の力積2p_ixをかけてc×[((p_ix)²)/(L|→p_i|)]となる。

　時間の関係で、ここから先の計算を思いっきり簡略した説明でやっちゃいました。元気のある人は以下をちゃんとフォローしておくように。

　N個の光子の出すこの力の和を計算したい。ここでまず、運動量の大きさ|→p_i| が等しい光子の集団を考え、その集団に関する和を取ることにしよう(このように運動量の大きさを制限しても、なおじゅうぶんたくさんの光子がいるものとする)。この範囲で和をとると、力は、

∑
|→p_i|=P

c×

(p_ix)²

→
p

∑
|→p_i|=P

c×(p_ix)²

(3.3)

となる。ただし、∑_{|→p_i|=P}は「運動量の大きさがPであるような光子を選んで和を取りなさい」という意味である。この範囲で和をとっているので、¹/_Pが和記号の外に出せる。

→
p

|² = (p_x)²+(p_y)²+(p_z)²

(3.4)

であるが、等方性³⁰から、充分たくさんの光子で和をとれば

∑
|→p_i|=P

(p_x,i)² =

∑
|→p_i|=P

(p_y,i)²=

∑
|→p_i|=P

(p_z,i)²

(3.5)

と考えてよいだろうから、

∑
|→p_i|=P

(p_ix)²=

∑
|→p_i|=P

→
p

|² =

∑
|→p_i|=P

P²

(3.6)

となる。よってこの範囲で力の和は[c/3L]∑_{|→p_i|=P}P となる。運動量の大きさPはいろんな値をとれるが、どの値でもこの式が成立するので、N個全体が壁に及ぼす力は

∑
i

→
p

(3.7)

となる。圧力はこれをL²で割ったものであり、その圧力がエネルギー密度の¹/₃すなわち、[1/(3L³)]∑_i E_iに等しいのだから、

3L³

∑
i

→
p

| =

3L³

∑
i

E_i

(3.8)

である。これから、c|→p_i| = E_iと考えられる。つまり、運動量の大きさ×cがエネルギーである。

以上から、光子一個の持つ運動量は[hν/c]=[h/λ]と考えていいだろう。このことが実験的に確認できれば、光子の存在は確かなものとなる。

3.3 コンプトン効果

　光の粒子性、特にその運動量が[h/λ]であることをもっと直接的に示す実験がある。この実験では電子にX線を照射し、はねかえってきたX線の波長を測定する。すると、X線の波長は少し長くなっている。この現象自体はコンプトンの1923年の実験以前に知られていた。コンプトンは入射X線の波長λとはねかえってくるX線の波長λ′、そしてX線が散乱される角度θの間に、

λ′－ λ = 0.024×10^－10(1 －cosθ) [m]

(3.9)

という関係があることを実験でしめした(この現象をコンプトン効果という)。この関係式が出てくるのは光が光子であり、エネルギーhν、運動量[h/λ] であるおかげであることを以下で示そう。

静止していた電子(質量m)に振動数νの光(実験ではＸ線)があたり、これが振動数ν′で、元の方向と角度θだけ違う角度に散乱されたとしよう。電子はこの時、この光と同一平面内で、最初の光の進行方向に対し角度φ、速さv(光速度cに比べ小さいとする)で飛び出すとする。

　運動量保存則をベクトル図で表わすと右の図のようになる。[h/λ]という運動量を持った光が電子に運動量mvを与えて自身の運動量が[h/λ′]に変化している。このベクトル図で表される関係が常に成立するということは、光が[h/λ]という運動量をもった一つの塊として電子にぶつかっていると考えなくては説明がつかない。

エネルギーhνを持った光が電子に運動エネルギー¹/₂mv²をあたえ、自身のエネルギーがhν′に減ったと考えれば、エネルギー保存則は

hν = hν′+

mv²

(3.10)

である。一方、運動量保存則をしめす三角形の図に対して余弦定理を使うと、

(mv)² =

(

)

(

λ′

)

－2

λ′

cosθ

(3.11)

という式が出る。この二つの式からvを消去する³¹。

　ここの系差b
(3.10)からv² = (hν－hν′)×²/_mとして(3.11)に代入し、

2m(hν－hν′) =

(

)

(

λ′

)

－2

λ′

cosθ

（振動数は(光速度)÷(波長)を使って）

2mhc

(

－

λ′

)

(

)

(

λ′

)

－2

λ′

cosθ

h²で割ってλλ′をかけて

2mc

(λ′－λ) =

λ′

－2cosθ

(3.12)

となる。２行目ではν = [c/λ],ν′=[c/λ′]を使った。ここで、実際にコンプトン効果で起こる波長の変化は小さいので、λ′=λ+∆λとすると、 [λ′/λ] = 1+[∆λ′/λ]であり、かつ、∆λの１次までで近似すれば、 [λ/λ′] = [1/(1+[∆λ/λ])] = 1－[∆λ/λ]+ ([∆λ/λ])² － …と展開できる。ゆえに([∆λ/λ])²以上のオーダーを無視すれば[λ′/λ]+[λ/λ′]=2となる。この式の右辺は2－2cosθと近似できることになる。まとめると、

2mc

( λ′－λ)

≅ 2－2cosθ

λ′－λ

≅

(1－cosθ)

(3.13)

という式が出る。この式はコンプトンによる実験式(2.9)と数値的にも一致する³²。

　コンプトン効果は光子と電子の衝突という物理現象として矛盾なく記述される。古典的に考えれば(運動量が[h/λ]という塊であることが古典的には出てこないので)この結果は説明できない³³。以上のようないろんなことから、光の粒子性は疑いのないものになったと言える。

　この式のどこに粒子性が出ているのか、いまいちわからないんですが。
　もし、古典的な電磁波がやってきて、電磁波のエネルギーをもらうんだとすると、連続的にやってくる電磁波の持ってくるエネルギーのうち、どれぐらいをもらうかは「時と場合による」ということになってしまいます。たくさん電磁波をかぶってから動く場合もあるだろうし、少しかぶっただけで飛び出す場合もあるかもしれない。
　しかし実験から得られた式は「ｈνという塊のエネルギーがやってきた」と解釈しないといけない。
　電磁波の一部を切り取ってこの部分のエネルギーだけをもらう、というふうに考えるとどんな大きさのエネルギーをもらうこともできそうだけど、それはできないのです。

　電子がいつもｈνだけエネルギーをもらってから動き出すとか、そういうふうに考えてはダメですか？
　面白い考えだけど、それだと、電子に「エネルギーをためるシステム」とか「エネルギーがｈνを超えたかどうかを判定するゲージ」とか（そのものでなくてもいいが、とにかくそういうメカニズム）がついてないといけませんが、電子にはそんな構造はないので、それは無理ですね。そんな無理矢理なことを考えるよりは、光が粒でやってくる方がずっと単純です。同じことを説明するなら、単純な考え方がいい、というのも物理の鉄則です。

3.4 粒子性と波動性の二重性

　この章では、光を粒子と考えなくては都合の悪いことを並べ立ててきた。しかし一方、光を波と考えなくては都合の悪いこともたくさんある(前に述べたヤングの実験などの干渉現象が代表的なもの)。このような性質を「光は粒子性と波動性を持つ」あるいは「粒子とはどうの二重性を持つ」と言う。言うのはやさしいが、この二重性の意味するところは何なのか。

　アインシュタインは光子がたくさん存在して光子と光子が相互作用することで干渉縞が発生するというモデルを考えて波動性と粒子性を両立させることを考えたが、1909年にテイラーが非常に弱い光³⁴でヤングの実験を行って、光子が１度に１個しかこないような状態でも干渉縞が出現することを実験で示したので、この考え方は成立しない。

　当時の物理学者ボルンは「月・水・金は光を波動であると考え、火・木・土は光を粒子と考える」などとふざけているが、量子力学が完全に確立されるまでの間は「ある時は粒子と考え、ある時は波動と考える」というよく言えば臨機応変、悪く言えばその場しのぎの方法がとられてきた。問題はどんな「ある時」に波動性があらわれ、どんな「ある時」には粒子性があらわれるかである。それがわからないとちゃんとした物理にならない。この問題に対する一つの答が「量子力学の確率解釈³⁵」と呼ばれるものである。

　しかし、その解決の前に、もっと学ぶべきことがある。この章では「波動だと思っていた光には粒子性がある」ということを学んだが、この逆、すなわち「粒子だと思っていた物質(電子など)にも波動性がある」ということを知らねばならない。これが次章のテーマである。

　ここまで、1900年のプランクの発見から1923年のコンプトン効果の実験まで、「光の粒子性」の発見について述べてきた。「光の粒子性」の発見と「物質の波動性」の発見は同時に進行したので、次の章ではボーアが原子模型を発表した1913年まで、いったん時代を戻すことにする。

3.5 演習問題（既に載せたものを除く）

[演習問題3-2] この章でやったのとは別の計算で光の圧力がエネルギー密度の¹/₃であることを計算してみよう。

今一辺Lの立方体の箱の中に光子が入れられているとする。このうち一個の光子に着目し、波だと考えた時のx,y,z方向の波数を[(n_xπ)/L],[(n_yπ)/L],[(n_zπ) /L]とする。箱のx方向の長さをゆっくりとL+∆L(∆Lは微小)まで伸ばす。この時、中に入っている波のn_x,n_y,n_zが変化しなかったとする(箱が延びるにしたがって波長も延びたことになる)。この時光子のエネルギーの減少を計算し、その減少分は光子が箱の壁を押す仕事に等しいと考えることで、光子が壁におよぼしていた力を求めよ。光子がたくさんいろんな方向に動き回っていたと考えて平均をとって、圧力がエネルギー密度の¹/₃であることを示せ。

[演習問題3-3] 通常の物質であればp=mv,E=¹/₂mv²である。気体を箱につめた場合、圧力とエネルギー密度の関係はどうなるか？

光子の場合とどこが変わってくるかを注意しつつ計算してみよ。

[演習問題3-4] コンプトン効果について、このような質問をした人がいたとする。

「電磁波が電子にあたると電子が飛んでいくそうですが、電子はマイナス電気を持っていますね。じゃあ、プラス電気を持っている場合に比べて、逆向きにとばされるんでしょうか？」

実際には、プラスの電気を持っていようがマイナスの電気を持っていようが、電磁波の進行方向へとばされる。電子に働く力がどのようなものかを考えて、その理由を説明せよ。

(hint:電磁波の電場によって動かされると考えると、電磁波の進行方向と直角の方向に動く。しかし、電場は振動しているので、この力によって電子は振動するだけで一定方向には動かない。ここで、「電子が振動する」ということと「電磁波には磁場もある」ということを考えに入れれば、進行方向に働く力の正体がわかる)

[演習問題3-5]

　小球と小球の衝突の場合で運動エネルギーと運動量の保存則を式にしてみよう。

静止した質量mの小球にもう一つの小球(質量は同じくmとする)がぶつかったとすると、左の図のようになる。

この場合についてエネルギー保存則を式で表せ。
運動量保存則を数式とベクトル図の両方を使って表せ。
衝突後の二つの小球の運動方向が垂直であることをベクトル図を使って説明せよ。

[演習問題3-6] 光を波動と見れば、コンプトン効果による振動数変化をドップラー効果と考えることができる。3.3節であつかった現象を、「静止している電子に振動数νの光があたり、電子はそのエネルギーを吸収したのち、速さvで動きながら振動数νの光を出した」という現象だと解釈して、この光を外部から観測した場合の振動数ν′を求める式を作れ。

[演習問題3-7] 3.3節の三角形の図(つまり運動量保存則)とエネルギー保存則の中に、古典的なドップラー効果の式(演習問題3-5の答)が含まれていることを示せ。つまり、運動量保存則とエネルギー保存則から演習問題3.5の答を導け(v²はc²に比べて小さいとする近似を使え)。

ヒント：ドップラー効果の式に含まれる角度を使う余弦定理の式をまず作る。

ヒントその２：ドップラー効果の式にはmが含まれていないから、これを消去する。

[演習問題3-8] 3.4節で述べたテイラーの実験では、１秒あたり5×10^－13J のエネルギーを持つ可視光が使われた。使われた光の振動数が5×10¹⁴Hzだったとして、光子は１秒に何個やってくるか。今来た光子と次に来る光子の間隔は何メートルか。

Footnotes:

²⁸３つとも同じ式であるが、単位体積あたりのエネルギー、単位面積あたりの引力、単位面積あたりの斥力、と物理的内容は違う。

²⁹この力の性質は「電気力線（磁力線）はなるべく短くなろうとする。またとなりあう２本は互いに離れようとする」とまとめることができる。そうなる理由は結局「エネルギーを下げる方向に力が働く」ということで理解できる。電気力線が短い方が、あるいはより拡散した方がエネルギーが小さくなるのである。

³⁰x,y,zのそれぞれの方向はまったく同等で、特別な方向はない、ということ。つまり、「x方向にはびゅんびゅん走っているが、y方向にはゆっくり動いている」などという不平等なことは起きないとする。

³¹なぜvを消去するかというと、コンプトンの実験においては電子の速度は測定していないので、vの入った式は実験と比較できなかったのである。もちろん、後の実験では電子の速度もちゃんと測定され、上の計算との一致も確認されている。

³²なお、ここで出てきた[h/mc]という量を「質量mの粒子のコンプトン波長」と呼ぶ。後で説明するが、これは質量mの粒子が波として存在する時に必然的に持つ広がりの大きさである。

³³なお、波長が変化すること自体はドップラー効果でも説明可能である(演習問題参照)。しかしその変化量が(9)を満たすことを説明するには、どうしても「光子一粒の運動量／エネルギー」を考えなくてはいけない。

³⁴この実験では、写真乾板に像が得られるまで２ヶ月かかったと言う。

³⁵確率解釈以外にも「多世界解釈」などのいろんな解釈があるが、主流となっているのは確率解釈である。

学生の感想・コメントから

　コンプトンの実験で、電子はどうやって止めておいたんでしょうか？（多数）
　鋭いな。実は「止めておいた」というのは嘘です。「止まっている電子に」と強調しすぎましたね。実際には、物質にX線ぶつけて中の電子を叩き出します。物質中の電子は動き回ってますが、X線のエネルギーは物質中の電子の持つエネルギーの１万倍以上あるので、最初の電子がちょっとぐらい運動していても、それは誤差のうちということです。

　散乱されたX線の波長はどうやって測るんですか？
　いい質問です。X線が入ってくると蛍光を発する物質を置いておいて、その蛍光の強さからX線のエネルギーを見積もることができます。シンチレーションカウンターと言います。波長自体を物差しで測ったりなんてことは、もちろんできません。

　光子が完全弾性衝突すると考えていましたが、溶鉱炉内部などの問題でもそうやっていいんでしょうか？
　溶鉱炉などの場合、壁自体が動いていて、光子との間にエネルギーのやりとりがあります。ですが、熱平衡状態（温度が一定でとどまっている状態）ならば、エネルギーのやりとりは平均して０なので、完全弾性衝突しているとして計算してもよい結果が出ます。厳密に考えるには、統計力学の計算方法を使ってやります。

　光が波だとすると、どれだけの波をかぶってから出るかでエネルギーが違うという話だが、波の先端が当たった瞬間に飛んでいったら、いつも同じエネルギーになるのでは？？
　波だと考えた時、いつも同じ形の波が来るのならそうですが、実際には時と場合によって違う形の波がくると思った方がいいと思います。

　光は波なんだか粒子なんだか、ますますわからない。もう月水金は波、火木土は粒子でいいです。(似たような感想多数）
　うーん、とりあえずはその状態でいいです(^_^;)。

　アインシュタインは何を根拠に光を粒子だと言ったんですか？
　プランクの式と、気体分子の場合の式を比較して、光が粒だと考えた方が理解しやすい、ということに気づいたようです。そのうえで、光電効果の話を聞いて「粒子だと考えよう」と思いついたのではないでしょうか。

　古典力学と電磁気学の大切さを実感した。
　当然です。物理の基本です。

　ありえない話ですが、空間に電荷が（＋と－）一個ずつしかなかったら、斥力は働かないのですか？
　うーん、その状況だと、斥力が働く相手がいませんね(^_^;)。

　光はどんな時に粒子性をあらわし、どんな時に波動性をあらわすのか、早く知りたい（同様多数）。
　うーん、なかなか難しいですね。ちゃんとみんなに納得してもらえるかどうか、不安になってきた。

　運動量の定義は質量×速度じゃなかったんですね（多数）。
　最初はそうだったんですが、物体以外にも拡張して考えていくと、その定義からはずれたものも運動量になるのです。

　光子が電子に衝突してエネルギーを与えるということは、当たった瞬間に光子の振動数が低くなる？
　どちらかというと、光子が電子に吸収され、もう一度(振動数が小さくなって）再放出されると考えた方がいいでしょう。

　アインシュタインすごい。当時は光を粒子だと考える人はこの人だけだったんでしょうか？　ノーベル賞独り占めですか？
　かなり長い間一人だけだったみたいです。ほとんどの人は「そんなばかな」「あくまで仮説」という態度でした。
　ノーベル賞に関しては、プランクもコンプトンもみんなもらっているから、独り占めではないですね。

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On 12 May 2006, 14:27.

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3.2 光子の運動量

3.3 コンプトン効果

3.4 粒子性と波動性の二重性

3.5 演習問題（既に載せたものを除く）

Footnotes:

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