相対論講義録2005年第12回

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9.1  ４次元の内積(続き）

　ローレンツ変換によって保存される量は３次元的な意味での長さであるところの√[(x2+y2+z2)]ではなく、４次元的な意味での長さである。ある点(t,x,y,z)と、それから（時間的にも空間的にも）微小距離だけ離れた点(t+dt,x+dx,y+dy,z+dz)との間の距離をdsとした時、
ds2 = −c2dt2+dx2+dy2+dz2
(9.3)
として、４次元的な微小長さ（「線素」と呼ぶ）を定義する。
lightconeの図 
ds2はいろんな符号がありえる。符号によって

ds2 > 0
(cdt)2 < dx2+dy2+dz2
空間的(space−like)
ds2=0
(cdt)2 = dx2+dy2+dz2
ヌル的(null−like)
ds2 < 0
(cdt)2 > dx2+dy2+dz2
時間的(time−like)

(9.4)
のように４次元距離を分類する。「ヌル的」は「光的(light-like)」と言う場合もある。
　本によって、上の式をds2 = c2 dt2 −dx2 −dy2 −dz2と定義する場合(timelike convention)と、ds2 = −c2dt2+ dx2+dy2+dz2と定義する場合(spacelike convention) がある。前者は、通常の粒子の場合ds2 > 0となる点が好ましい。後者は、３次元部分だけを見るとユークリッド空間での線素の長さds2=dx2+dy2+dz2と等しい点が好ましい。どちらを使うかはその人の流儀であって、どちらを使っても物理的内容に違いはない。ここではspacelike conventionの方を使う。
　このようにして距離が定義された空間をミンコフスキー(Minkowski)空間といい、この空間での距離の計算の仕方を示すημνという記号およびこの記号を使って測られる距離のことを「ミンコフスキー計量」と言う。
　ちなみに、普通の空間、すなわち距離が
ds2 = dx2 +dy2 + dz2
(9.5)
で定義された空間は「ユークリッド空間」（正確には「３次元ユークリッド空間」）と呼び、行列δij=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
はユークリッド計量と呼ぶ。
　４次元的な考え方と言っても内容は変わっていない。アインシュタイン自身もミンコフスキーがこういう書き方を始めた時、「数学的な話で、物理の理解とは関係ない」と思っていたらしい31。しかし、このような表示によって相対論を考えることが劇的に簡単になる（アインシュタインもすぐにそれに気づいて自分でも使い始めている）。

　ウラシマ効果は、動いている方が経過する時間が短いという効果であるが、それは図の斜め線の方が垂直な線より短いということで理解できる。
ウラシマ効果を４次元的に 
　グラフを見ると斜め線の方が長く見えるが、今長さの定義が４次元的距離で定義されていることに気をつけなくてはいけない。そのため、真っ直ぐな線の４次元的距離の自乗は−(cT)2であり、斜め線の４次元的距離の自乗は−(cT)2+X2 となる。「距離の自乗」がマイナスになるのは「自乗」という言葉の本来の意味からすると奇妙であるが、今「距離の自乗」は−(cT)2+x2+y2+z2と定義されているのでこれでよい。本来の意味とは違う使い方をしていることになるが、物理専用の用語なのだと思って納得して欲しい。
マイナスになるのが気になるのであれば、「時間的な距離を測る時には距離の自乗は(cT)2−x2−y2−z2と定義する」と決めておいてもよい。

9.2  世界線の長さと固有時

　粒子の軌跡（４次元時空中の曲線になる）を「世界線」と呼ぶ。世界線の長さを上で定義したds を使って測定する。dsはローレンツ変換によって不変な量である。適当なローレンツ変換をしても値は変らないのだから、計算しやすい座標系で計算すればよ いことになる。そこで今考えている粒子がちょうど静止しているような座標系を採用したとする。その座標系を(T,X,Y,Z)とすると、明らかに粒子の運 動した線に沿っていけばdX=dY=dZ=0 であるから、
ds2 = −c2 dT2
(9.6)
となる。つまり、dsはその物体が静止している座標系で測った時間経過に比例する。比例定数はicである（iがついてしまうのは、ds2をspacelike conventionで定義したためである）。ds2=−c2dτ2と書くと、このτがまさに、その物体が静止している座標系で測った時間である。つまり、この物体が持っている時計の刻む時間であると考えて良い。そこでτを固有時と呼ぶ。
dτ2 = dt2 − 1
c2
 (dx2+dy2+dz2)
(9.7)
となる32。固有時τに対し、座標系に対して静止している人にとっての時間tは「座標時」と呼ばれる。この式の両辺をdt2で割って平方根を取ると、

dτ
dt
 = √
1− 1
c2
[ （ dx
dt
） 2

 
 +（
dy
dt
） 2

 
 +（ dz
dt
） 2

 
]
 
 =
sqrt(1-β^2)
 
(9.8)
となる。つまり、固有時の増加は座標時の増加のsqrt(1-β^2)倍である。
　固有時は、各物体ごとに違う進み方をする。上の式からわかるように、寄り道をするとdx2が多くなり、結果として固有時の進みは遅れる（ウラシマ効果）。双子のパラドックスの計算なども、運動している物体の固有時が短くなる、と考えれば簡単である。
　我々の知っている粒子の世界線はtime-likeであるかnull-likeであるか、ど ちらかである。世界線がspace-likeだということは超光速で運動している粒子であるということで、そんなものは見つかっていない。もし見つかった ら、そのような粒子は見る人の立場によっては未来から過去に向かって走ることになるので、因果律に抵触することになるだろう。
　世界線がnull-likeになると、固有時の変化dτは0になってしまう。よって光のように光速で動くものに対しては固有時が定義できない（あるいは定義してもそれは変化しない）。



[問い9-0] 半径R、角速度ωで等速円運動している物体がある。座標時では１周に[2π/ω]だけ時間がかかるが、固有時ではどれだけの時間になるか？



9.3  ４元ベクトルの前に：３次元ベクトルの回転の復習

　この節は４次元に行く前のウォーミングアップとして準備したが、授業では飛ばした。

　次の節で４次元時空内でのベクトルを考える。ローレンツ変換は４次元時空間での「回転のようなもの」と解釈できるので、４次元に行く前に３次元空間における回転を復習しておく。
３次元の座標xi(i=1,2,3)を回転させる座標変換は、
(
x'1
x'2
x'3
)
= (
A1 1
A1 2
A1 3
A2 1
A2 2
A2 3
A3 1
A3 2
A3 3
)

(
x1
x2
x3
)

(9.9)
のように行列で書ける。
行列の回転

これをテンソルで書けばx′i = Ai jxj)となる。Aには具体的には例えば
(
cosθ
sinθ2
0
−sinθ
cosθ
0
0
0
1
)
のような行列が入る。
　このように座標系が回転した時、３次元空間のベクトルVi(i=1,2,3)は、
(
V'1
V'2
V'3
)

= (
A1 1
A1 2
A1 3
A2 1
A2 2
A2 3
A3 1
A3 2
A3 3
)
(
V1
V2
V3
)

(9.10)
(テンソルで書けば V′i = Ai j Vj ) のように、同じ行列を使って回転される。そし て、二つのベクトルVi,Wiがあった時、その内積ViWi=V1W1+V2W2+V3W3は保存する。そのことは、行列Ai jの性質

(
A1 1
A2 1
A3 1
A1 2
A2 2
A3 2
A1 3
A2 3
A3 3
)

(
A1 1
A1 2
A1 3
A2 1
A2 2
A2 3
A3 1
A3 2
A3 3
)
=(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)

(9.11)
からわかる。 この式をテンソルで書けばAi jAi k=δjkである。この式の左 辺の掛け算は、Ai jの前の足どうしが同じ添字で足し上げられていること に注意。つまり行列の掛け算ルールに即するためには前の方を転置せねばならな い（上の行列での表現もそうなっている）。
また、回転の行列ならばこのような性質を持っていることは、ベクトル
(
1
0
0
),

(
0
1
0
),

(
0
0
1
)
をこの行列で回転させると
(
A1 1
A2 1
A3 1
),
(
A1 2
A2 2
A3 2
),
(
A1 3
A2 3
A3 3
)
となることからわかる。

行列の回転

9.4  ４元ベクトル

　３次元のベクトル→V=(Vx,Vy,Vz)は座標変換の時に、座標→x=(x,y,z)と同じ行列で変換される。その時二つのベクトルの内積が不変量であった（内積のもともとの定義は二つのベクトルの長さと、その間の角のcosの積である。回転によって長さと角度は不変）。
　同様に、４成分のベクトルVμ(μ = 0,1,2,3)を考える33。
　座標がローレンツ変換(x′μ=αμ νxν)された時、このベクトルはV′μ=αμ νVνと同様のローレンツ変換を受けるとしよう。このような変換にしたがうベクトルを４元ベクトルと言う。後で出てくる４元速度、４元加速度、４元力などは全て４元ベクトルである。二つの４元ベクトルVμ,Wμを考える。では、このようなベクトルによって作られる、座標変換（この場合ローレンツ変換）の不変量はどのようなものだろう。
　この二つのベクトルの内積を３次元でと同じようにV0W0 + V1W1+V2W2+V3W3と定義したとすると、これはローレンツ変換で保存しない。保存するのは、
ημνVμ Wν=−V0W0 + V1W1+V2W2+V3W3
(9.12)
である。これを４次元的な内積と考えよう。４次元の内積がローレンツ変換で保存することは、
ημνV′μ W′ν = ημναμ ρVρ αν λWλ=

ημναμ ραν λ
=ηρλ 
 Vρ Wλ = ηρλVρ Wλ
(9.13)
からわかるし、そもそもVと同じ変換をするxで作られたημνxμ xνが不変量であったことからもわかる。
　このように４元ベクトルどうしの「内積」を取る時にはημνWνという組み合わせがよく出てくるので、
Wμ = ημνWν
(9.14)
という量を定義する。上付きの添字を持つベクトルを「反変ベクトル」、下付きの添字を持つベクトルを「共変ベクトル」という。ημνの内容を考えれば、W0=−W0, W1 = W1, W2=W2,W3=W3ということである。つまり、WμとWμの 違いは第０成分（時間成分）の符号だけである。このようにミンコフスキー空間の直線座標系では反変ベクトルと共変ベクトルの差は時間成分の符号だけで、大 きな差はないが、曲線座標系などではそうではなくなるし、特に一般相対論では大きな差になる。この講義ではそこには触れない。
　ημνの逆行列をημνと書くことにする。つまり、
ημνηνρ=δμν    (δμν はμ = νの時1でそれ以外0という記号)
(9.15)
ということである（注：この二つの行列の中身は同じ）。この時、
Wμ = ημνWν
(9.16)
も成立する。つまり添字はηを使って上げたり下げたりできる。そういう意味でも、この二つのベクトルは中身は同じであって、表現が違うだけである。
　共変ベクトルのローレンツ変換は、
W′μ = ημν W′ν = ημν αν ρWρ = ημν αν ρηρλ Wλ
(9.17)
となるので、その変換行列はημν αν ρηρλである。よくみるとこれはαν ρの添字をηを使って上げたりさげたりしていることになるので、
ημν αν ρηρλ = αμ λ
(9.18)
と書く。この記号を使えば、共変ベクトルのローレンツ変換はB′μ = αμ νBν となる。
　共変ベクトルも反変ベクトルも、「αの後ろの添字とベクトルの添字をそろえて和を取る。この添字は一方が上付きならもう一方は下付きである」と考えれば変換ルールを覚えやすい。
　また、 ημναμ ραν λ=ηρλから、
αμ ραμ λ = δρλ
(9.19)
ということもわかる。
　座標と同じ変換をする方が「反」変で、少し違う変換をする方が「共」変なのは気持が悪いが、数学では微分演算子の方が基本的な量なので、こういう命名になっている。つまり微分演算子[∂/(∂xμ)]は共変ベクトルなのである。それは、[∂/(∂xμ)] xν=δμνと[∂/(∂x′μ)] x′ν = δμν が両方成立するべきであることからわかる。

∂
∂x′μ
= αμ ν ∂
∂xν
(9.20)
であれば、

∂
∂x′μ
 x′ρ = αμ ν ∂
∂xν
 (αρ λxλ) = αμ ναρ λ ∂
∂xν
 xλ = αμ ναρ λδλν = αμ ναρ ν = δρμ
(9.21)
である。最後で、αμ ναρ ν = δρμという式を使った。この式ではαの後ろの添字同志で足し上げられている。先で求めた式はαμ ναμ ρ = δρλであって、前の添字同志を足し上げた式だから少し違うが、この二つを行列の掛け算と解釈すると、

αμ ναρ ν
↔
αμ ν(αρ ν)T
αμ ναμ ρ
↔
(αμ ν)T αμ ρ

(9.22)
となり、行列の計算においてAB=IならばBA=Iであるということを使っている。
　反変ベクトルAμと共変ベクトルBμの内積のローレンツ変換は
(A′)μ(B′)μ = Aν

αμ ν αμ ρ
=δνρ 
 Bρ = Aμ Bμ
(9.23)
である。つまり、反変（上付き）添字と共変 （下付き）添字が足し上げられていると、ローレンツ変換した結果、それぞれのローレンツ変換が消し合って、まるで最初から添字がついていないかのごとく変 換を受けない。つまり添字の意味がなくなっている。それゆえこのように添字が足し合わされている状況を「つぶれている」と称するのである。
　なお、Cμν,Aρλτ,Dτ σμνのように添字を複数個もち、上付き（反変）添字がαμ νで、下付き添字がαμ νで変換されるような量を「テンソル」と言う。反変ベクトルは上付き添字が一つのテンソル、共変ベクトルは下付き添字が一つのテンソルである。例えば
(D′)τσμν = ατ τ′ασ σ′αμ μ′αν ν′Dτ′σ′μ′ν′
(9.24)
のように変換される。ημν,ημνあるいはδμνは添字が二つあるテンソルの例でもある（座標変換で変化しないので、不変テンソルと呼ぶ）。

第10章 相対論的力学

　今日は、相対論的力学のうちいわばイントロ部分のみ。詳しいことは、来週このあたりをもう一度解説しながら進む。

10.1  ニュートン力学を相対論的に再構成する


ガリレイ変換 ローレンツ変換 実験的検証
ニュートン力学(非相対論的) ○× 19世紀まで○
ヘルツの方程式(非相対論的)○× ×
マックスウェル方程式(相対論的)×○ ○
相対論的力学？× ○ ○
　ここまでの流れを整理しよう。ここまで、相対性原理（絶対空間は存在しないということ）を一つ の原理として捉えてきた。そして、電磁気の基本法則であるマックスウェル方程式が相対性原理を満たしていないように見える（ガリレイ変換で不変でない）こ とから、マックスウェル方程式を破棄するか、ガリレイ変換を破棄するかの二者択一を迫られることになった。マイケルソン・モーレーをはじめとする実験事実 から、破棄されるべきなのはガリレイ変換であり、ローレンツ変換へと修正すべきであることがわかった。また、時間と空間を別物と考えるのではなく、合わせ て４次元の時空を考えて、その４次元を混ぜ合わせるような変換としてローレンツ変換を捉えればよいことがわかった。
　そこでもう一度元にもどって考えると、そもそも相対性原理が考えられたのは、ニュートン力学 はガリレイ変換で不変であったからである。しかし電磁気に対する考察からガリレイ変換はローレンツ変換へと修正されたのだから、今度はニュートン力学を ローレンツ変換で不変になるように作り直さなくてはいけない。この章で考えるのはローレンツ変換で不変になるように作り直された新しい力学、すなわち相対 論的力学である。
　そこで、どのようにして相対論的力学を作るか、その概要を述べる。ニュートン力学の基本である運動方程式は

dpi
dt
 =fi
(10.1)
という形をしている。piは運動量で、具体的にはpi=m[(dxi)/dt]である。ニュートン力学では、ある時刻tにおいて、物体の位置xi(t) を時間の関数として与え、時間がたつにつれてこれらがどのように変化していくかを運動方程式を使って追い掛ける。ニュートン力学では時間というものが特別 なパラメータとなっている。しかし、時間というものを特別視していては、相対論的に不変な方程式にはならない。運動のパラメータとしては座標時間tを使う のではなく、固有時τを使うべきである。τは「その物体が静止している座標系で測った時間」という定義になっているので、物体を決めれば一意的に決まり、 ローレンツ変換しても変わらない。以下で、
  1. 座標時間による微分[d/dt]は全て固有時微分[d/dτ]に置き換える。
  2. ３次元ベクトルxi=(x(t),y(t),z(t))で表されている量は４元ベクトルxμ=(ct(τ),x(τ),y(τ),z(τ))に拡張する。
  3. 方程式の両辺はローレンツ変換した時に同じ変換をされるものではなくてはならない。
という方針で相対論的力学を作っていこう。
　固有時τと座標時tの微分は物体が静止している時には等しい(dτ = dt)ので、このようにして作られた相対論的力学は、物体が静止している状況ではニュートン力学と同じ答を出す。あるいは、「物体の速度が光速cに比べ十 分小さい状況ではニュートン力学に近似できる」と言ってもよい。それゆえ、ニュートン力学は破棄されるわけではなく、相対論的力学の近似として生き残る。

　先走って話しておくと、このあたりの式を使うことで相対論的な運動量保存則、エネルギー保存則が出てくる。そしてそれがあの有名なE=mc2へと導くのである。

学生の感想・コメントから

　計算が多くてついていけなかった。（似たような感想何人か）
　すいません、確かに今日は計算が多かったですね。

　日本のロケット打ち上げはよく失敗するが、相対論的力学と関係あるのだろうか？
　いや、それはたぶんありません。日本だろうがどこだろうが、相対論的力学が必要なときは使いますし、いらないときは使いません。GPS衛星の時計あわせなどは、相対論的計算を使っているそうです。

　(10.1)からE=mc2が出てくるんですか？
　この式と、何より大事なのはローレンツ不変性と、エネルギー・運動量の保存則がちゃんと成立することです。

　運動量ゼロでもエネルギーってあるんですか？
　そりゃあるでしょう。伸びているばねのエネルギーとか。

　共変ベクトルと反変ベクトルの意味がいまいちつかめない。
　とりあえず特殊相対論やっている間は、単なる符号違いの記号、という解釈で問題ありません。もっと曲がった座標や曲がった空間になるといろいろややこしい話が出てきますが。。。。

　∂νってどういうものなのかよくわかりません。
　これは単に、
∂
∂xν
の短縮記号だと思ってください。　

　ημνは座標変換すると違うものになるんですよね？
　ローレンツ変換している限りは変わりません（逆に、ημνが不変というのがローレンツ変換の定義）。極座標なんかに変換した場合は変わりますが。

　タイムマシンは絶対にできないんですか？
　「絶対」と言い切るのは難しいですね。できるかもしれない。今のところ見通しは限りなく低いけど。

　time-like conventionは使わないのですか？
　一つの授業の中で両方使うと混乱の元なので、この授業ではspace-likeに徹します。

Footnotes:

33少し前から使っているが、i,j,k,…などのアルファベットは1,2,3（３次元空間）の添字として、μ,ν,ρ,…などのギリシャ文字は0,1,2,3(４次元時空)の添字として使う、というのが相対論の本でよく使われる約束である。

File translated from TEX by TTHgold, version 3.63.
On 5 Jul 2005, 10:59.