相対論講義録2006年度第14回

←第13回　目次に戻る

　前回は「では、ρc=j0とすることは正しいだろうか？」で終わったので、復習の後、まずはそこから。
　実際、電荷密度ρと電流密度→jは(ρc, →j)はという組み合わせで４元ベクトルになっている。つまり、(ρc,→j)は４元ベクトルjμの時間成分、空間成分と考えることができるのであ る。４元ベクトルであるからある座標系からそれに対してx方向に速度vで動いているような別の座標系へと座標変換すれば、
j′0 = γ(j0−βj1), j′1 = γ(j1−βj0), j′2=j2, j′3=j3
(9.24)
のようにローレンツ変換されることになる。
簡単な場合で上の式を確認しよう。x,y,zの３方向にそれぞれLの広がりを持った立方体を考え、その中にまんべんなく電荷Qが静止して分布しているとし よう。この時、ρ = [Q/(L3)]であり、→j=0である。
　これをx軸マイナス方向に速さvで動きながら見たとしよう。立方体のx方向の辺のみがローレンツ短縮され、L√{1−[(v2)/(c2)]} と変化する。それゆえこの座標系での電荷密度は
ρ′= Q
L3  
sqrt(1-v^2/c^2)

(9.25)
である。一方電流密度は、面積L2の中を単位時間あたりL2vの体積が通過していくことになるから、電荷密 度にL2vをかけてから単位体積あたりにするためにL2でわって、
j′x = Qv
L3   sqrt(1-v^2/c^2)
= ρv

sqrt(1-v^2/c^2)
, j′y=j′z=0
(9.26)
となる。この式はjμ=(cρ,0,0,0)から速度−vのローレンツ変換をした結果とぴったり一致する。
というわけで、
∂μ Fμν=−μ0 jν
(9.27)
という式も作ることができた。前の式と符号が変わっているのは、Fμν=−Fνμを使ってFの添字をひっく り返したからである。
  この式を、Aμを使って書くと、
∂μ ∂μ Aν−∂ν ∂μ Aμ = −μ0 jν
(9.28)
となる。この式の右辺がローレンツ不変に対してベクトルとなっているからには、左辺もやはりローレンツ変換に対してベクトルでなくてはならない(そうでな かったら、電磁気学は相対論的に不変ではないということになってしまう!)。よって、Aμは４元ベクトルとして変換しなくてはいけ ない。これから、A0=[φ/c]と置いたことが正当化される。A0は確かに４元ポテンシャルAμの 時間成分として変換されるのである。
(9.28)という式が４元ポテンシャルを使って書いたマックスウェル方程式である。４元ベクトル で表現されたことから、これが相対論的に不変な理論となることは自明である。
 
　以下の立方体使った説明は飛ばしました。

　Fμνは、いわばAμの４次元rotである。３次元のrotでは、「ベクト ルのrotはベクトル」であったが、実はこれが成立するのは３次元でだけである。なぜなら、その定義上、rotは「微小な面を考えて、その回りをぐるっと 回る」という操作に対応している。３次元では、面は３つある（xy平面、yz平面、zx平面）。しかし、２次元ではxy平面一つしかないし、４次元では xy,yz,zxの他にxt,yt,ztを合わせて合計６つある。重複をゆるさず二つの方向を決めれば面が決まるので、一般にn次元では[n(n−1) /2]個の面がある。
３次元のrotのdivを取ると0になることは、空間内に立方体を描くことで示すことができた。４次元のrotであるところのFμνで も、４つの座標軸(ct,x,y,z)のうちから３つ選んで立方体を作り、その立方体の各面を回るようなrotを考えることで同様の式を作ることができ る。例えば上の図は(x,y,z)の３つの軸で立方体を作った場合である。天井と床から∂z F12=∂z Bzが出る（天井と床では逆符号なので、(天井)−(床)という計算がされ、微分になるのである。同様に、左と右から∂y F31=∂y Byが、正面と裏から∂x F23=∂x Bxが出る。全部足すとdiv→B=0が出る。

　(ct,x,y)の３つの軸を使って作った図が左のもので、この場合は天井と床から∂0 F12=1/c∂t Bx、左と右から∂y F01=−1/c∂y Ex、正面と裏から∂x F20=1/c∂x Eyが出る。全部足して分母のcを払うと、
∂t Bz −∂y Ex + ∂x Ey=0
(9.29)
という式になるが、これはrot→E=−[(∂→B)/∂t]のx成分である。同様にy成分、z成分の式も出る。つまり、元々のマックスウェル方程 式のうち４つが４次元rotの性質から出るのである。なお、ローレンツ変換すれば、このct軸とx,y,z軸が混じり合う。つまりこの４つのマックスウェ ル方程式は、４次元的には互いにからみあっているのだと考えることもできる。

9.2  ローレンツ変換

　４元ベクトルポテンシャルは
A′0=γ(A0−βA1),A′1=γ(A1−βA0), A′2=A2,A′3=A3
(9.30)
または共変ベクトルで表すと、
A′0=γ(A0+βA1),A′1=γ(A1+βA0), A′2=A2,A′3=A3
(9.31)
のようにローレンツ変換される（A0=−A0,Ai=Aiを 使えばすぐ導ける）ので、電場や磁場のローレンツ変換はこれから導くことができる。この時、微分演算子（これも共変ベクトルである）の方も、

∂
∂(ct′)
 =γ ( ∂
∂(ct)
 +β ∂
∂x
 ) , ∂
∂x′
 =γ ( ∂
∂x
 +β ∂
∂(ct)
 ) , ∂
∂y′
 = ∂
∂y
 , ∂
∂z′
 = ∂
∂z
(9.32)
と変換されることを忘れてはいけない。たとえば電場のx成分は


1
c
 E′x=
∂x′A′0 − ∂ct′A′x
=
γ2( (∂x +β∂ct) (A0+βAx) −(∂ct+β∂x) (Ax+βA0) )
=
γ2(1−β2)(∂x A0−∂0 Ax)
=

1
c
 Ex

(9.33)
となって変化しない。同様に、


1
c
 E′y=
∂y′A′0 − ∂ct′A′y
=
γ( ∂y (A0+βAx) −(∂ct+β∂x)Ay )
=
γ(∂y A0−∂0 Ay +β(∂y Ax−∂x Ay))
=
γ ( 1
c
 Ey−βBz )

(9.34)



1
c
 E′z=
∂z′A′0 − ∂ct′A′z
=
γ( ∂z (A0+βAx) −(∂ct+β∂x)Az )
=
γ(∂z A0−∂0 Az +β(∂z Ax−∂x Az))
=
γ (
 1
c
 Ez+βBy )

(9.35)
となる。まとめると、
E′x=Ex, Ey=γ(Ey−vBz), Ez=γ(Ez+ vBy)
(9.36)
である。

EyとEzがγ倍に増加する理由は、


のように、ローレンツ短縮によって電気力線がぎゅっと詰まって、圧縮される からだと考えるとイメージできるだろう。

 磁場の方も同様に計算して、
B′x=Bx, B′y=γ(By+ v
c2
 Ez),B′z=γ(Bz− v
c2
 Ey)
(9.37)
という結果が出る。結局電場も磁場も、座標系の運動方向と平行な方向は変化せず、垂直な方向が変化する。この式は複雑であり、４元ベクトルポテンシャルを 使った式(9.30)の方が便利である。実は、電磁場を表す物理量としては→E,→BよりもAμの 方が本質的なのだと考えることができる。

【補足】この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。

9.3  ゲージ変換

　できあがった４次元的なマックスウェル方程式∂μ ∂μAν−∂ν ∂μ Aμ=−μ0 jνを見ると、
Aμ → Aμ +∂μ Λ
(9.38)
のように、任意のスカラー関数Λの微分に対応する分だけ、Aμの値をシフトさせても方程式が不変であることに気づく。この変換は、 歴史的経緯から「ゲージ変換」3と呼 ばれる。
　そこで、この変換を適当に行えば、Aμを特別な条件を満たすようにすることができる。たとえば 極端な例としては、
Λ = − ∫ A0 dx0
(9.39)
と選ぶ。すると、
A0 → A0 − ∂0 ∫
 A0 dx0 = 0
(9.40)
となって、A0=0と選ぶことができるのである。問題に応じて、計算が楽になるような条件を選べばよい。この条件を「ゲージ条件」 と呼ぶ。A0=0はradiationゲージと呼ばれる。他にも、クーロンゲージ（∂i Ai=0）、 ローレンスゲージ（∂μ Aμ=0）4などがある。ここでは、ローレンスゲージを取ろう。するとマックスウェル方程式 は、
∂μ ∂μ Aν = −μ0 jν
(9.41)
　または、∂μ∂μ=−[1/(c2)][(∂2)/(∂t2)] +∆を使えば、

( − 1
c2
∂2
∂t2
 +∆ ) Aν = −μ0 jν
(9.42)
という式になり、非常に解きやすくなる。
　このゲージ変換があるため、物理的には同じ状況であるのに、Aμの値が違う、ということが起こ りえる。そういう意味でAμは測定によって決定できる量ではない。この点で「Aμは非物理的な量であって、 本質的なのは→E,→Bで ある」という考え方も前にはあった。しかし、後に→B=0であってもAμ ≠ 0であるような状況でAμの影響が観測に現れることがある（もちろん、その影響の現れ方はゲージ変換しても変化しない）ことが 確認されたので、今ではAμの実在性を疑う人はいない5。
【補足終わり】

9.4  ベクトルポテンシャルとはどういうものか


　ベクトルポテンシャルはなじみがない人が多いかもしれないが、実はこっちを使った方が電磁気がわかりやすくなるのではないかと思うほど、便利な概念であ る。ここで、(9.41)を使ってそのことを見よう。特に、静電磁場の場合を考える。すなわ ち、時間的に一定であるような電磁場であれば、(9.41)は ∆Aν = −μ0 jν と、単なるラプラス方程式になる。この式は
時間成分： ∆φ = − 1
ε0
 ρ,     空間成分： ∆ →
A
 
 =− μ0 →
j
 
(9.43)
である。つまり、電荷があればその回りに静電ポテンシャルが生まれるように、電流があればその回りにベクトルポテンシャルが生まれる。ベクトルポテンシャ ルは電流と同じ向きにできる。

　このように作られたベクトルポテンシャルが、磁場を作ることになる。例として直線電流の場合を図で描くと右のようになる。
電流のそばには強いベクトルポテンシャルが、遠くには弱いベクトルポテンシャ ルができている。このベクトルポテンシャルを流れのようなものだと考えると、 この流れは回転を作る。なぜなら、外側ほど「流れ」が弱いからである。
この図において、導線の左側では右（内側）の→Aの方が強いので、→Aを何かの流れと考えれば、反時計回りの渦ができていることになる。逆に右側では 時計回りの渦ができる。
この渦こそがrotであり、 rotの結果のベクトルはこの渦が右ネジを回す方向だとした時、ネジの進む方 向を向く。
よって、導線の左側では紙面裏から表に突き抜けるような磁場がそこにある。逆 に右側では紙面表から裏へ向かう方向の磁場がある。他の場所でも同様なので、 導線を一周するようにまわる磁場ができあがる。これは、「電流をネジの進 行方向とした時、右ネジを回す方向に磁場ができる」といういわゆる右ネジの法則の通りである。つまり「電流が磁場を作る」のではなく「電流はベクトルポテ ンシャルを作る。ベクトルポテンシャルの回転が磁場である」というふうに考えることができる。
　なお、電荷qがスカラーポテンシャルの中にいるとqφという位置エネルギー を持ったように、電流→iがベクトルポテンシャル→Aの中にいると −→i·→Aという位置エ ネルギーを持つ。
　位置エネルギーが下がるような方向に力を受けるという原則からすると、（＋電 荷が−電荷に引きつけられるように）同方向の電流は引きつけ合う。また、なる べくなら電流とベクトルポテンシャルは同じ方向を向きたがる。電磁石と電磁石 の間に働く力なども、このエネルギーで説明することができる6。

9.5  ローレンツ力の導出

　この電磁場から電荷にどのような力が働くかを計算してみるのだが、ここで特殊相対原理を使うと簡単に求めることができる。特殊相対原理によればどのよう な座標系をとっても物理法則は同じ形を持つ。その方程式は必然的にテンソルの形になっていなくてはいけない。力に関しては４次元的に考える時は４元力Fμで 考えなくてはいけない。そこで、電磁場による力の式は４元力を用いて、
Fμ = （なにか、４元ベクトルになる式）
(9.44)
と書けるはずである。この式の右辺には、まず電場および磁場を表すFμνが入るであろうことはすぐ予想できる。また、答を盗み見す るよう　だが、結果として磁場と電荷の間に働く力に電荷の速度が入ることを知っているので、４元速度Vμも式に入ってきそうであ る。つまり、
Fμ=(未知の定数)×Fμ νVν
(9.45)
という答になるだろう。未知の定数を決定するために、たまたま今考えている粒子が静止しているとする。その場合、V0=c,Vi=0 であるから、
Fμ=(未知の定数)×Fμ 0c
(9.46)
となる。F0 0=0,Fi 0=[(Ei)/c] であることを考えると、
Fi = (未知の定数)×Ei
(9.47)
となる。電場の定義式(→F=q→E) から考えると、未知の定数は今考えている電荷の電気量qにすればよい。
　結局、電荷の受ける力（４元力）は、
Fμ = q Fμ νVν
(9.48)
と書ける。この式のμ = 1成分を見てみると、
F1=q F1 νVν = q F1 0V0 + qF1 2V2+qF1 3V3 = q ( Ex
c
 cγ+Bz vy γ−By vz γ ) = qγ ( Ex + ( →
v
 
 × →
B
 
 )x )
(9.49)
となる。この力はミンコフスキーの力Fμの第１成分なので、[(dPμ)/dt]=fμで 表される方の力であれば、Fi=fiγであるから、f1 = q(Ex + (→v×→B)x) となる。その３次元成分を取れば

→
f
 
 = q ( →
E
 
 + →
v
 
 × →
B
 
 )
(9.50)
となり、この式はローレンツ力の式そのものである。ゆえに、
（１）特殊相対性原理。
（２）電荷に働く力はFμνとVμを使った 式になる。
（３）電荷が止まっていればその力はq→Eである。
という条件だけから、ローレンツ力の式を導出することができた。

9.6  電磁場に関するパラドックス

　ここまでの話でわかるように、相対論は電磁気学を発展させることによって生まれた理論である。というより、古典電磁気学を完成させる最後の１ピースだっ たと言ってもいい。そこで、高校レベルの電磁気現象だけど、相対性理論を使わないと説明できない現象を一つ紹介しておこう。
　電流が流れている導線から少し離れたところに静止した電子がいる。導線には流れている自由電子（−電荷）がいるが、 静止している金属イオン（＋電荷）もいて、全体として電荷は中和している。ゆえに導線のまわりに電場はない。電流があるから磁場はあるが、磁場は止まって いる電子に力を及ぼすことはない。よってこの電子は力を受けない。
　ここで、流れている電子と同じ速度で移動しながらこの現象を見たとしよう。電子は止まってしまうが、金属イオンは逆に動き出すので、やはり電流は流れて いる。故に磁場はやはり発生している。今度は外においてある電子は動いている。磁場中を動く電子は力を受けるので、この立場で考えると電子には力が働く。
さて、はたして電子に力は発生するのか、しないのか？？
電線の中の電子の動く速度はけっこうゆっくり（歩く速度より遅いぐらい）なので、この実験は実際にやることができるが、もちろん、電子は動かない。見る人 の立場によって結果が変わるはずはない。
相対論を知っていると、この謎には下の図のような答を出すことができる。すでに電磁場のローレンツ変換を求めておいたので、それを見てもらうとわかると思 うが、導線に対して動く人から見ると、導線に対して止まっている人には見えない電場が見えるのである。
　この電場はもちろん、理由もなく発生するのではない。電場が発生する原因は、導線の中を考えるとわかる。最初導線内には等しい電荷があって電場がキャン セルしている、と言ったが、相対論によれば動いている物体はローレンツ短縮で長さが縮むはず。一群の電荷が動いたとすると、運動方向に圧縮されて電荷密度 が上がることになる。ということは、今導線内にある電子の流れは「すでにローレンツ短縮した結果」として＋電荷とキャンセルしている。これを動きながら見 ると、今度は＋電荷がローレンツ短縮により圧縮され、電子の方は逆に圧縮される原因がなくなり、いわば「圧縮が解除される」ことになるのである。結果とし て、運動しながら見ると導線は＋に帯電していることになる。この＋に帯電した導線は電子を内側にひっぱり、磁場によるローレンツ力を打ち消す。
　この問題が教えてくれる教訓は「相対論なんてのは宇宙の話や素粒子の話をする時にしか出てこない、特殊な世界の話」と思いこんではいけないということで ある。量子力学がミクロな世界にとどまらないように、相対論も普段見る物理現象にも効いているのある。相対論の助けなしには、電磁気現象を完全に理解する ことはできない。

　というわけで、試験は来週８月８日の３限です。追試はありません。一発勝 負でがんばってください。

Footnotes:

3意味するところは 「ものさし変換」である。実は一般相対論と電磁気学を融合させようというワイルの統一理論の中で、物体の長さを変換するものだったのである。今ではそうい う意味はなくなってしまったのだが、名前だけが残っている。
4このローレンス （Lorenz）さんは、ローレンツ力のローレンツ（Lorentz）さんとは別人なのであるが、非常によく混同され、「ローレンツゲージ」とか 「Lorentzゲージ」と書いてある本がたくさんある。ややこしいことに、ローレンスゲージはローレンツ不変なゲージなのである。
5この効果をアハロノ フ・ボーム効果と言い、実際に実験で確認したのは日本の外村彰氏である。その詳細は量子力学を知らないとわからないので、ここでは触れない。
6 電荷は同種が反発するのに電流は同方向が引きつけ合うのは、位置エネルギーの符号の違いだが、その違いはローレンツ内積jμ Aμ = −j0 A0 +ji Aiの符号から来ている。

学生の感想・コメントから

  導線を流れる電流が歩く程度の速さというのには驚いた。
　一度、適当な例で計算してみてください。

　歩く程度の速さだとすると、電気のエネルギーは少ないのではというイメー ジを受けます。
　電源が供給した電気エネルギーが使われるのは主に抵抗だったりモーター だったりのところで、導線の電子の運動エネルギーにはほとんど使われていないのです。

　相対論の授業は面白かったけど、テストには自信がない。
　ま、がんばってください。

　難しかったけど、相対論を使わなければ完全に物理現象を理解することがで きないことはわかりました。
　そこがわかっていただければ、こちらの意図としては成功です。


　電場がローレンツ短縮により圧縮されるという話がありました（↑ここ）が、進行方向と平行に出ている電気力線には何か影響は出ないのですか？
　出ません。ちょうど進行方向の場合、全く圧縮されず、静止系で観測するの と同じ電場になります。

　電磁気学のパラドックスには驚いた（多数）。
　相対論の威力に驚いてください。

　電子の速度と電流の速度は違うんですか？
　電子の速度はその名の通り、導線内を電子が流れる速度。電流の速度は、ス イッチを入れた時に電流が流れ始める速度で、これはほぼ光速。

　今日の最後のパラドックスは相対論ができる前からあったのですか？
　さて、いつからあるのかは知りません。昔から知られていますが。

　ローレンツ力が相対論から出てくるとは思いもよらなかった（複数）
　相対論は電磁気の一部なので、いろいろ関連するのです。

　ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの対応が少しわかった（複 数）
　是非、ちゃんとものにしてください。

　導線に電流が流れてない時は-電子の方が多くなるんでしょうか？
　そうなったらどこからか電荷が補充され、総電荷が0になる状態に落ち着く と思われます。

　普段我々が生活している空間は窒素や酸素や二酸化炭素で満たされているわ けですが、分子や原子が占めていない空間は無、真空ということですか？
　もちろん、そうです。

　「相対論の正しい間違え方」と「相対論はやはり間違っていた」を読みまし た。（中略）内容からすると前者の方が正しく感じますが、大学の教授とかでも正しく相対論を認識していないのか、それとも本自体が読み物としてフィクショ ンなのか。。。
　「間違っていた」の人は、フィクションなどとは思わず大まじめにやってま す。大まじめに、間違えているのです。変な話ですが、世の中いろいろな人がいるのです。
　「間違え方」の方が正しいと感じるあなたの感覚は正しい。

　テストがんばります。
　がんばってください。

　
　
File translated from TEX by TTHgold, version 3.63.
On 1 Aug 2006, 11:09.