$\sin {x}$を例にして考えよう。すでに述べたように、$\sin {x}$は${x}=0$で0であり、傾き1である。よって$\sin {x} \fallingdotseq {x}$と書けるのであった。$\sin {x}$の一階微分は$\cos {x}$、二階微分は$-\sin {x}$である。三階微分は$-\cos {x}$となり、分類すれば、
\begin{equation} {\mathrm d ^n\over \mathrm dx^n}\sin {x}= \begin{cases} \sin{x}& n=4m\\ \cos{x}& n=4m+1\\ -\sin{x}& n=4m+2\\ -\cos{x}& n=4m+3 \end{cases}~~~(mは0以上の整数) \end{equation}であり、これに${x}=0$を代入すれば
\begin{equation} {\mathrm d ^n\over \mathrm dx^n}\sin {x} \biggr|_{{x}=0}= \begin{cases} 0& n=2m\\ 1& n=4m+1\\ -1& n=4m+3 \end{cases}~~~(mは0以上の整数) \end{equation}であるから、
\begin{equation} \sin {x}={x} - {{x}^3\over 3!}+ {{x}^5\over 5!}-{{x}^7\over 7!}+\cdots\label{sintaylor} \end{equation}のようにテイラー展開できる（偶数次の項が出てこないのが$\sin$の特徴であるが、これは奇関数なら常にこうなるただし、${x}=0$以外で展開した場合はこの限りではない。）。
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