相対論講義録2005年第10回

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第７章　ローレンツ変換と物理現象

7.1  速度の合成則

速度の合成
　ローレンツ変換(6.9),(6.10)で結ばれた二つの座標系(x,ct)座標と(x′,ct′)座標を考える。x′座標系の原点はx座標系で見ると速度vで運動している。(x′,ct′)座標系で速度uを持っている物体の速度は、(x,t)座標系ではいくらに見えるだろうか。つまり「速度vで動く電車の中で速度uで走る人は、外から見るといくらの速度に見えるか」という問題を考えよう。ガリレイ変換的"常識"ではこれはu+vとなる。
(x′,ct′)座標系で見て速度uで動く物体の軌跡は、x′=ut′で表される。この式を(x,ct)座標系で表せば、x=Vtだったとする。座標変換してみると、

x′=
ut′
γ(x−vt)=
uγ(t− v
c2
 x)
x−vt=
ut− uv
c2
 x
x+ uv
c2
 x =
ut+vt
x=

 u+v
1+ uv
c2
 t

(7.1)
となる。つまり、(x,ct)座標系でのこの物体の速度Vは
V= u+v
1+ uv
c2
(7.2)
に見える。
　ここで注意すべきことは、u < c,v < cならば
u+v
1+ uv
c2
もcより小さくなるということである。
　
[問い7-1] 証明せよ。



　つまり、光速以下の速度をいかに足し算していっても、光速度cを超えることはない。

一例をあげれば、u=0.5c,v=0.5cだと、
V= 0.5c+0.5c
1+ 0.25c2
c2
=0.8c
である。

　後で述べるが、光速度を超えないということは相対論的因果律が満たされるために重要である。

　光ってどうしてそんなに速いんですか？
　うーん、難しい質問だ。いろんな答え方ができそうだ。
　まず一つ言っておくと、光ってあんまり速くありません。日常的感覚からすると速いけど、宇宙的距 離からするとものすごく遅い。だって太陽から地球まで８分１９秒もかかってしまう。たとえば他の恒星に行くロケットを作ろう、なんて考えると、光の速さの ロケットでも、ものすご〜く遅く感じる。
　光が速いというか、光速で走るのは質量がないからです。なぜ質量がないと光速なのかは、後で話すと思うけど。
　あとこれももう少し後でしゃべるけど、３次元的にみたらいろんな速度で走っているように思える物質粒子（電子とか陽子とか）は４次元的にみるとみんな光速で走ってます。
　ちょっと悪乗りして難しいことを言うと、実は今ある素粒子のほとんどは、もともと質量がなくって光速で走っていたんだけど、電子や陽子は今の宇宙では空 間にひっかかりながら進むから、光速より遅くでしか進めなくなってます。だから光が速いというよりは、物質粒子が遅くなっていることの方に理由がある。
　ひっかかるって何に？？
　ヒッグス粒子って言うんですが。この話はさすがに難しいのでお話だけで勘弁して。
　光って粒子なのに、質量がないんですか？
　質量の定義についても後で述べるけど、相対論における質量の定義は、エネルギーをE、運動量をpとして、E2 - p2c2=m2c4です。ということは、E=pcが成立していれば、m=0になる。光はちょうどこうなっているから質量０なんです。量子力学で光子の場合、E=hνでp=hν/cだったことを思い出してください。
　「粒子なのに質量がない？」ということを疑問に思う人が多いけど、それはたぶん、「m=0になるとE=0になる」と勘違いしているんじゃないかな。実際にはEやpが０にならなくてもm=0になれるわけです。
　

　なお、上の計算は二つの速度がどちらもx方向を向いている時の計算であるが、たとえばx′系での速度が(ux,uy,uz)であるような時は、y′=uy t′という式が成立しているので、

y′=
uy t′
y=
uy γ( t− v
c2
 x)
y =
uy γ( t− v
c2
ux+v
1+ uxv
c2
 t) =uy γ(
 1− v
c2
ux+v
1+ uxv
c2
) t
y =
uy γ(
1+ uxv
c2
 − uxv
c2
 − v2
c2
1+ uxv
c2
) t = uy 1

sqrt(1-v^2/c^2)
(
1− v2
c2
1+ uxv
c2
) t = uy

sqrt(1-v^2/c^2)
1+ uxv
c2
 t

(7.3)
となり、y方向の速度はuy [sqrt(1-v^2/c^2)/(1+[(uxv)/(c2)])]ということがわかる。z方向も同様に、uz [sqrt(1-v^2/c^2)/(1+[(uxv)/(c2)])]とわかる。y,z座標は変化しないが、時間座標が変化しているので、y,z方向の速度が変化する。これもガリレイ変換の場合とは大きく違う。

7.2  フィゾーの実験の解釈

4.5節で、フィゾーによる「エーテルの引き摺り」実験を紹介した。屈折率nの媒質が速さvで運動している場合、その媒質中の光速（媒質が運動していなければc/n）が

c
n
 +( 1− 1
n2
) v
(7.4)
に変化するということであった。これを媒質中のエーテルは媒質の1−[1/(n2)]の速度で動いていると考えるとすると、たいへんおかしなことになる。nは振動数によって違うから、各々の振動数ごとに違う速度でエーテルが動いていることになってしまうのである。
相対論的な考え方では、この問題がどのように解決するかを見ておこう。まず、媒質と一緒に運動する座標系で考えると、この光の速度はc/nである（念のため注意。この座標系でも、真空中の光の速度はcのままである）。ではこの速度を、媒質が運動している座標系で見るとどう見えるだろうか？-上の公式(7.2)を、vが小さいと近似して展開すると、

u+v
1+ uv
c2
 =(u+v)×( 1− uv
c2
 +…) =u+v− u2 v
c2
 +… = u+( 1− u2
c2
) v+…
(7.5)
となる25。今考えている場合はu=c/nなので、この式は

c
n
 +(
 1− 1
n2
) v
(7.6)
となり、フィゾーの実験結果と近似の範囲内で一致する。この計算では「エーテルの運動」などというものを考える必要は全くなく、「媒質の静止系では光速はc/nだ。他の座標系でどうなるか知りたければ、単にローレンツ変換すればよい（速度の合成則を使って計算すればよい）」ということになる。振動数ごとに違う速度で走るエーテルなどという不自然なものは必要ない。

7.3  相対論的因果律

　因果律とは「原因は結果に先行する」という原則であり、物理のというより、何らかの現象を考えるすべての学問において鉄則と言ってよいだろう。ガリレイ変換的な世界における因果律は
t原因 < t結果
と表すことができる。t原因は原因となる事象が起こる時刻で、t結果は結果となる事象が起こる時刻である。相対論的に考える時は、条件がもっときつくなる。なぜなら、同時の相対性のおかげで、「ある座標系では t原因 < t結果だが、別の座標系ではt′原因 > t′結果」ということが起こってしまう可能性がある。そこで相対論的因果律は、
光円錐と因果律
いかなる座標系で表現しても      t原因 < t結果
と表現される。結局、「結果」となる事象は「原因」から見て、未来に向いた光円錐の内側になくてはいけないことになる（逆に「原因」は「結果から見て過去に向いた光円錐の内側にある）。
　「現在」であるある点から見て、未来向きの光円錐の内側（側面を含む）を「因果的未来」と呼 ぶ。「現在」で起こることの影響は、因果的未来にのみ及ぶ。また、「現在」に影響を及ぼしているのは過去向き光円錐の内側（「因果的過去」と呼ぶ）のみで ある。「因果的未来」でも「因果的過去」でもない領域は、現在とは因果関係がない（現在の場所にいる粒子の未来においては影響を及ぼす可能性がある）。
　相対論的因果律がほんとうに満たされているかどうかはわからないが、既知の（相対論的に正しい）物理法則はこれを満たしているように見える。 上で速度の合成則から、「いくら速度を足していってもcを超えない」ことがわかっている。これはつまり、「どんなにがんばって加速しても光速以上には加速できない」ということである。物理法則は因果律を破れないように作られているらしい。

【補足】この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。
超光速と因果律 
　もし超光速で移動することが可能であったならば、それはタイムマシンがあるのと同じことになる。なぜなら、ある座標系において超光速で移動することは、別 の座標系から見ると「未来から過去へ」という移動を行っていることになるからである。右の図のPからQへという移動は、座標系Bで見れば「過去から未来 へ」という運動だが、座標系Aで見れば「未来から過去へ」という運動になる。
　もし、「座標系Aで見て超光速で動ける物体」と「座標系Bで見て超光速で動ける物体」が二つ 用意できれば、その二つの組み合わせによって「未来から過去へ」という移動が可能になる。図のP→Q→P'という運動を見てみよう。P→Qは座標系Bでの 超光速、Q→P'は座標系Aでの超光速移動である。そしてP→P'という移動は、場所は移動せず時間だけを遡っていることになる26。
　このような因果律を破る現象が存在しているとするとSFなどで有名な「自分が生まれる前に戻って自分の親を殺したらどうなるのか？」というパラドックスが 発生することになる。親が死んだので自分が生まれないとすると、生まれない自分はタイムマシンで元に戻ることはない。ということは親は死ぬことなく、自分 は生まれる。生まれた自分は親をタイムマシンで殺しに行く。すると自分は生まれない…と論理が堂々巡りし、結局何が起こるのか、さっぱりわからなくなるの である。これを物理の言葉で述べると「与えられた初期条件に対して適切な解が存在しない」ということになる。因果律が破れているということは「初期条件」 では決まらない要素（未来から来た自分）が問題に入ってくるということなので、こういう困ったことになる。困ったことになるのは嫌なので、因果律は破れな いようになっていると思いたいところである。

　瞬間移動ができるような装置（どこでもドアとか）があるとタイムとラベルができる、ということをアニメで説明するjavaアプレットが作ってあったのだが、授業中には見せる時間がなく、授業終了後に見たい人だけ見てもらった。
【補足終わり】

　以下は授業では話さず。

7.4  ドップラー効果

　ドップラー効果については音の方が有名である。まず音の場合のドップラ─効果がどのような現象であるかを思い出す。そこでまず気をつけて欲しいのは、「ドップラ─効果」と呼ばれている現象は実は二つの現象を合わせたものだということである。それは
音のドップラー効果の様子 
  1. 音源が移動していることによって、波長が変化し、結果として振動数が変化する。
  2. 観測者が移動していることによって、見掛けの音速が変化し、結果として振動数が変化する。
振動数fは波長λと音速Vによって、f=[(V)/λ]と書かれる。1. は、この式の分母の変化である。図で書けば右のようになる。これは音源が動きながら音を出している様子である。音源が動いても、まわりの空気（音の媒質） はいっしょに動いているわけではないので、音を出した場所を中心として球状に（図では円状になっている）広がる。音が広がるまでの間に音源が移動している ので、前方では波がつまり（波長が短くなり）、後方では波が広がる（波長が長くなる）。
　これに対して2.は、f=[(V)/λ]の分子の方の変化である。同じ波長の波が来たとしても、自分が波に立ち向かっていくならば、１秒間に遭遇する波の数が増える。逆に波から遠ざかるならば、波の数が減る。
　しかしこのような説明を聞いた後で、「さて光の場合のドップラー効果はどうなるのか」と考えると、ちょっと不思議なことに気づくだろう。音の場合、観測者の運動によって音速が変る（7.4の場合）。だから音の振動数が変化するわけである。しかし光の場合、そんなことは起きない（光速度不変の原理！）。では光の場合、「観測者が運動している場合のドップラー効果」は存在しないのか。もちろんそんなことはない。以下で、まず図を書いて考えてみよう。
ドップラー効果の図
　上左の図は、静止した波源から波（光もしくは音）が出ている状況の時空図である。波は上下左右前後に（図では例によって空間軸を一つ省略している）均等に広がっていく。それゆえ、異った時刻に発生した波の波面は同心球（図では同心円）を描く。
　これを動きながらみたらどのように見えるかを表したのが上中、上右の図であり、それぞれ光の場 合と音の場合である。光の場合、光速度不変により、光円錐は傾かない。しかし、波源（光源）が刻一刻動いているので、今度は同心球とはならず、進行方向の 前では波がつまり、後ろでは波が広がる。
　音の場合はどうかというと、波源（音源）の動きと同じ速さで空気も動いているので、音の球はいわば、風に流される状態になる。ゆえに「音円錐27」は風で流される分、傾く。音源と媒質が同じ速度で動いているので、波面は球状に広がりながら流されていき、同心球はたもたれる。つまりこの場合、波長は変化しない。しかし前方では波がそれだけ速くなっており、同じ波長でも速さが速い分振動数が多くなっている28。
音源が動くが空気が動かない場合 
　今考えた二つ（上中、上右図）は同じ現象を動きながら見た場合であった。そのため、音の場合、 音源と同じ速度で媒質（空気）が動いていた。では空気の中を音源が動くとどうなるかを書いたのが右の図である。この場合、音円錐は傾かないが音源の動きの せいで波面が同心球にならない。つまりこの場合、波長が変化することで振動数が変化している（音速は変化していない）。
　波の振動数νは波長λと波の伝わる速さvで表すとν = [(v)/λ]であるが、音の場合、波源が動いたならばλが変化し、観測者が動いたら音速vが変化する。光の場合、速さvは 変化しないので、変化は全て波長の変化に帰着される。しかし、その波長が変化する理由は実は二つある。一つは図に現れている、波と波の間隔がつまるという 現象である。もう一つ、いわゆるウラシマ効果によって、波源（光源）が波を出してから次に波を出すまでの間隔がのびる。この二つの効果によって光の波長が 変化し、ゆえに振動数が変化するのである。このように、光速度不変（cは観測者の速度によって変化しない）であっても、振動数や波長は観測者の速度によって変化しうる。
　では、どのように光のドップラー効果が起こるかを、ローレンツ変換の式を使って計算してみよう。光の振動数（ただし、音源が静止している場合に出す光の振動数）をν0とする。光源の静止系(x′系とする。)では、「山」を出してから次に「山」を出すまでの時間は[1/(ν0)]であるから、光の「山」が出た時空点を(x′,y′,z′,ct′)=(0,0,0,[(nc)/(ν0)])（nは整数）と考えることができる。これをローレンツ変換すると、(x,y,z,ct)=(γβ[(nc)/(ν0)],0,0, γ[(nc)/(ν0)] )となる。つまりこれが光源が動いている座標系において光の「山」が出た時空点である。
ドップラー効果のグラフ 
　もっとも簡単な場合として、光源の進んでいく先にあたる場所(x,y,z)=(L,0,0)（Lは大きく、まだ光源はここまで達していないと考える）でこの光を観測したとすると、光は出てからL−γβ[(nc)/(ν0)] の距離だけ走ってこの場所に到達することになる。その時刻は



γ n
ν0
山が出た時刻 
 +

L−γβ nc
ν0
c
光が到着するのにかかる時間 
 = L
c
 + γ(1−β) n
ν0
(7.7)
である。nが1違うと、この時刻はγ(1−β)[1/(ν0)]だけ違う。ゆえに、振動数は
ν = ν0 1
γ(1−β)
 =ν0


sqrt(1-β^2)
1−β
 =ν0   √
1+β
1−β
 
(7.8)
と変化していることになる。より一般的に、(Lcosθ,Lsinθ,0)に来た光の振動数を考えよう。この場所に「山」がやってくる時刻はLが大きいとして近似すると、

γ n
ν0
 + 1
c
 √

( Lcosθ−γβ nc
ν0
)
 2

 
 +(Lsinθ)2
 
≅
γ n
ν0
 + 1
c
 
√
L2 −2Lcosθγβ nc
ν0
 
≅
γ n
ν0
 + 1
c
( L −cosθγβ nc
ν0
)

(7.9)
となる。nが1変化するとこの時刻は[γ(1−βcosθ)/(ν0)]変化するので、振動数は
ν = ν0


sqrt(1-β^2)
1−βcosθ
(7.10)
となる。
　（ガリレイ変換を使った場合の）音のドップラー効果との顕著な違いは、進行方向に対して真横の 方向へ進む光（上の式でcosθ = 0に対応する）にも振動数変化があらわれることである。これはウラシマ効果によるもので、音ではそのような結果は出ない。これを「横ドップラー効果」と呼 ぶ。銀河のいくつかはその中心核から「宇宙ジェット」と呼ばれる亜光速のガス流を出しているが、そのガスが出す光が横ドップラー効果を起していることが確 認されている。

学生の感想・コメントから

　超光速の物体が見つかったら、相対論的因果律と速度の合成則は成り立たなくなるんですか？
　因果律は成立しなくなります。速度の合成則の方は、uの方は光速を超えても大丈夫です。

　どこでもドアの話ですが、動いているどこでもドアに入るのってたいへんじゃないですか？
　たいへんですが、タイムトラベルするためです。根性で乗り切るんです。

　光速ｃより速いものはないという話でしたが、それは人間の機能に限界があって、感知し切れていないだけではないんですか？
　そういう可能性もあります。今のところ、我々の知らないことはたくさんありますから。いつか超光 速が見つかる可能性は否定できない。「絶対に見つからない」と言いきれるほど、人間の機能は高くないと私も思います。どちらにせよ、何がわかって何がわ かってないか、ちゃんと見極めることが大切です。

　光にエネルギーをくわえたら光も質量をもてますか？
　だめですねぇ。光のエネルギーを増やすと自動的に運動量も増えてしまって、質量は０のままです。

　どんなに速度を合成しても光速を超えられないなんて不思議ですが、ロケットではどのくらいの速度まで出せるのですか？
　がんばっても秒速数十キロ程度まででしょう。光速まではまだまだ。

　

Footnotes:

25[1/(1+x)]=1−x+x2−x3+…。これは初項1、公比−xの等比級数の和の公式である。
26このあたりを解説した読み物としては「タイムマシンの話」（都筑卓司・講談社）などがある。
27実際にこんな言葉はない
28以上の音に対する 計算では、座標変換にガリレイ変換を使っている。ほんとうはここもローレンツ変換を使うべきなのだが、音のようなせいぜい数百m/sの話をしている時に は、ローレンツ変換とガリレイ変換の差は非常に小さく、わざわざ計算が面倒なローレンツ変換を使う意味はあまりない。

File translated from TEX by TTHgold, version 3.63.
On 21 Jun 2005, 12:48.