相対論講義録2006年第３回

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2.6 ２次元の直線座標の間の変換

一つ次元をあげて、２次元空間の場合で考えてみる。２次元、３次元の場合の座標変換の考え方は、いずれ４次元時空での座標変換を考える時のガイドラインになるからである。

二つの空間座標をx,yとすると、x,yに対して別々の平行移動を行う座標変換

x′=x－a, y′=y－b

であるとか、それぞれ別の速度でガリレイ変換する座標変換

x′=x－v_x t, y′=y－v_y t

などがある。

　しかしここまでは１次元の話を重ねているだけで面白味がない。２次元ならではの座標変換は、右の図のような、座標軸の回転である。

x′=

xcosθ+ ysinθ

y′=

－xsinθ+ ycosθ

(2.11)

[問い2-1] 右の図に適当に補助線を引くことにより、(2.11) を図的に示せ。

(2.11)は、行列を使って






x′

y′











cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ
















(2.12)

と書くこともできる。

　行列と列ベクトル¹⁶の計算のルールは、左の図である。このルールを(2.12)に適用すれば、(2.11) が出てくる。

(x,y)=(1,0)という点と、(x,y)=(0,1)という点が(x′,y′)座標でみるとどう表せるかを考えよう。行列計算で書けば、






cosθ

－sinθ











cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ
















(2.13)






sinθ

cosθ











cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ
















(2.14)

となる。つまり行列






cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ






は











を座標変換した結果の






cosθ

－sinθ






と、











を座標変換した結果である






sinθ

cosθ






を横に並べて作った行列であると考えることができる。











と











は互いに直交し、それ自体の長さは１である。したがって、






cosθ

－sinθ






と、






sinθ

cosθ






も互いに直交して長さは１である。「長さが1である」という性質や「直交する」という性質はどの座標系で見ても((x,y)座標系でも(x′,y′)座標系でも)同じだからである。

　長さを２倍するような座標変換は考えないんですか？
　考えること自体はかまいませんが、今扱っている座標変換は運動方程式を変えないような変換だけなので、考えていません。
　たとえばメートルを使うのをやめてセンチを使ったりすれば、長さを表す数字は全部１００倍になります。

　ここで、「物理で扱うべきなのは座標変換で不変な意味を持つ量である」という話を少しした。座標系は人間の都合で引くものだから、特定の座標でしか意味を持たないような量は、物理的考察の中では排除されるべきである。そういう意味でも「座標変換した時にある物理量はどのように変化するのか（あるいは変化しないのか）」ということを考えるのは非常に大事なのである。

　回転であるから当然であるが、この式は

(x′)²+(y′)² = x²+y²

(2.15)

を満足する。つまり、原点からの距離（上の式は距離の自乗）はこの変換で保存する。これを行列で考えよう。まず、

( x y )











= x²+y²

(2.16)

のように、行ベクトルと列ベクトルのかけ算という形で距離の自乗を表現する。列ベクトルの座標変換は(2.12) だったが、行ベクトルの座標変換は

( x′ y′)

( x y )






cosθ

－sinθ

sinθ

cosθ






( xcosθ+ ysinθ －xsinθ+ ycosθ)

(2.17)

と書ける。(2.12)と場合とは行列の並び方が変わっているものになっていることに注意しよう（具体的に行列計算をしてみればこれで正しいことはすぐにわかる）。この、

A =






a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂






→A^t =






a₁₁

a₂₁

a₁₂

a₂₂






(2.18)

のような並び替えを「転置(transpose)」と呼び、行列Aの転置はA^tという記号で表す。転置はa_ij→ a_jiと書くこともできる。a_ijとは「i番目の行の、j番目の列の成分」であるから、iとjを入れ替えるということは行番号と列番号を取り替えることである。ゆえに、転置を「行と列を入れ替える」とも表現する。

この式を使って、(x′)²+(y′)²を計算すると、

( x′ y′)






x′

y′






( x y )






cosθ

－sinθ

sinθ

cosθ











cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ
















(2.19)

となるが、






cosθ

－sinθ

sinθ

cosθ











cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ











cos²θ+sin²θ

cosθsinθ－ sinθcosθ

sinθcosθ－ cosθsinθ

sin²θ+ cos²θ
















(2.20)

となることを考えると、

( x′ y′)






x′

y′






( x y )











すなわち、(x′)²+(y′)²=x²+y²になることがわかる。このように必要な部分だけを計算できるのが行列計算のメリットの一つである。

(2.20)が成立することは、直接的計算でももちろんわかるのだが、ベクトルの意味を考えればその意味が明白に理解できる。

上の図のように、行列のかけ算というのは結局、行ベクトルと列ベクトルの内積の計算を繰り返すものである。そして、






cosθ

sinθ

－sinθ

cosθ






が「互いに直交して長さが１であるような二つのベクトルを横に並べたもの」であり、






cosθ

－sinθ

sinθ

cosθ






は同じベクトルを縦に二つ並べたものである。計算の結果１になるのは「自分自身との内積」すなわち「ベクトルの長さの自乗」を計算している部分で、０になる部分は「直交している」というところを計算している部分である。

今の一例に限らず、回転を表すような行列は「互いに直交して長さが１になるベクトルを並べたもの」という性質を持っていなくてはならない。

逆に、(2.15)を満足するような座標変換が






x′

y′











a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂
















(2.21)

と書けていたとすると、二つの列ベクトル






a₁₁

a₂₁











a₁₂

a₂₂






は、どちらも長さが1で、互いに直交しなくてはいけない。このような条件を満たしている行列を直交行列といい、Aが直交行列であれば、A^tA は単位行列となる。

直交行列であれ、というだけの条件では回転の行列になるとは限らない。たとえば、






-1






は直交行列であるが、その物理的内容は回転ではなく、y軸の反転である。直交行列で、かつ行列式が１であるという条件を満たす場合、その行列は回転を表す。

　座標系が回転しながら運動したりする場合はどうなるんでしょうか？
　その場合は慣性系じゃなくなってしまいます。もちろんそういう座標を使った方が便利な時もあって、その時は使いますが、その場合は遠心力や慣性力をちゃんと考慮しなくてはいけません。今日やった座標変換は、慣性系から慣性系への座標変換だけです。

　座標変換って、どうしてそんなに大切なんでしょうか？
　力学でもなんでも、何か問題を解く時には、その問題に適した座標というものがあります。問題によっては、解いていくうちに「ここから先は座標の取り方を変えた方がいい」と気づくこともありますが、座標変換の仕方を知らないと、不便な座標でもそのまま使い続けるしかなくて、とても困ったことになるでしょう。

[問い2-3] 行列






cosθ

sinθ

-cosθ






はどんな座標変換を表す行列か。図で表現せよ。

[問い2-4] 直交行列の行列式は1か－1か、どちらかであることを以下を使って示せ。

二つの行列(A,B)の積(AB)の行列式(det(AB))は、それぞれの行列式の積(detAdetB)である。
転置しても行列式は変わらない(detA = det(A^t))。

[問い2-5] 今考えた直交行列Aの行列式detAには、どのような幾何学的意味があるか。その意味を考えて、detAが1または－1であることの意味を説明せよ。

ヒント:行列式detA = a₁₁a₂₂－a₁₂a₂₁は、ベクトル






a₁₁

a₂₁






と






a₁₂

a₂₂






の何？？？

2.7 テンソルを使った表現

以上のような多次元の計算をする時、いちいちx座標はこう、y座標はこう、と式を並べるのは面倒なので、約束ごととして、x¹=x,x²=y のようにxの肩に添字(「足」と呼ぶこともある)をつけて表すことが多い。x¹は「xの１乗」と、x²は「xの２乗」と間違えやすいので注意すること¹⁷ 。この書き方を使うと、(2.21)は

x^′i =

2
∑
j=1

a_ijx^j

(2.22)

と書ける。

　中途半端だがここで時間切れ。来週はテンソルの話から。

Footnotes:

¹⁶縦に並んでいるのを「列ベクトル」、横に並んでいるのを「行ベクトル」と呼ぶ。「行」と「列」という漢字には横線２本、縦線２本がそれぞれ含まれているので「縦線が含まれている『列』が縦のベクトル」と覚えておくとよい。

¹⁷添字は肩でなく下につけてx₁,x₂とする場合もある（この場合を「下付き添字」などと言う）。上付き添字と下付き添字は厳密には意味が違う。その差はこの講義の後半で出現する予定。実は厳密に考えると、(2.21) はxⁱ=aⁱ_jx^jのように書かなくてはいけない。今考えている２次元や３次元で直交座標を使っている場合ではそこまで厳密にしなくても支障無い。

学生の感想・コメントから

　行列が大事なものだということがわかった（とっても多数）。
　わかってくれたのはうれしいけど、もうちょっと早くわかっていて欲しかったなぁ。

　行列は嫌いだ（これも多数）
　でも、嫌いだからと言って使わないのではかえってややこしい計算をする羽目になります。

　今日は計算で終わってしまって、少し物足りなかったです。
　今後使う（使いまくる）計算なので、少し我慢してください。

　行列、テンソルなどは、物理数学でやった時にはよくわからなかった。
　実際に物理の問題で使わないと、なかなか「わかった」という気分にはならないものです。

　detって何の略ですか。なんと読むんですか？
　determinant。「デターミナント」と読みます。

　物理の話をする時には必ず座標がいるのでしょうか。力学とかでは必ず使ってますが、座標を使わずに物理をやることはできますか？
　難しいですね。たぶんできないのでは。

　相対論は、座標変換をつっこんで考える学問に思えますけど、それにつきるんでしょうか？
　それにつきます。でもそれだからつまらないということはないですよ。座標は力学の基礎ですから、相対論は力学全部を変えてしまうほどの発展なのです。

　行列にテンソルを乗せるとどんな意味があるんでしょう？
　あまりそういうことはしませんね。行列なら最後まで行列で、テンソルなら最後までテンソルで行きます。
　

File translated from T_EX by T_THgold, version 3.63.
On 9 May 2006, 14:57.