初等量子力学2006年度講義録第３回

←第2回へ　 目次に戻る　 第4回へ→

　まず、前回の復習として、箱の中の１次元振動のJavaアプレットの改良版を見せながら前回の話の後半をもう一度説明。

2.3 等分配の法則の破れの原因-光のエネルギーの不連続性

　では、等分配の法則が高い振動数の領域で崩れてしまう理由は何だろうか？-プランクはこの理由を以下のように考えた。

　今考えているのは熱的平衡状態なので、「電磁波↔ 壁」のエネルギーのやりとりがある。この時電磁波が吸ったり吐いたりするエネルギーはどんな値をとってもよいのではなく、hν(νは振動数)の定数倍に限るとする。すると振動数が大きい光は、やりとりするエネルギーの塊の単位が大きいということになる。等分配の法則はエネルギーをkTずつ分配しようとするが、kT < hνとなっていると、エネルギーが分配されにくい。その分高い振動数の光に与えられるエネルギーが少なくなってしまう。

　高い振動数の光は「大きな塊(hν)のエネルギーをよこせ」と要求するが、そのエネルギーが等分配の法則によって分配されるエネルギー(kT)より大きいので、それだけの分け前にあずかることができないのである。これに対して低い振動数の光はエネルギーの単位hνが小さいので、この単位でkT÷hν個分のエネルギーを受け取ることができる。

　たとえて言えば、高い振動数成分の光は「5000円あげよう」と言われたのに「万札でよこせ」と言っているようなものである。これでは1円ももらえない。低い振動数の光は「100円玉でください」と言うので、50枚の100円玉をもらうことができる。よって、低い振動数では等分配の法則が成立する。結局、「強欲すぎるとかえって分け前は小さい」ということである。念のため再確認しておくが、実際の光の振動モード一個一個がちょうどkTのエネルギーを持っているというのではなく、これより多いものもこれより少ないものもいるのだが、平均をとるとこうなるのである。だからhν > kTであっても、分け前0になるわけではない。

　じゃあ温度が高くなると青くなるのはなぜですか？
　温度が高くなると、回りが光に与えようとするエネルギーが大きくなるのです。お金のたとえで言うと、万札をたくさん配ってくれるようになる。そうすると今度は人数が多い（自由度が大きい）光の方にトータルのエネルギーがたくさんいくようになることになり、青くなります。

　ここでよく誤解されているので、一つ注意しておく。プランクは1900年の時点では「光のエネルギーがhνの整数倍」と考えてはいない。「光が他の物体とエネルギーをやりとりする時、hνを単位として行う」とだけ考えていたのである。後に1905年のアインシュタインの光量子仮説によって、明確に光のエネルギーはhνの整数倍だと考えられるようになる。とはいっても、他の物理学者たちがこのことを認めるには長い時間がかかっていて、プランクですら最初アインシュタインの光量子仮説を正当な仮説とは考えず、「真空のことはマックスウェル方程式で記述できるはずだ」と言って光量子を考えることを拒否している。光が粒子であると多くの物理学者が認めるようになるのは、アインシュタインの光量子仮説(1905年)から20年以上たってからである。

　実際にやりとりされる光のエネルギーがhνの整数倍であるという条件のもとにスペクトルを計算するには統計力学の知識が必要となる。

【補足】この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。

　ここで統計力学の公式を使ってプランクの黒体輻射の公式を導いておこう。統計力学を知らない人が大半だと思うのであくまで補足として書いておく。できれば統計力学を勉強した後でまたここを読み返して欲しい。統計力学は量子力学と並ぶ現代物理の柱と言ってよい重要な学問だが、この二つの柱が互いに補い合いながら発展したことを実感してもらいたいと思う。

　統計力学のカノニカル分布²⁰では、系のエネルギーがEである状態は確率N e^－[E/kT]で実現すると考える。ここでNは規格化定数というもので、全確率を計算したら1になるように決められる。上で計算したように単位振動数当たり、単位体積あたりのモードの数は[8π/(c³)]ν²であった。その各自由度が、Ne^－[E/kT]の確率でEのエネルギーを持つ。これでエネルギーに「正の実数である」という以外には何の制限もないのなら、

⌠
⌡

∞

0






8π

c³

ν²

モードの数

モード一個の持つエネルギー

N e^－[E/kT]

それだけのエネルギーを持つ確率






(2.6)

のようにして全てのエネルギーで積分することで、空洞内の全エネルギーの期待値を計算できるだろう。ところが今、エネルギーはE=n hνのようにとびとびの値しか取らないので、

∞
∑
n=0






8π

c³

ν²

モードの数

n hν

モード一個の持つエネルギー

N e^{－n [hν/kT]}

それだけのエネルギーを持つ確率






(2.7)

のように、積分ではなく級数となる。

　上の式からnに関連する部分だけ抜き出すと、 ∑_n=0^∞ n e^－nα である。ただし、α = [hν/kT]とした。等比級数の和の公式∑_n=0^∞ e^－nα = [1/(1－e^－α)]をαで微分すると、

∞
∑
n=0

n e^－nα=

e^－α

(1－e^－α)²

(2.8)

という公式ができるので、これを使うと、単位体積あたり単位振動数あたりのエネルギーは

8π

c³

hν³ N ×

e^－[hν/kT]

(1－e^－[hν/kT])²

(2.9)

となる。あと計算すべきは規格化定数Nだが、全確率が1であることから、

∞
∑
n=0

N e^－nα = N

1－e^－α

(2.10)

であるので、N=1－e^－[hν/kT]となり、最終結果はこの次の式となる。

【補足終わり】

　以上の計算により、単位体積あたり、単位振動数あたりのエネルギー密度が

8πhν³

c³

e^[hν/kT]－1

(2.11)

になる。分母のe^[hν/kT]のおかげで、νが大きくなると分母が急激に大きくなり、エネルギー密度が下がる式になっていることがわかる。これが「高い振動数の光が欲張りなために分配が減る」という効果の顕れである²¹。

　光がやりとりするエネルギーがhνの整数倍であるという仮定は非常に奇妙で、この時点ではなぜこうなるのかよくわからなかったわけだが、この式は実験で得られた値とぴったり一致した。

　空洞輻射と同じように、エネルギーの分配が等分配則を満たさない例としては、低温での比熱の問題がある。たとえば上で述べた「２原子分子であれば分子一個あたりのエネルギーは⁵/₂kT」という議論は、温度が低くなるとくずれてしまう。固体の比熱でも同様のことが起こる。低温では、分子の回転運動のエネルギーの平均がkTよりも小さくなってしまっているようなのである。これは光だけではなく、物質にも「エネルギーの単位」があることの証拠である。回転運動の方がエネルギーの単位が大きいために、低温では等分配の法則が崩れて、回転運動にエネルギーが分配されにくくなる。

2.4 演習問題

演習問題は、前回すでに載せた。

第3章光の粒子性の確認-光電効果とコンプトン効果

　プランクが光がhνを単位としてエネルギーをやりとりしていると指摘したからと言って、即座に「光は粒子だ」という認識に至ったわけではない²⁴。光の粒子性が確認されるまでには、他にいくつもの実験、そして理論的研究が必要だったのである。この章では「光が粒子である」という認識が確立されるに至るまでを述べる。

3.1 光電効果

　黒体輻射は光のエネルギーが離散的であることを間接的に示しているが、より直接的に光の粒子性を証明する実験が光電効果である。光電効果はヘルツによって 1887年に発見された。ヘルツは光が放電現象を引き起こすことを見つけたのだが、1899年にはトムソンにより、金属に光をあてることによって金属中から電子が飛び出したのだということが確認された。金属中には「自由電子」がたくさんいるのだから、飛び出してくること自体は別に不思議なことではない。不思議なことには、1902年にレナルトが発見した、「飛び出してくる電子のエネルギーは光の強さとは無関係である」という事実である。また、ある一定の振動数より低い振動数の光ではこの効果が起きないこともわかっていた。

　光電効果を「光の電場によって、金属内の自由電子がゆらされ、その結果外に飛び出す」と考えると、振動数が低くても振幅（光の「振幅」とは電場または磁場の強さで表される）が大きければ飛び出してもよいと思われるし、逆に振動数が高くても振幅が小さければ飛び出さないだろうと考えたくなる。また、大きな振幅（強い電場）で叩き出された電子はより大きい運動エネルギーを持って（速い速度で）出てくるだろうと予想したくなる。しかし現実はそうではなく、飛び出すか飛び出さないかは振動数だけで決まるし、出てきた電子のエネルギーは振幅によっていない。

光電効果という現象において大事なことは、光を波と考えた場合と粒子と考えた場合で、そのエネルギーが金属に与えられるときに連続的に与えられるのか、不連続な塊で与えられるのかという大きな違いがある、ということである。

　１キログラムの砂が頭上からさらさら降ってくる分には怖くないが、１キロの鉄の塊ならかなり怖い。エネルギーが塊で来るということはそういう違いがある。

具体的な計算は章末の問題を解いてもらいたいが、光のエネルギーが金属全部に広がった波の形でやってくるとすると、ある程度の時間がたった後でなければ電子は飛び出さない。しかし実験は、ただちに電子が飛び出すという結果をみせている。光を波だと(連続的に広がった状態で金属にやってくるものだと)考えるならば、金属の中に、(どんなものなのか想像もつかないが)「広がってやってきた光のエネルギーをかきあつめて電子一個に与えるメカニズム」があることになる。もちろんそんなものはなく、光電効果は、光が「光子」というエネルギーの塊として降ってきていることを示しているのである²⁵。

　電子も光子も大きさがないということですが、どうやってぶつかれるんですか？？
　うーん、これも量子力学というものの不思議なところが出てますが、波としてやってきた光と、金属内で波になっている電子が出会うんですが、出会った瞬間、どっちも粒子としての本性を現すということになります。
　電子も光子も、粒子としては点なんですが、どちらも波の性質も持っている、ということです。なんで両方の性質が出てくるのか、という点についてはもう少し説明をしてから考えてください。

　一個の電子に、光子が２個ぶつかったら、振動数小さくても外に出れたりしませんか？
　それはよくある質問ですが、その確率が小さい。一個の電子が一個の光子を吸収する確率も小さいんだけど、１個の電子に光子が２個も、それも短い時間の間にあたる確率は、その小さい確率の自乗になってしまうからです。だから、そんなことが起こることはあまり期待できないのです。

　アインシュタインはこのような現象は、光が「光量子」(light quantum)という粒で出来ていると考えれば説明できる、という「光量子仮説」をとなえた(1905年)。アインシュタインは「プランクが考えた光のエネルギーの単位hνは光量子一個分のエネルギーである。電子は一個の光量子に衝突されてそのエネルギーを吸収し、外に出てくるのだ」と考えたのである。こうすると確かに、光が強いということは光量子が多いということであるから、電子一個のエネルギーは変化せず、出てくる電子の数が増えることになる。アインシュタインは電子が金属外に出るときにW(仕事関数と呼ぶ)だけエネルギーを消費すると考えると、金属から出てきた時に電子の持っているエネルギーは

E=hν－W

(3.1)

で表されると結論した。もし、hν < Wであれば電子は外に出てくることができない²⁶。

しかしこの時点では飛び出してきた電子のエネルギーを正確にはかることはできていなかった。1916年にミリカンがこの式を実験的に確認し、光量子仮説の正しさを実証することになる²⁷。

　光電効果(後であげるコンプトン効果も)の意義は、光が実際に粒子的形態を取っている(ことがある)ということを示したことにある。プランクが「光のエネルギーはhνの整数倍で変化する」と言った時点では、まだそこまでの主張はされていない。実際、1905年に出たアインシュタインの論文に関しては、多くの批判がされている(光量子など使わなくても古典的に説明できるのではないかと四苦八苦しているのである)。当時の物理学者にとっては「光のエネルギーが不連続である」という主張以上に「光は粒子である」という主張は衝撃的であったことがわかる。

　ここで、光電効果の実験（去年、世界物理年の公開講座でやった実験のと同じもの）をやってみせた。

3.5 演習問題(関連する問題のみ)

[演習問題3-1] 光が波のように連続的であると仮定して100Wの電球から5メートルの位置にある金属の原子が電子を飛び出させるだけのエネルギーをため込むのにどれだけの時間がかかるかを計算せよ。ただし、100W の電球は文字通り、1s間に100Jのエネルギーをすべて光の形で放出するとし、そのエネルギーは等方的に広がるとせよ。金属の原子の半径を10^－10m として受け取るエネルギーがどれくらいになるかを考えればよい。なお、電子は5×10^－19J程度のエネルギーをもらって飛び出すとせよ。

Footnotes:

²⁰等温の熱浴にひたされている系で確率を計算する時に使われる方法。熱浴にひたされているのでエネルギーは一定ではないが、エネルギーが高い状態の存在確率は低くなる。それが式e^－[E/kT] に現れている。

²¹補足部分を見るとわかるように、[1/(e^[hν/kT]－1)]という因子が現れる理由は等比級数の和をとったからである。すなわち、光のエネルギーが離散的であることが効いているのである。

²⁴アインシュタインが光量子仮説を唱えた1905年の時点では、プランク本人を含めてほとんどの物理学者は光自体は連続的なものだという考えを変えておらず、エネルギーが不連続になることの重要性に気づいていない。自然に対する認識を変化させるには時間がかかるものである。

²⁵光の粒子は最初の頃は「光量子(light quantum)」と呼ばれたが、現在ではもっと短く、「光子(photon)」と呼ばれている。

²⁶その場合、電子は加速するものの金属内にとどまる。最終的にはそのエネルギーは熱になるだろう。

²⁷のではあるが、そのミリカンですら「光量子仮説は筋が通らないように思える」という言葉を残している！-「光は粒子だ」と認めることがどれほど難しかったのがわかるエピソードである。

学生の感想・コメントから

　光が粒であって波だというのは不思議だ。
　何度も同じこと言っているような気がしますが、不思議だがほんとうなのです。

　最後の実験は面白かった／わかりやすかった（多数）。
　眼に見える形で見せると皆さん納得してくれますね(^_^;)。

　light quantumを「光量子」と訳すみたいに、外国で出来た新しい物理用語って誰が訳すんですか？
　特に決まってないみたいで、最初に紹介した人の訳が定着するような感じですね。最近は「クォーク」とか「ニュートリノ」とか、もう新しい言葉作らずにそのままカタカナにすることも多いみたいです。

　光のエネルギーが一つ二つと数えられるというのはびっくりしたが、光電効果は光を粒子と考えると納得です。
　いろんな実験を注意深くみていくと、思いもかけぬ真実が見えてきたりするものです。だから物理は面白い。

　水虫治療器具で、足の裏も焼けますか？
（註：最後に行った光電効果の実験の紫外線ランプは、水虫治療器として販売されているもの）
　やってみたことないですが、焼けるかもしれません。

　金属に光を当て続けたら、金属中の電子は全部出て行くんですか？
　行きません。なぜなら、ちょっとでも電子が出て行くと、金属がプラスに帯電します。プラスの電気はマイナスの電子を引きつけるので、電子が出て行っても引き戻されてしまうのです。

　光子は金属内部まで浸透するものなのですか？
　説明する時の図では大げさに書きましたが、実際には、表面の薄い部分までしか入りません。

　先生は、まだわからなくてもあせることはないとおっしゃってますが、単位のことを考えると不安です。
　量子力学の中には、誰もわからないようなこともあります。そういうのはどうせテストにも出ません（問題出す私が答知りませんから(^_^;)）。ちゃんとわかる部分がわかれば単位はとれます。

　光が波だとして、左右から同じ光が山谷逆転でやってきて打ち消し会ったら、部屋は暗くなりますか？
　その状況を作ったとしたら、暗くなる場所はあります。ところが、そこから４分の１波長離れたところでは、山と山、谷と谷がぶつかりあってむしろ明るくなります。光の波長はとても短いので、「ここが暗くなった」とはわからないでしょう。
　TVやラジオの電波は波長が長いので、ビルなどで反射すると、特定の場所だけ電波が弱まる、というようなこともあると思います。

　時間がたつと、低い振動数の光でもエネルギーがたまって光電効果が起きることはない？？
　もしエネルギーがたまれば、金属の温度があがって、その熱エネルギーで電子が外に飛び出します（これは熱電子と言います）。
　ところが、普通に光当てているだけだと、電子が出始める前に熱が外に逃げてしまいます。

　宿題提出遅れることもあると思います。先生は、宿題を出すことに意義を持って、多少の遅れはおおめに見てくれますよね？
　多少遅れても出してくれればいいです。試験前に半年分まとめて持ってこられるとさすがに困りますが。

　プランクさんが光は粒子だと考えてなかったのも驚きました。あれだけ有名な式を出したのに、本人はこれだけ重要だってこと気づいてなかったのですね。
　今となっては不思議に感じますが、当時の感覚としては「光が粒子だって、そんなばかな！」という雰囲気だったのでしょう。空気や水が分子
でできていることも、やっと認められるようになったぐらいの時期です。

　ヤングの実験で、光子一個で干渉を起こしたとしたら、スリット幅をどこまで離したら単スリットと同じようなふるまいをするんですか？　光の広がり方と何か関係があるんですか？
　それはもちろん、光子としての光が、波としてどれだけ広がっているかに関係します。どれだけ広がるかは、ケース・バイ・ケースというやつで、状況によって変わります。

←第2回へ　 目次に戻る　 第4回へ→

File translated from T_EX by T_THgold, version 3.63.
On 28 Apr 2006, 12:13.

初等量子力学2006年度講義録第３回

←第2回へ 目次に戻る 第4回へ→

2.3 等分配の法則の破れの原因-光のエネルギーの不連続性

2.4 演習問題

第3章 光の粒子性の確認-光電効果とコンプトン効果

3.1 光電効果

3.5 演習問題(関連する問題のみ)

Footnotes:

学生の感想・コメントから

←第2回へ 目次に戻る 第4回へ→

←第2回へ　目次に戻る　第4回へ→

第3章光の粒子性の確認-光電効果とコンプトン効果

←第2回へ　目次に戻る　第4回へ→